Grandeurs et mesures à l’école primaire : le cycle 2

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1 Grandeurs et mesures à l’école primaire : le cycle 2

2 Avertissement « Grandeurs et mesures » sont des notions utilisées par les enseignants, qui doivent être parfaitement maîtrisées afin de pouvoir enseigner avec efficacité, mais ce ne sont en aucun cas des termes à utiliser avec les élèves.

3 Sommaire 1 – Grandeurs, unités, mesures 2 – Les grandeurs à l’école primaire : quoi? à quel niveau? 3 – Les grandeurs et mesures dans le socle 4 – Ce que disent les évaluations 5 – Quelle démarche pour enseigner les grandeurs et mesures ? 6 – Les grandeurs dans les problèmes

4 1. Grandeurs et mesures

5 Qu’est-ce qu’une grandeur?
Concept difficile à définir Une grandeur est une caractéristique physique, chimique ou biologique qui est mesurée ou repérée. Des exemples : longueur, aire, volume, capacité, masse, durée, vitesse, accélération, angle, température, intensité d’un courant, date, altitude…etc… Ce concept étant difficile à définir on ne le définit pas avec les élèves; on essaie de leur faire percevoir ce que sont certaines grandeurs particulières. C’est par des manipulations qu’on peut y parvenir.

6 Deux types de grandeurs
Grandeurs repérables : grandeurs pour lesquelles on peut constater l’égalité et qu’on peut ordonner Exemples : la température, la date, l’altitude… Grandeurs mesurables : grandeurs qui ont les propriétés précédentes et qu’en plus on peut additionner et multiplier par un nombre Exemples : la longueur, la masse, l’aire, le volume, la durée Pour des grandeurs repérables on ne peut pas définir d’addition ou la multiplication par un nombre On peut parler de « plus froid, plus chaud ou même température…mais comment additionner deux températures? Et peut-on dire qu’il fait trois fois plus chaud quand il fait 30° que quand il en fait 10? » - On peut dire de deux événements qu’ils se produisent en même temps ou que l’un a lieu avant ou après l’autre…mais pas d’addition… L’altitude désignant la hauteur verticale théorique par rapport au niveau moyen de la mer, on peut comparer ou identifier deux altitudes mais pas les additionner… Quid de la vitesse? De l’accélération? Je dirais vitesse, oui, mais accélération non…En fait il s’agit d’intensité de la vitesse et intensité de l’accélération.

7 Autre catégorisation des grandeurs
Grandeurs de base : longueur, masse, durée, intensité du courant, luminosité de la lumière, température, quantité de matière Grandeurs dérivées : aire, volume, angle, vitesse, pression…mettent en jeu au moins deux grandeurs de base On va se limiter à celles qu’on aborde en mathématiques ; la plupart des grandeurs sont du domaine des sciences…. Les liens qu’elles entretiennent : les secondes dépendent des premières. En effet la vitesse dépend d’une longueur et d’une durée. Une aire dépend de deux longueurs, même si c’est la même deux fois (aire d’un carré, cas particulier du rectangle, aire d’un disque, cas particulier de l’ellipse). Il en est d’ailleurs de même pour certaines unités. Question : En quoi un angle est-il une grandeur dérivée?

8 Quelles grandeurs pour quels objets?
Lignes Surfaces Solides Secteurs angulaires Événement qui s’étale dans le temps Objets divers Longueur Aire Volume – capacité Angle Durée Masse Abus de langage : on parle rarement de secteur angulaire ; on confond souvent l’objet avec la grandeur et on parle d’angle. Première remarque: à une surface on peut associer son aire mais aussi une longueur, son périmètre. On parle du périmètre d’un rectangle et de son aire; cela tient au fait qu’on confond le polygone (le rectangle) et son intérieur. Quand on a deux mots différents il ne devrait pas y avoir de confusion : on parle du périmètre d’un disque qui n’est autre que la longueur du cercle qui le définit. Il en est de même pour aire et volume. On peut parler de l’aire totale d’un parallélépipède, mais aussi de son volume. En revanche on devrait parler de l’aire d’une sphère (surface) et du volume d’une boule (solide)….

