2-3-4 : Avantages de la médiane.

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1 2-3-4 : Avantages de la médiane.
La médiane est d’un calcul facile ; elle résulte presque d’une simple lecture après classement des observations faites. Elle donne une idée satisfaisante de la tendance générale d’une série statistique. Elle n’est pas influencé par les valeurs aberrantes de la variable qui pourraient figurer dans la série. Si, par exemple, dans le calcul précédent, au lieu d’une classe [55, 60 ] comprenant 3 unités, nous avions une classe [55, 60[ comprenant deux unités et une classe [85, 90[ comprenant une unité, la valeur obtenue de la variable, 35 années et 4 mois, ne serait en rien modifiée. 2-3-5 : Propriétés de la médiane.  :Reprenons la série suivante des neuf notes obtenues par un candidat à un examen et pour laquelle la médiane est 11 : et calculons |xi -11| pour chacune des valeurs de la variable : |7-11| = |7-11| = |8-11| = 3 ……….. |12-11| = |14-11| = 3 On obtient la suite : dont le total des termes est 18. Prenons une autre valeur observée de la variable, 10 par exemple et calculons |xi -10|. On obtient la suite : dont le total est 19, total plus élevé que le précédent, obtenu par référence à la médiane. Ainsi S |xi – a| > S |xi – médiane| où a est une valeur quelconque de la variable.

2 et d’une valeur quelconque de la variable».
En statistique la valeur absolue de la différence entre deux nombres s’appelle l’écart des deux nombres, nous énoncerons alors la propriété suivante de la médiane propriété que nous ne démontrerons pas mais qu’il est aisé de vérifier. «La somme des écarts des valeurs observées de la variable et de la médiane, est plus petite que la somme des écarts des valeurs observées de la variable et d’une valeur quelconque de la variable». Vous pouvez vérifier cette propriété sur la série des âges qui nous a servi à la détermination de la médiane dans le cas d’une variable continue, mais en utilisant comme valeurs de la variable les centres de classes, soit 22.5, 23.5, 24.5, etc.…et en tenant compte, bien entendu des effectifs correspondant à chaque classe.  : Reprenons l’histogramme, relatif à la série des âges des ouvriers et menons, par le point de l’axe des abscisse ayant pour abscisse 35 ans et 4 mois, valeur de la médiane, une parallèle à l’axe des ordonnées. Cette parallèle partage l’histogramme en deux parties. Calculons la mesure de l’aire de chacune de ces deux parties. Mesure aire de gauche : 5*9 + 5*27 + 5* *1/3 = 375. Mesure aire de droite : 45*(14/3) + 5*18 + 5*9 + 5*3 + 5*3 = 375. « La verticale menée à hauteur de la médiane partage l’histogramme en deux surfaces dont les aires sont égales entre elles ». 9 27 36 45 18 3 5 10 15 20 25 30 35 40 50 [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ Age Effectifs n i médiane

3 Valeurs de la variable xi
2- 4 : La moyenne arithmétique. Nb d’enfants à charge Effectifs ni 1 2 3 4 5 6 Total 17 31 20 11 89 A partir de la série statistique portant sur le nombre d’enfants à charge des membres du personnel d’une entreprise, cherchons à calculer le nombre moyen d’enfants à charge par employé. Résolution : le raisonnement est le suivant : Le nombre total d’enfants est : (0x5)+(1x17)+(2x31)+(3x20)+(4x11)+(5x4)+(6x1)=209 89 membres du personnel ont ensemble 209 enfants. Le nombre moyen d’enfants à charge, par membre du personnel est donc : /89 = 2.3 enfants Le raisonnement qui vient d’être fait se traduit par le tableau de calculs ci-contre. En désignant par la lettre m le nombre moyen cherché nous pouvons écrire Ce nombre m est la moyenne arithmétique des xi de la série statistique (xi, ni). Valeurs de la variable xi Effectifs ni Produits xi ni 1 2 3 4 5 6 17 31 20 11 62 60 44 N = S ni = 89 S xi ni = 209

4 ou à l’aide des fréquences
2- 4-1 : Définition. la moyenne arithmétique m, des valeurs xi de la variable X de la série statistique (xi, ni) est donnée par la formule : ou à l’aide des fréquences Puisqu’on sait que la fréquence 2- 4-2 : Variable continue. Reprenons l’exemple des 150 ouvriers d’une entreprise classés d’après leur âge. Quand la variable est continue et si les données sont groupées comme dans le tableau ci-contre, on ne peut que rechercher arbitrairement une moyenne à l’intérieur de chaque classe ; à défaut d’autre renseignement, les xi retenus pour le calcul de la moyenne sont les centres des intervalles de classes. Classes Centre des classes Effectifs ni [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 9 27 36 45 18 3 150

