Examen partiel #1 Mardi le 12 octobre de 19h30 à 21h20 Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections.

Présentation au sujet: "Examen partiel #1 Mardi le 12 octobre de 19h30 à 21h20 Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections."— Transcription de la présentation:

1 Examen partiel #1 Mardi le 12 octobre de 19h30 à 21h20 Salles 2880 (Gr.A) et 3860 (Gr. B) du pavillon Vachon. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 1.1 à 1.9, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5. - Notes de cours (guide d'études): sections 1 à 5. - Devoirs: 1 à 4.

2 Rappel... Décomposition des matrices: –décomposition LU –application: réseau de résistances Solution itérative de systèmes linéaires. –Méthodes de Jacoby et de Gauss-Seidel Mx (k+1) = (M - A)x (k) + b, k = 0, 1, 2,…

3 Aujourdhui Solution itérative de systèmes linéaires (suite et fin). Application à linfographie.

4 7. Application à linfographie On retrouve un peu partout des applications de linfographie: –jeux sur ordinateurs –effets spéciaux au cinéma –logiciel de dessin On représente parfois, de façon simplifiée, des figures par un ensemble de lignes: « wire frame »

5 Exemple: canette

6 Exemple 2D La lettre N peut être représentée par deux vecteurs de coordonnées: x = [0.0 0.5 6.0 5.5 0.5 0.0 5.5 6.0] y = [0.0 0.0 0.0 1.58 6.42 8.0 8.0 8.0] Il faut aussi spécifier les lignes entre les points.

7 Transformations linéaires La transformation linéaire dun segment donne un autre segment. On peut effectuer des opérations sur les figures en multipliant les coordonnées par une matrice 2 2.

8 Coordonnées homogènes Avec les matrices 2 2, on ne peut pas faire de translation. Solution: coordonnées homogènes.

9 Coordonnées homogènes (suite) À chaque point (x, y) dans R 2, on peut faire correspondre un point (x, y, 1) dans R 3. Ces coordonnées peuvent être modifiées par une matrice 3 3.

10 Rotations y x (cos( ), sin( )) (-sin( ), cos( ))

11 x z y (0.866, 0, -0.5) (0, 1.0, 0) (0.5, 0, 0.866) Rotation de 30 o autour de laxe y

12 z x y 0 (x*, y*, 0) (x, y, z) (0, 0, d) z 0 d - z x x* Projection de (x, y, z) sur (x*, y*, 0)

13 Projection en perspective (x, y, z) (x*, y*, 0). x*/d = x/(d - z) x* = x/(1 - z/d) y*/d = y/(d - z) y* = y/(1 - z/d)

14 Projection en perspective (suite) La projection transforme (x, y, z, 1) (x/(1 - z/d), y/(1 - z/d), 0, 1) Si on multiplie par (1 - z/d): (x, y, z, 1) (x, y, 0, 1 - z/d )

15 Applets Java http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/ Demo/lettre/ http://www.gel.ulaval.ca/~fortier/MAT19961/ Demo/homog/

16

17 Prochain cours... Sous-espaces de R n –Définition –Sous-espaces associés à une matrice –Bases –Coordonnées –Dimension –Rang