Introduction Chapitre 1 GRAFCET Chapitre 2 RdP : Concepts de base & Marquage d'un Réseau de Petri Marquage d'un Réseau de Petri Chapitre 3 Propriétés des.

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1 Introduction Chapitre 1 GRAFCET Chapitre 2 RdP : Concepts de base & Marquage d'un Réseau de Petri Marquage d'un Réseau de Petri Chapitre 3 Propriétés des réseaux de Petri Petri Chapitre 4 Méthodes de réduction Modélisation des réseaux Sommaire

2 Introduction Générale  RdP (Réseaux de Pétri) : un outil de modélisation très puissant et très répondu notamment dans le monde recherche et développement.  Cet outil permet essentiellement la modélisation des systèmes quelque soit leurs domaines d’application (Informatique, Télécommunication, Production, …).

3 Plan du Cours Nous présenterons tout d’abord Grafcet Dans un premier temps on va voir quelques définitions et formalismes concernant cet outil de modélisation: RdP Ensuite nous discuterons de quelques propriétés très utiles dans l’analyse des RdP et des techniques de simplification permettant de les dégager facilement. Nous présenterons également quelques structures de base fréquemment utilisées notamment dans les systèmes de production. A la fin de chapitre, vous serez en mesure de modéliser le fonctionnement d’un système à l’aide d’un RdP et de déterminer ses propriétés !

4 Introduction C'est en 1964 que Carl Adam Pétri définissait les réseaux qui portent depuis son nom. Vingt ans ont passé sans que cet outil de modélisation, réputé puissant dans tous les laboratoires de recherche, parvienne à pénétrer le monde industriel si ce n'est sous la forme voisine, mais conceptuellement différente, du GRAFCET. Cet insuccès est sans doute imputable, pour une part, à l'absence de norme et à une utilisation, dans les écoles d'ingénieurs et les universités, plus tournée vers la recherche que vers l'industrie. Mais la raison essentielle réside sans doute dans le fait que les concepteurs de systèmes automatisés n'exigeaient pas, jusqu'à une date récente, d'outils de modélisation aussi puissants que les réseaux de Pétri. 4/22

5 Introduction La complexité croissante de nos systèmes de production, notamment dans le domaine manufacturier, a provoqué un appel de la part des concepteurs et des utilisateurs de systèmes discontinus. Le succès du GRAFCET est dû à ce besoin nouveau d'un outil capable d'exprimer les deux grandes caractéristiques des systèmes séquentiels : le parallélisme et la synchronisation. On sait aujourd'hui cependant que la conception et l'exploitation des systèmes de production manufacturiers, pour ne prendre que cet exemple, requièrent des modèles plus riches en information et plus concis que le GRAFCET, aux fins d'analyse, de simulation et de commande. D'où l'intérêt que nous portons aujourd'hui à l'utilisation des RdP dans ce domaine d'application.. 5/22

6 Introduction Le formalisme des réseaux de Pétri est un outil permettant l'étude de systèmes dynamiques et discrets. Il permet d'obtenir une représentation mathématique modélisant le système. L'analyse de cette représentation (du réseau de Pétri) peut révéler des caractéristiques importantes du système concernant sa structure et son comportement dynamique Les résultats d'une telle analyse sont utilisés pour évaluer le système et en permettre la modification et/ou l'amélioration le cas échéant. 6/22

7 ANALYSE FONCTIONNELLE D’UN SYSTEME TECHNIQUE MODELISATION D’UN SYSTEME TECHNIQUE La modélisation permet de décrire graphiquement un système technique. W : Energie / ( We ( Electrique ) ; Wp ( Pneumatique ) ; Wm ( Mécanique ) C : Configuration (Programme ) / R : Réglage ( T°, vitesse ) ; E : Exploitation ( données opérateurs et matériels)

8 Compléter la modélisation du système technique du lave linge automatique Eau +………………………. ……………………….

9 Compléter la modélisation du système technique du lave linge automatique Eau + Produit machine ………………………. Programme Lave linge automatique We R Opérateurs Linge sale Linge propre Signal + Bruit Eau usée Laver le linge