5 2- 4-3 : calcul de la moyenne par la méthode de changement de variable.
Si l’on note di = xi-x0 les écarts avec un nombre x0 donné, alors la moyenne arithmétique m, des valeurs xi de la variable X de la série statistique (xi , ni) est donnée par la formule : Puisqu’on sait que la fréquence Si toutes les classes ont la même amplitude A et x0 est un centre de classe, alors les écarts sont des multiples de A c’est-à-dire di = A ui où ui = 0, 1,  2, ….Dans ce cas la moyenne est donnée par : Classes Centre des classes Effectifs ni [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[ [45, 50[ [50, 55[ [55, 60[ Total 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 9 27 36 45 18 3 150

6 2- 4- 4 : Inconvénients, avantages, de la moyenne arithmétique.
La moyenne arithmétique présente l’inconvénient d’entraîner des calculs parfois longs, et d’être influencée par des valeurs aberrantes de la variable (valeurs exagérément faibles, ou exagérément élevées). Cependant le fait d’utiliser toutes ces valeurs entraîne que la moyenne arithmétique est la meilleure des caractéristiques de position, et qu’elle est commodément utilisable pour des développements mathématiques. Il est utile de signaler une autre propriété de la moyenne arithmétique, qui sera établie ultérieurement :  : Remarque importante sur la moyenne arithmétique. Nous venons de calculer des moyennes arithmétiques, sur deux exemples de séries statistiques, en utilisant la formule dans laquelle chaque valeur xi observée, de la variable X, était pondérée par l’effectif ni qui lui correspondait ; c'est-à-dire que chaque valeur xi intervenait dans le calcul de la moyenne arithmétique un nombre de fois ni égal au nombre de fois où cette valeur avait été observée. La moyenne arithmétique ainsi calculée est dite une ‘’ moyenne arithmétique pondérée’’.

7 On pourrait envisager un calcul de moyenne arithmétique fait en ne comptant
qu’une fois dans le calcul chaque valeur observée de la variable. Ainsi notre premier exemple – calcul d’un nombre moyen d’enfants à charge – conduirait au résultat suivant : Moyenne arithmétique = (Quotient de la somme des différentes valeurs prises par la variable étudiée, par le nombre de ces différentes valeurs, chacune n’étant compté qu’une fois) notre second exemple – calcul d’un âge moyen – donnerait : Une moyenne arithmétique ainsi calculée est dite moyenne arithmétique simple. Il est bien certain qu’une moyenne arithmétique simple qui accorde la même importance aux valeurs dominantes de cette variable ne peut pas présenter autant de signification q’une moyenne arithmétique pondérée, qui accorde à chaque valeur de la variable l’importance qui est la sienne, importance mesurée par l’effectif correspondant. C’est pourquoi par la suite nous entendrons par moyenne arithmétique la moyenne arithmétique pondérée.

8 Valeurs xi de la variable X
2- 5 : La moyenne géométrique. D’une façon générale, si l’on dispose du tableau statistique habituel La moyenne géométrique des valeurs x1, x2, x3 ….xi, …xk est donnée par la formule : Valeurs xi de la variable X Effectifs ni x1 x2 … xi Xk n1 n2 ni nk S ni = N Le calcul d’une moyenne géométrique est toujours long et pénible. On a avantage à écrire sous forme logarithmique la formule qui conduit à la détermination de G : Ce qui permet d’énoncer que ‘’le logarithme de la moyenne géométrique est égale à la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs de la variable’’

9 Exemple : Supposons une entreprise dont le chiffre d’affaires mensuel, sur une période de 5 mois consécutifs, soit tel que le chiffre d’affaires d’un mois égale le chiffre d’affaires du mois précédent augmenté de 10% de son montant. 1- Montrer que la suite des chiffres d’affaire mensuel constitue une progression géométrique de raison 1,1. 2- Si le chiffre d’affaires du premier mois est de € déterminer les chiffres d’affaires des autres mois. 3- Calculer la moyenne géométrique de cette série. x2 = x1+10%*x1=x1+0.1*x1=1.1 x1, de même x3=1.1 x2 etc. Ce chiffre d’affaire a été successivement, au cours de cinq mois, égal à : x1 = €, x2 = €, x3 = €, x4 = €, x5 = €. Quelque soit i : ni = 1 donc S ni = 5. € Le calcul de la moyenne géométrique présente toujours un intérêt et a toujours un sens lorsque le quotient de deux valeurs quelconques de la variable a un sens. Ainsi dans cet exemple : Signifie que le chiffre d’affaires a augmenté de 21 % du 3e au 5e mois.

