5. Les mouvements usuels - Mouvement rectiligne

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1 5. Les mouvements usuels - Mouvement rectiligne
mouvement 2D (circulaire, parabolique exemple de mouvement 3D

2 Mouvement rectiligne Mvt rectiligne uniforme (MRU)
a = 0; v=v0; équa. horaire : x(t) = v0t + x0 (an = 0, a = at) Mvt rectiligne uniformément varié a = a0; v = a0t + v0 ; équa. horaire : x(t) = ½ a0t² + v0t + x0

3 Mouvement circulaire Rayon courbure = rayon du cercle RC=R
Mvt circulaire uniforme (MCU) v = v0 ; at = 0 ; an=v0²/R ; a=v0²/R a perpendiculaire à v acc. Centripète

4 Mouvement circulaire uniforme (2)
an = v0²/R ou = R² at = 0 v0 O a (= an)

5 Mouvement circulaire uniforme (3)
En coordonnées polaires : r(t)=R; θ(t)= ? v(M)=rθ eθ = Rθ eθ v = Rθ ; v0 = Rθ θ = v0/R = cste, notée  vitesse angulaire (rd/s) dotée d’un signe >0 si rotation sens trigo <0 si rotation horaire θ (t) = t + θ croissante ou décroissante

6 Mouvement circulaire varié
v = v(t) ; dv/dt  0 ; at  0 at < 0 (v ) ou at > 0 (v ) an = v²/R n’est plus cste Coordonnées polaires : r(t)=R θ = v(t)/R fonction de t (θ   w indique une cste) θ(t) = θ(t)dt

7 Mouvement circulaire varié (2)
at O an

8 Mouvement circulaire varié (3)
a(M) et v(M) non perpendiculaires (composante tangentielle at) α < pi/2 si le mvt est accéléré (prod. scalaire a.v > 0) α > pi/2 si le mvt est retardé (prod. scalaire a.v < 0) α

9 Mouvement uniformément accéléré 2D (parabolique)
Se produit quand a0 (cste) non perpendiculaire à v0 a(M) = a0 v(M) = v0 + a0t OM = OM0 + v0t + ½ a0t² M0M = v0t + ½ a0t² => le mvt est plan

10 Mouvement uniformément accéléré 2D (2)
Prendre Oy (ou Ox) colinéaire à a0 Projeter v0 sur Ox et Oy ax = 0 ay = a0 vx = v0x vy = v0y + a0t a0 v0X v0y x(t) = x0 + v0xt y(t) = y0 + v0yt + ½ a0t²

11 Mouvement uniformément accéléré 2D (3)
Exemple: chute libre avec vitesse initiale v0 inclinée d’un angle α ….. x(t) = x0 + (v0cos)t y(t) = y0 + (v0sin)t – ½ gt²

12 Étude d’un mouvement 3D Mouvement hélicoïdal uniforme + =
rotation uniforme dans 1 plan (MCU) translation rectiligne uniforme à la verticale du même plan (MRU) + = P P

13 Mvt hélicoïdal uniforme
La vitesse est uniforme (rotation + translation) Coordonnées cylindriques r(t) = R θ(t) = ωt z(t) = Ct (avec C = λω λ, en m, est appelé pas de l’hélice)

14 Mvt hélicoïdal uniforme (2)
Vecteur position : OM = R er + λωt ez O M N z = λωt r = R

15 Mvt hélicoïdal uniforme (3)
Vecteur position : OM = R er + λωt ez der/dt = ωeθ Vitesse : v(M) = Rω eθ + λω ez deθ/dt = – ωer accélérat° : a(M) = – Rω² er

16 Mvt hélicoïdal uniforme (4)
a(M) vθ vz v(M)

17 Mvt hélicoïdal uniforme (5)
Norme de la vitesse : v = vθ² + vz² =  (Rω)²+(λω)² v = ω  R² + λ² (cste) Abscisse curviligne : s(t) = v dt s(t) = ωt  R² + λ²

18 Mvt hélicoïdal uniforme (6)
Vecteur tangent : à partir de v(M) exprimer dans la base cylindrique projeter en coordonnées cartésiennes

19 Mvt hélicoïdal uniforme (7)
Vecteur normal : méthode classique …. Rem: a(M) purement normale (v=cste  at=0) N = a(M) / ||a(M)||

20 Mvt hélicoïdal uniforme (8)
En coordonnées cartésiennes

21 Mvt hélicoïdal uniforme (9)
Rayon de courbure : au choix norme de (dT/dt/) / v … v3 / norme de (v^a) par l’accélération normale (cours pdf) …… RC = R + λ²/R

22 Mvt hélicoïdal uniforme (10)
v ^ a = Rω ^ 0 = - Rλω = Rω3 -λ λω 0 R²ω3 R || v ^ a || = Rω3  R² + λ² v = ω  R² + λ² v3/ || v ^ a || = (R² + λ² )/R Rc = R + λ²/R

23 http://www. sciences. univ-nantes