9 La perception des grandeurs
Comparaison directe de grandeurs ; perceptive elle nécessite des manipulations, des découpages, l’utilisation d’une balance Roberval, des décompositions/recompositions, ….est plus long, plus haut , plus lourd, plus jeune que…a une plus petite taille que…a une plus petite étendue que…, dure moins longtemps… Le problème de la perception, c’est qu’elle est personnelle donc subjective…plus lourd, plus léger, cela dépend de la force de la personne, un son plus fort, moins fort, cela dépend de l’audition de chacun…donc cela ne suffira pas…il va falloir quantifier de manière objective ce qui, dans un premier temps est qualitatif… Les grandeurs, qu’elles soient mesurables ou repérables, doivent être quantifiées, pour être comparées objectivement. D’où la nécessité du choix d’unités. On définit, dans une catégorie d’objets, des classes d’équivalence et un ordre. ……a la même taille que, dure aussi longtemps…

10 La confusion des mots…. Deux mots pour dire tout et…n’importe quoi, « grand » et « petit »: - un appartement plus petit, c’est une affaire d’aire… - une valise plus grande, c’est une histoire de volume… - un vase plus grand souvent pour parler d’un vase plus haut…ou plus profond!!! ou un petit chemin dans la forêt lorsqu’il est étroit - que dire d’une petite fille, d’une petite vieille!!! Une histoire de petites filles , les miennes par exemples J’ai des petites filles, les filles de mes propres enfants. Elles sont petites c’est-à-dire jeunes, et comme elles sont jeunes elles sont petites, en taille. Ceci n’empêche pas le pédiatre de dire de la plus petite (la plus jeune) qu’elle est grande ( pour son âge) en taille. La petite dit aussi « je suis grande », mais pas pour la même raison…parce qu’elle marche, qu’elle parle et surtout qu’elle est propre. Sa sœur aînée lui parle en lui disant « ma petite sœur », car on lui parle de sa petite sœur, celle qui est née après elle…Mais la plus jeune appelle aussi sa sœur aînée « sa petite sœur »….terme affectueux!!! Que dire enfin lorsque la plus petite (la plus jeune) est chez les grands (à la crèche) alors que la plus grande (la plus âgée) quitte la petite section (à la maternelle)…. D’autres mots peuvent aussi poser pb : un long voyage pour faire référence à la durée, un long trajet pour évoquer la distance parcourue!!! Conclusion : enrichir le vocabulaire pour être plus précis….. Et puis lorsque plusieurs grandeurs peuvent être en cause, préciser celle dont il s’agit…

11 Plusieurs mots pour désigner une même grandeur
Largeur, épaisseur, profondeur, hauteur, longueur, périmètre, rayon, diamètre, distance…tous ces mots désignent une seule grandeur, une longueur…. Aire, superficie Le langage de la vie courante introduit des confusions: on parle d’une aire de jeux, d’une aire de lancement , alors qu’avec un langage mathématique ce sont des surfaces,…mais d’une surface habitable de 100 mètres carré alors que c’est une aire… Quid de l’altitude? Est-ce une longueur ? Non car une longueur est une grandeur mesurable alors qu’une altitude ne l’est pas.