10 Matière d’oeuvre SystèmeMOEFGMOS Lave lingeLinge saleLaver le lingeLinge propre RétroprojecteurInfo non projetée et non agrandie Projeter et Agrandir les info Info projetées et agrandies Chauffage électrique Energie électriqueTransformer l’énergie Energie thermique Fer à repasserVêtements froissésRepasser les vêtements Vêtements repassés

11 Table La frontière d’étude du système Exple : Fer à repasser câble Vêtements froissés Vêtements repassés eau Fer à repasser chaleur Opérateur

12 Table La frontière d’étude du système Exple : Fer à repasser câble Vêtements froissés Vêtements repassés eau Fer à repasser chaleur Opérateur Eléments du système Eléments d’environnements Frontières d’études

13 MOE MOS Structure d’un Système Technique Pupitre OrdreConsigne message Compte rendus PC PO Pré- actionneurs Capteurs Actionneurs Effecteurs Eléments d’interfaces Consigne ( clavier/souris ….), message ( écran/leds …..)

14 Structure d’un Système Technique Partie Commande Pupitre PC Pré- actionneurs PO Actionneurs STRUCTURE D’UN SYSTEME TECHNIQUE AUTOMATISE

15 Lave lingeBarrière de Parking Fer à repasser ActionneursMoteur Résistances EffecteursTambourBarrièreSemelle L’actionneur est un objet qui convertit une énergie d’entrée en une énergie de sortie utilisable pour effectuer une action définie Exemples Exemples de SystèmesSymbole de l’actionneurRôle Meuleuse angulaireMoteurWe -----  Wm Réchaud électriqueWe -----  Wth Porte AutobusVérinWp -----  Wm RétroprojecteurLampeWe -----  Wl ….etc. M R

16 Exemple d’un poste de marquage pièce C1 M1 P L10 L11 Micro -ordinateur C1: Vérin M1 : Distributeur L10 : Capteurs Elts d’interfaces Pré-actionneurs : M1 Capteurs : L10 – L11 PO Actionneurs : C1 Effecteurs : P

17 Pièce non marquée Pièce marquée OrdreConsigne message Compte rendus PC PO M1 L10 – L11 C1 P Eléments d’interfaces Clavier Ecran UC Micro- ordinateur Pupitre

18 Description temporelle d’un système par l’outil GRAFCET Soit le système Machine à cambrer. Compléter le GRAFCET du système relatif au fonctionnement donné sans préciser les moyens technologiques mis en œuvre. Rappel GRAFCET (Graphe Fonctionnel de Commande par Etapes et Transitions) Action associée Symbole d’une transition Etape Etape initiale Liaisons orientées

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20 Action associée Symbole d’une transition Etape Etape initiale Liaisons orientées

21 La situation initiale correspond à l'étape active au début du fonctionnement. Elle correspond généralement à un comportement de repos du système. Définition d’une étape active : Une étape est dite active si l'action qui lui est associée est en cours d'exécution. Une étape active est repérée par un point noir placé à l'intérieur du carré correspondant.

22 Pour franchir une transition, il faut que les deux conditions suivantes soient remplies : Cette transition est validée (l'étape précédente est active). La réceptivité qui lui est associée est vraie. Le franchissement d’une transition, provoque : L’activation de l’étape immédiatement suivante. La désactivation de l’étape immédiatement précédente.

