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8.3 THÉORÈME FONDAMENTAL DE LALGÈBRE cours 27
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Au dernier cours nous avons vus La définition des nombres complexes Les opérations sur les nombres complexes La formule de De Moivre
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Aujourdhui, nous allons voir Les racines de lunité Le théorème fondamental de lalgèbre
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Ce fait navait pas réellement dimpact sur ce quon a fait jusquà présent. Par contre ceci va devenir important lorsquon va prendre des racines. Nest pas quune réponse
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Exemple: Trouver les racines carré de 1 Ici, on a des réponses différentes pour
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Exemple: Trouver les racines cubiques de 1 Ici, on a des réponses différentes pour
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Racines de lunité De manière plus général, léquation possède n solutions, qui sont avec
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Exemple: Voici une autre façon de trouver la racine dun nombre complexe. Trouveron cherche tel que et avec ou donc
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Théorème: Théorème fondamental de lalgèbre Tous polynômes à coefficients complexes de degré a au moins un zéro dans. Cest à dire: Bien que ça semble simple, la preuve de ceci dépasse le cadre du cours.
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Théorème: Preuve: Mais on sait déjà que est un zéro de est un facteur de SiSi on divise par Le reste est de degré 0
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Les deux derniers théorèmes mis ensemble nous disent que tous polynômes complexes se factorise complètement.
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Pour des raisons qui vont devenir plus clairs bientôt, explorons un peu le conjugué dun nombre complexe.
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Soit un polynôme à coefficients réels. avec
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Théorème: Preuve: Les racines dun polynôme à coefficients réels viennent toujours par paires de conjuguées. Siest une racine de alors, doù et donc est aussi une racine de
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Aujourdhui, nous avons vu Les racines de lunité Le théorème fondamental de lalgèbre
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Devoir: p. 311 #6 à 12 p.315 #1 à 8
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