12 Une grandeur de référence : l’unité
Des unités « personnelles »: la longueur d’un morceau de ficelle, d’une bande de papier, le carreau du cahier (longueur ou aire?)….le temps du sablier, la masse d’un objet de référence La nécessité d’unifier les unités : le système métrique, le système sexagésimal, le système international…Quelle histoire! Les unités « personnelles » vont permettre de commencer à quantifier une grandeur, mais l’utilisation en est très limitée si l’unité n’est pas la même pour tous…. Le système métrique : un système décimal basé au départ sur deux unités, le mètre et le gramme Avant : Jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, les mesures étaient d'une extrême diversité. Des mesures de même nature et de valeurs voisines avaient des appellations différentes selon les provinces, voire selon les villes ou les villages d'une même région. A l'inverse, le contenu physique de mesures de même nom différait en général selon les lieux, et aussi selon la corporation intéressée ou l'objet mesuré. De plus, les échelles de multiples et sous-multiples n'étaient pas cohérentes et variaient selon les régions. Quoi qu'il en soit, au XVIIIe siècle, la multiplicité de ces mesures n'ayant entre elles aucun facteur commun commençait à devenir extrêmement gênante, notamment dans les activités administratives, commerciales et scientifiques. Tentatives d’unification : De facto, à l’époque gallo-romaine, puis sous le règne de Charlemagne, mais ces tentatives ont tourné court. Des tentatives successives pour définir une unité de longueur universelle de 1670 (idée d’un système décimal) à 1791 pour une définition du mètre. La valeur du quart de méridien, prise pour base, est de toises. (C'est la valeur déduite des mesures de la méridienne de Paris, de Dunkerque à Collioure, faites en 1739 et 1740 par Cassini de Thury et La Caille). L' « unité linéaire », dix millionième partie du quart du méridien est appelée « mètre », et vaut 3 pieds 11,44 lignes de Paris ; une longueur de 1000 m est le « milliaire » ; sont prévus le décimètre, le centimètre, le millimètre. L'unité des mesures de superficie est l'are. L'unité des mesures de capacité, décimètre cubique, est le « pinte » ; le mètre cubique s'appelle « cade », subdivisions décicade et centicade. L'unité de poids, poids du décimètre cubique d'eau, est le « grave », qui vaut 2 livres 5 gros 49 grains, et a pour subdivisions : décigrave, centigrave, gravet, décigravet, La Loi Du 18 Germinal An 3 : « Art. 5. Les nouvelles mesures seront distinguées dorénavant par le surnom de républicaines, leur nomenclature est définitivement adoptée comme suit : On appellera Mètre, la mesure de longueur égale à la dix millionième partie de l'arc du méridien terrestre compris entre le pôle boréal et l'équateur ; Are, la mesure de superficie pour les terrains, égale au carré de 10 mètres de côté ; Stère, la mesure destinée particulièrement aux bois de chauffage, et qui sera égale au mètre cube ; Litre, la mesure de capacité, tant pour les liquides que pour les matières sèches, dont la contenance sera celle du cube de la dixième partie du mètre ; Gramme, le poids absolu d'un volume d'eau pure, égal au cube de la centième partie du mètre et à la température de la glace fondante. Enfin, l'unité des monnaies prendra le nom de franc, pour remplacer celui de livre usité jusqu'aujourd'hui. 1875 : RECONNAISSANCE INTERNATIONALE Recommandé par les savants du monde entier, le Système Métrique est peu à peu adopté dans d'autres pays. En 1875, 17 États signent la « Convention du Mètre » et créent le Comité International des Poids et Mesures (CIPM), chargé d'assurer l'uniformité des mesures physiques dans le monde. Système sexagésimal : Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60. Au contraire de certaines bases utilisées dans d'autres systèmes (binaire, octal, décimal, hexadécimal), la base 60 n'est actuellement utilisée nulle part de manière systématique. Il subsiste cependant certains vestiges de la numération sexagésimale dans la mesure du temps, des angles et des arcs (y compris les coordonnées géographiques). Système international : Il comporte sept unités de base : le mètre, le kilogramme, la seconde, l’ampère, le candela, la mole, le Kelvin. Toutes les autres unités habituellement employées sont des unités dérivées résultant de la composition des unités de base. La loi du 4 juillet 1837 rend obligatoire le "système métrique" en France, et le décret n°  du 3 mai 1961 modifié (pris en application de Directives européennes) définit comme unités légales les unités du système international, et définit chacune de ces unités, réparties dans neufs grandes catégories.