10 2- 6 : La moyenne harmonique.
Montrons d’abord un exemple de problème dans lequel on peut être conduit à calculer une moyenne harmonique. Supposons qu’une entreprise dispose de deux voitures automobiles dont les consommations respectives de carburant, pour une distance de 100 kilomètres, sont de 20 litres et 10 litres. L’entreprise se propose de calculer la consommation moyenne de carburant, pour 100 kilomètres, des deux véhicules en question. Elle peut calculer la moyenne arithmétique des consommations. Elle est égale à 30 /2 = 15 litres pour 100 kilomètres. Mais on peut aussi tenir le raisonnement suivant : - le premier véhicule permet de couvrir, avec un litre de carburant, 100/20 = 5 km. - le second véhicule permet de couvrir, avec un litre de carburant ,100/10 = 10 km. En moyenne les deux automobiles permettent donc de parcourir, avec un litre de carburant : (5+10)/2 = 7.5 km. Et en moyenne la consommation de carburant aux 100 kilomètres, sera égale à 100/7.5 = 13.3 litres, résultat différent des 15 litres précédemment obtenus. Nous venons de calculer la moyenne harmonique des deux nombres 20 et 10, moyenne qui satisfait à la relation :

11 D’une façon générale, et avec les notions habituelles, la moyenne harmonique, que nous désignerons par la lettre H, sera donnée par la formule : avec ce qui peut aussi s’écrire : et peut s’énoncer : ‘’l’inverse de la moyenne harmonique est égal à la moyenne arithmétique des inverses des valeurs de la variable’’ Le calcul d’une moyenne harmonique est intéressant et significatif chaque fois que l’on peut donner un sens aux nombres inverses des valeurs prises par la variable statistique. Dans l’exemple des deux voitures, la moyenne arithmétique de 15 litres signifie que : -si le premier véhicule utilise 10 L de carburant, il peut parcourir 100*(10/20) = 50 km. -si le second véhicule utilise 5 L de carburant, il peut parcourir 100*(5/10) = 50 km. L’utilisation de = 15 L de carburant permet de parcourir = 100 km. Par ailleurs, la moyenne harmonique de L signifie que : -si le 1er véhicule utilise 6,66 L de carburant, il peut parcourir 100*(6.66/20)=33.33 km. -si le 2nd véhicule utilise 6,66 L de carburant, il peut parcourir 100*(6.66/10)=66.66 km. Une consommation totale de 6,66 + 6,66 = litres de carburant permet de parcourir une distance de 33, ,66 ~ 100 km.

12 2- 7 : Conclusion sur les moyennes.
Toutes les moyennes que nous venons de rencontrer remplissent leur rôle qui est de donner la notion chiffrée de la valeur centrale (de la position, de l’ordre de grandeur) d’une distribution statistique. Cependant leurs définitions, les calculs qu’elles entraînent, nous conduisent à donner la préférence à la moyenne arithmétique. Nb d’enfants à charge Effectifs ni 1 2 3 4 5 6 Total 17 31 20 11 89 Consommation Nombre de voitures ni 20 10 Total 1 2 Indiquons que les trois moyennes étudiées satisfont, pour une même distribution statistique, aux conditions d’inégalité. Rappelons enfin que ces moyennes s’expriment dans la même unité que la variable étudiée, comme c’est le cas d’ailleurs, pour le Mode et pour la Médiane.

13 2- 8 : Relation empirique entre la moyenne, la médiane et le mode.
Pour des courbes de densité unimodales modérément asymétriques, on a la relation empirique suivante : Les figures ci-dessous montrent les positions relatives de la moyenne, de la médiane et du mode pour des courbes de densité qui s’aplatissent légèrement soit à droite, soit à gauche. Dans le cas de courbes symétriques la moyenne, le mode et la médiane coïncident. Mode Médiane Moyenne Mode Médiane Moyenne Mode = Médiane = Moyenne 2- 9 : La moyenne quadratique (M.Q). La moyenne quadratique de l’ensemble des valeurs x1(n1), x2(n2)… xN(nN) de la variable X est définie par : Cette moyenne est très fréquente en physique.