13 Les unités SI – a. durée Les unités de durée sont apparues naturellement, de façon homogène quelles que soient les civilisations, en fonction des observations, des progrès de la sciences et tout particulièrement de la précision des outils de mesure. On part du jour, unité la plus naturelle, mais scientifiquement très difficile à définir rigoureusement, viennent ensuite des multiples (semaines, mois, années, etc.) ou des subdivisions (heures, minutes, secondes, etc.). Une difficulté: la durée d’une semaine est constante, en revanche pas celle du mois ou d’une année…le mois et l’année ne sont donc pas des unités…

14 Les unités SI – a. durée La seconde est aujourd’hui l’unité de mesure du système international. Initialement définie comme 1/60 de minute, ou 1/3600 d’heure, soit 1/86400 de jour. Elle est définie depuis 1967 par : La seconde est la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux hyperfins F=3 et F=4 de l’état fondamental 6S½ de l’atome de césium 133.

15 Les unités SI – b. longueur
Le mètre Quand ? Avant le mètre. Première définition officielle (26 mars 1791) par l'Académie des sciences : la dix-millionième partie d'un quart de méridien terrestre.

16 Les unités SI – b. longueur
Les étalons (platine, marbre). Définition aujourd’hui (1983) : Distance parcourue par la lumière dans le vide en 1⁄299 792 458 seconde. 36, rue de Vaugirard, Paris, VIe

17 Les unités SI – c. masse Le kilogramme Avant.
Le gramme était initialement défini comme la masse d’un centimètre cube d’eau à la température de 4 °C, qui correspond à un maximum de masse volumique. Le 22 juin 1799, un étalon en platine d’un kilogramme, soit la masse d’un décimètre cube d’eau, fut déposé aux Archives de France. Le kilogramme des Archives fut remplacé par le prototype international du kilogramme en 1889, un cylindre en platine iridié (90 % platine et 10 % iridium) de 39,17 mm de diamètre et 39,17 mm de haut, ce prototype actuellement au pavillon de Breteuil, ce prototype sert aujourd’hui de définition officielle internationale pour le kilogramme, cette unité de mesure est la dernière du SI à être définie au moyen d’un étalon matériel fabriqué par l’homme.

18 Qu’est-ce qu’une mesure ?
L’approche des sciences physiques : confond l’action de mesurer (mesurage) et le résultat de cette action (détermination de nombres) L’approche des mathématiques La mesure physique est l'estimation ou la détermination d'une grandeur spécifique (longueur, capacité, etc.), habituellement en relation avec un étalon (ou standard en anglais) ou une unité de mesure. Le résultat de la mesure physique s'exprime en termes de multiple de l'étalon (un nombre réel multipliant l'unité). On pourra citer comme exemple la mesure de longueurs (en kilomètres, miles, lieues) ou la mesure du temps (en secondes, heures). Le processus de mesure physique implique l'estimation ou la détermination du rapport de la grandeur d'une quantité à celle d'une unité de même type (i.e. longueur, temps, masse, etc.) Remarque: Il ne suffit pas d’avoir une unité pour pouvoir « mesurer »; encore faut-il pouvoir faire le rapport entre la grandeur et l’unité; ce n’est pas le cas d’une température….clairement il y a des unités pour mesurer, d’autres pour repérer…

19 En mathématiques : Qu’est ce qu’une mesure ?
Une mesure est une fonction. À tout élément d’une famille, elle associe la mesure d’une grandeur donnée, dans une unité donnée. Ce que l’on veut mesurer Mesure Exemples : Pour l’ensemble des objets physiques on peut définir une fonction qui à un objet donné associe sa masse, dans une unité donnée. Pour l’ensemble des segments du plan on peut définir une fonction qui à un segment donné associe sa longueur, dans une unité donnée.

20 Pas n’importe quelle fonction !
Une fonction doit vérifier trois choses pour être une mesure : - la mesure de tout élément est un nombre réel positif [A, m(A)0] ; la mesure de rien (ensemble vide) est nulle [m()=0] ;  0 = 0 On voit très vite qu’on confond fonction et valeur prise par cette fonction. On comprend alors la différence entre grandeurs mesurables et grandeurs repérables… - la mesure de la réunion de deux choses distinctes doit être égale à la somme des mesures de chacune de ces deux choses = + [Si AB=, alors m(AB)=m(A)+m(B)].

21 Une mesure ou des mesures?
Pour une grandeur donnée on peut définir plusieurs mesures, en lien avec le choix de l’unité. Exemple : Chaque unité de longueur : longueur d’une bandelette de papier ; coudée royale (Égypte) ; pied (unité impériale britannique) ; centimètre ; mètre (unité SI) ; etc. permet de définir une mesure…

22 Des liens entre les mesures
Pour une grandeur donnée on peut définir plusieurs mesures, en lien avec l’unité choisie. Remarques : la troisième règle de définition d’une mesure implique bien que l’ordre reste le même : l’objet le plus long, le plus lourd a la plus grande mesure quelle que soit l’unité choisie ; le lien entre les différentes mesures sera toujours, pour ce qui concerne les élèves, un lien de proportionnalité et pourra donner lieu à de fructueux exercices de travail sur ce champ. Ce travail sur le proportionnalité n’est pas toujours possible pour des grandeurs repérées…comme les températures par exemple…

23 Mesurable ou pas ? Maintenant que nous savons ce qu’est une mesure, nous pouvons comprendre que certaines grandeurs ne sont pas mesurables. Exemple : la température En degré Celsius, c’est évident puisqu’elle peut être négative ; En Kelvin c’est plus subtil (K=°C + 273,15), et -273,15°C est le zéro absolu, la température en Kelvin est donc toujours positive, mais que se passet-t-il lorsque je cherche la température d’un steak à 32°C (305,15K) réuni avec des frites à 58°C (331,15K) ???? On ne « mesure » donc pas la température, on la « relève ». Le thermomètre porte mal son nom…

24 L’heure, une unité de mesure ?
Réponse : Cela dépend… OUI, si on utilise un chronoMÈTRE, on mesure une durée. NON, si on utilise une montre pour lire, relever (comme la température) l’heure. Comme pour la date (grandeur repérée), l’année peut être négative.

25 Mesures, relevés : des nombres
Ce sont des nombres, un ou plusieurs nombres entiers, un nombre décimal, un nombre réel…d’où un lien très étroit entre la construction des nombres et le travail sur les grandeurs… Une phrase, un exemple : « Zoé mesure un mètre dix » On écrit 1m 10cm ou encore 1,10m, lorsque les nombres décimaux ont été construits. On n’écrit pas 1m,10…. Remarque sur le zéro….un zéro pas si inutile que cela.. Remarque sur le zéro : certains pourraient le qualifier d’inutile, compte tenu de sa position…en fait il indique la précision de la mesure qui ici, de façon implicite, est le centimètre. La manière de s’exprimer dans la vie courante est néanmoins dangereuse : on parle d’un euro cinq, ce qui signifie un euro et cinq centimes, ce qui s’écrit 1,05 euro; 1,5 euro se dira un euro cinquante….. Mais la monnaie est-t-elle une grandeur????? Pour les températures il n’y a pas de sous-unités donc le repérage nécessite les décimaux.

26 2. Grandeurs et mesures à l’école primaire

27 Les grandeurs à l’école maternelle
« Découvrir les formes et les grandeurs En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d’abord des propriétés simples (petit/grand ; lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance. » «Dès la petite section, les enfants utilisent des calendriers, des horloges, des sabliers pour se repérer dans la chronologie et mesurer des durées…. Toutes ces acquisitions donnent lieu à l’apprentissage d’un vocabulaire précis dont l’usage réitéré, en particulier dans les rituels, doit permettre la fixation. » L’école maternelle met en évidence le travail de manipulation (quelques exemples), mais de façon plus subtile évoque des mots…il y donc aussi un travail sur la langue. On peut signaler aussi des travaux de décomposition/recomposition de figures, type Tangram, qui préparent bien au travail qui sera fait ultérieurement sur les aires.

28 Les grandeurs à l’école élémentaire (cycle 2)
Au CP - Repérer des événements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures. - Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse. - Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs. - Connaître et utiliser l’euro. - Résoudre des problèmes de vie courante. En CE1 - Utiliser un calendrier pour comparer des durées. - Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d’euro. - Mesurer des segments, des distances. - Résoudre des problèmes de longueur et de masse. Petit problème d’incohérence avec les apprentissages sur les nombres: nombres inférieurs à 1000: on s’arrête donc à 999? Comment écrire la relation entre kilomètre et mètre, dans ces conditions….

29 Les grandeurs à l’école élémentaire (cycle 3, CE2)
- Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient : . Longueur : le mètre, le kilomètre, le centimètre, le millimètre ; . Masse : le kilogramme, le gramme ; . Capacité : le litre, le centilitre ; . Monnaie : l’euro et le centime ; . Temps : l’heure, la minute, la seconde, le mois, l’année. - Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers. - Vérifier qu’un angle est droit en utilisant l’équerre ou un gabarit. - Calculer le périmètre d’un polygone. - Lire l’heure sur une montre à aiguilles ou une horloge. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs ci-dessus.

30 Les grandeurs à l’école élémentaire (cycle 3, CM1)
- Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations. - Reporter des longueurs à l’aide du compas. - Formules du périmètre du carré et du rectangle. Aires - Mesurer ou estimer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé. - Classer et ranger des surfaces selon leur aire. Angles - Comparer les angles d’une figure en utilisant un gabarit. - Estimer et vérifier en utilisant l’équerre, qu’un angle est droit, aigu ou obtus. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions. Est-il nécessaire de donner des formules pour le périmètre : apprendre aux élèves à les retrouver….plutôt que les apprendre par cœur… Pour les aires, l’ordre n’est pas chronologique…il vaudrait mieux commencer par ranger les surfaces selon leur aire en utilisant la décomposition/recomposition des figures. C’est la première fois qu’on parle de conversions. Les relations évoquées précédemment sont des relations de proportionnalité…

31 Les grandeurs à l’école élémentaire (cycle 3, CM2)
- Calculer une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final. - Formule de la longueur d’un cercle. - Formule du volume du pavé droit (initiation à l’utilisation d’unités métriques de volume). Aires - Calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un triangle en utilisant la formule appropriée. - Connaître et utiliser les unités d’aire usuelles (cm2, m2 et km2). Angles - Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit. Problèmes - Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. - Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure. L’arrivée en force des formules pour les calculs d’aire, calcul de volume…..

32 3. Les grandeurs et mesures dans le socle
Au palier 1 : - Utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure - Être précis et soigneux dans les mesures et les calculs - Résoudre des problèmes de longueur et de masse

33 4. Les évaluations de fin de cycle 2

34 Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse.
86% Certains élèves savent comparer des nombres et apparemment sont gênés lorsqu’il s’agit de comparer des grandeurs…mais en est-on sûr ? La simplicité de la première consigne comparée à la difficulté de lecture de la seconde peut également justifier des erreurs…à voir…Peut-être en redonnant le deuxième exercice rédigé différemment! 67% NR : 2,3%

35 Connaître et utiliser l’euro.
Il s’agit-là d’un vrai pb: il faut mettre en place une stratégie de calculs qui va bien au-delà de la seule utilisation des nombres 32%

36 Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d’euro. 46% 41% 40%

37 5. Un travail collectif

38 Un travail collectif Les progressions ne peuvent être pensées qu’en terme d’école et non de classe ou de cycle. 1. Introduction de la grandeur 2. Comparer des grandeurs avec une unité de mesure choisie par le maître ou l’élève 3. Introduction des unités officielles 4. « Sentir » les mesures, avoir des mesures de référence 5. Maîtriser les outils de mesure classiques Les différentes étapes sont à répartir pour chaque grandeur sur les différentes années de l’école, de la maternelle au CM2. Les « objets » de références, distance pour aller à la piscine, à l’arrêt de bus, longueur de la cour, masse d’une voiture, masse d’un cartable ou du hamster de la classe, doivent également être pensés en terme d’école.

39 1 . La longueur : 1ère étape - Isoler la longueur de l’objet lui-même : s’intéresser aux critères de différenciation de baguettes (de même couleur, puis de couleurs différentes, mais de longueurs différentes) ; introduire les mots « ont (n’ont pas) la même longueur » - Comparer directement des objets selon leur longueur , par perception, par juxtaposition ou superposition: ranger les baguettes de la plus courte à la plus longue. Comparer des objets selon leur longueur par des moyens indirects (un objet de référence, un étalon choisi arbitrairement ) : « Ces étiquettes représentent deux enfants lançant un ballon . Quel est celui qui lance le ballon le plus loin? » Occasions d’apprendre à s’exprimer…. Si on s’intéresse à la hauteur des arbres de la cour, la comparaison est uniquement perceptive… Tout ce travail sur l’introduction des grandeurs est l’occasion d’apprendre des mots: ceux qui définissent des critères (ceux des grandeurs tels que largeur, hauteur, épaisseur, profondeur) mais aussi ceux qui les qualifient, long, court, large, étroit, épais, fin….). Le travail concernant les trois premiers points se fait à l’école maternelle, le dernier en CP. Par ces moyens indirects : - constater qu’un segment est (construire un segment) trois fois plus long qu’un segment donné. - construire un segment dont la longueur est égale à la somme des longueurs des deux segments donnés.

40 1 . La masse : 1ère étape - Isoler la masse de l’objet lui-même : s’intéresser aux critères de différenciation de boîtes (de même taille, puis de tailles différentes, mais de masses différentes) ; introduire les mots « ont (n’ont pas) la même masse ». - Comparer directement des objets de même nature puis de natures différentes selon leur masse , par perception, en les soupesant : deux livres ou un livre et un cartable rempli… Comparer des objets selon leur masse en utilisant une balance Roberval ou une balance ordinaire ou à fléau (fabriquée maison)..; pour les enfants il y a aussi la balançoire à bascule… Occasions d’apprendre à s’exprimer…. Un peu plus de vocabulaire: lourd, léger… Par l’un de ces moyens : - constater qu’un objet est deux fois plus lourd qu’un autre (il faut alors avoir 2 exemplaires de même masse de ce dernier); - constater qu’un objet a une masse égale à la somme des masses de deux objets donnés.

41 1 . La durée : 1ère étape Isoler la durée de l’événement lui-même, en particulier en s’appuyant sur les différents moments passés à l’école : la durée de la sieste, la durée de la nuit, la durée du repas, la durée de la récréation…. Comparer directement des durées par la perception!!!! Comparer la durée d’événements de courte durée en utilisant un sablier, en observant le déplacement de la grande aiguille d’une horloge…avant même de savoir lire l’heure Occasions d’apprendre à s’exprimer…. La comparaison directe de durées est parfaitement subjective…ce qui montre la nécessité d’avoir une référence. Mais il ne faut pas oublier de travailler sur la date, ce qui est fait chaque jour lorsqu’on l’écrit au tableau, lorsqu’on consulte un calendrier pour repérer celles d’événements particuliers comme les anniversaires, celles du départ en vacances….ou encore en « Repérant des événements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures ».

42 2. Comparer des grandeurs avec une unité de mesure choisie par le maître ou l’élève
Comparer des segments ou des baguettes en utilisant une unité de mesure donnée, dans un premier temps les longueurs sont des multiples de l’unité donnée, on pourra ensuite utiliser des demies ou quarts de longueurs pour différencier des longueurs. Attention ! Mesurer avec une unité que l’on reporte, donne l’habitude de partir du bord du papier et risque d’habituer les élèves à partir du bord de la règle… Il peut être utile de proposer des règles préparant à l’utilisation des règles classiques unité unité

43 2. Comparer des grandeurs avec une unité de mesure choisie par le maître ou l’élève
- Comparer la longueur du couloir et la largeur de la cour (nécessité de choisir une unité « élève »). - Comparer des masses d’objets en les encadrant avec des unités donnés : objet pesant entre 8 et 9 billes… - Distances au cochonnet. - Mesure de la longueur d’un parcours (ligne brisée), la longueur totale est la somme des longueurs des différents segments. (additivité de la mesure). - Idem avec les masses A est plus lourd que 3 billes, B est plus lourd que 5 billes. Que peut on dire de A+B ? La balance de Roberval reste l’outil de prédilection. - Les problèmes ont une place importante dès cette étape.

44 3. Introduction des unités officielles, maîtriser les outils de mesure
3. Introduction des unités officielles, maîtriser les outils de mesure classiques - Communiquer des grandeurs implique la nécessité d’unités de mesure standardisées, un travail sur le pas peut permettre de s’en rendre compte. - Les seules unités standards et normalisées utilisées partout à travers le temps et les lieux sont les unités de temps : le jour et l’année. Les élèves doivent comprendre que les autres sont le résultat d’un choix, et que ce choix à aujourd’hui besoin d’être international. - Nombreux ponts possibles avec l’histoire (civilisations anciennes, la révolution) - L’introduction du demi-centimètre puis éventuellement du millimètre en fin de CE1 : 2cm et 4mm

45 4. « Sentir » les mesures, avoir des références
- Estimer une longueur sans règle. - Évaluer des masses. - Un QCM peut être un exercice intéressant permettant de rejeter ou non des grandeurs ou des mesures données. (Ficelle : 16m ou 25L ? Pot de confiture : 400g ou 7L ? Pot de confiture 132kg ou 25cL ? Trousse : 5kg ou 250g ? Voiture : 100kg ou 1500kg ? Train : 16m ou 160m ? ) - Estimer un temps entre deux « tops »

46 4. « Sentir » les mesures, avoir des références
Attention ! 1 centimètre est égal à 1 centimètre Avoir des références « école » communes Longueur de la cour Hauteur d’une porte Dimensions d’une feuille A4 Distance pour l’arrêt de bus, la piscine Masse d’un dictionnaire Masse d’un crayon Masse d’une voiture Volume d’une bouteille d’eau Volume d’un aquarium Travailler sur les ordres de grandeur

47 Exemple de progressions pour le travail sur différentes grandeurs
MS GS CP CE1 CE2 CM1 CM2 Longueur 1 2 3 m cm 4 km 3 et 4 mm dm, dam, hm masse g kg mg, cg, dg, dag, hg, q, T aire cm², m², km²

48 Calcul mental Sommes (50cm + 50cm; 45g + 50g,
12cm + 24cm; 1m 56cm + 50cm; etc.) Différences (56cm – 32cm; 1m 12cm – 22cm) Conversions en minutes (2h; 1h23min; etc.) Multiples (56cm x 4; 45g x 2; 15min x 4; 23m x 10) Rappel : Comment faire progresser les élèves en calcul mental ?

49 Les traces écrites en mathématiques : quelques conseils
L’éventuelle utilisation d’un fichier… La résolution de problème intimement liée à la maîtrise de langue. Les activités de recherche Quid de la trace écrite ? Différencier en modifiant les variables didactiques. Institutionnaliser : mémoire du travail accompli