23 Solution  1 ère tâche Attendre (arrêt ou repos)  1 er événement Mise en marche  2 ème tâche ………………………………………………  2 ème événement ………………………………………………  3 ème tâche ………………………………………………  3 ème événement ………………………………………………

24 Solution  1 ère tâche Attendre (arrêt ou repos)  1 er événement Mise en marche  2 ème tâche Amener la pièce  2 ème événement Pièce amenée  3 ème tâche Cambrer la pièce  3 ème événement Pièce cambrée

25  4 ème tâche ………………………………………………  4 ème événement ……………………………………………… D - ……………………………………………… Attendre ………………………………………… Pièce éjectée ………………………………………… Mise en marche ………………………………………… 01230123 b - c -

26  4 ème tâche Ejecter la pièce  4 ème événement Pièce éjectée D - Amener la pièce Cambrer la pièce Ejecter la Pièce Attendre Amener la pièce Cambrer la pièce Ejecter la Pièce Pièce éjectée Mise en marche Pièce amenée Pièce cambrée Mise en marche Pièce amenée Pièce cambrée Pièce éjectée 01230123 b - c -

27 d ) Compléter la figure suivante en considérant la tâche N° 1 e ) Faire de même pour la tâche N° 2 …………………………….. f ) Faire de même pour la tâche N° 3 …………………………….. 1 2 3

28 d ) Compléter la figure suivante en considérant la tâche N° 1 e ) Faire de même pour la tâche N° 2 Mise en marche Amener la pièce Pièce amenée Cambrer la pièce Pièce cambrée f ) Faire de même pour la tâche N° 3 Pièce cambrée Ejecter la pièce Pièce éjectée 1 2 3

29 1- La réceptivité R2 est-elle vraie? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Pourquoi ? ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………….. 2 3 T2/3

30 1- La réceptivité R2 est-elle vraie? R2 est fausse Pourquoi ? Car la pièce n’est pas complètement cambrée Pièce amenée : R1 Pièce cambrée : R2 Pièce éjectée : R3 Cambrer la pièce Ejecter la pièce 2 3 T2/3

31 2- L’étape 2 est-elle active ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pourquoi ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 3- La transition T2/3 est-elle validée ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pourquoi ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 4- La transition T2/3 est-elle franchie ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pourquoi ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 5- Si la pièce est complètement cambrée, La transition T2/3 est-elle franchie ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. Pourquoi ? ……………………………………………………………………………………………………………………………………….. 6- Le franchissement de la transition T2/3 entraine : ………………………………………………………………………………………………………………………………………..

32 2- L’étape 2 est-elle active ? Oui Pourquoi ? Car elle est en cours de réalisation 3- La transition T2/3 est-elle validée ? Oui Pourquoi ? Car l’étape précédente est active ( étape 2 ) 4- La transition T2/3 est-elle franchie ? Non Pourquoi ? Car R2 est fausse 5- Si la pièce est complètement cambrée, La transition T2/3 est-elle franchie ? Oui Pourquoi ? Car R2 devient vraie 6- Le franchissement de la transition T2/3 entraine : Activation de l’étape 3 et désactivation de l’étape 2

33 RdP Introduction Les Caractéristiques principales des RdP sont : Distribution des états et des changements d 'états dans le réseau. Dépendance et indépendance d 'ensembles d 'événements représentées explicitement (relations de causalité). Représentation à différents niveaux d 'abstraction (i.e. détaillés comme abstraits). Vérification des propriétés possibles car basées sur un formalisme mathématique rigoureux. Modélisation simulable. Représentation graphique.. 33/22

34 RdP : Concepts de base un ensemble fini de places, P={P1, P2, P3,..., Pm}, symbolisées par des cercles et représentant des conditions qui traduit l’état d’une ressource du système (machine libre, stock vide, convoyeur à l’arrêt, …). un ensemble fini de transitions, T={T1, T2, T3,..., Tn}, symbolisées par des tirets et représentant l'ensemble des événements (les actions se déroulant dans le système) dont l'occurrence provoque la modification de l'état du système, un ensemble fini d'arcs orientés qui assurent la liaison d'une place vers une transition ou d'une transition vers une place. Notion de graphe orienté Un graphe orienté est dit biparti, c'est-à-dire qu'un arc relie alternativement une place à une transition et une transition à une place. Ainsi les situations suivantes sont interdites.

35 Le vocabulaire Condition Une condition est la description de l’état d’une ressource du système modélisé: une machine est au repos, une machine est en réparation une commande est en attente Une condition est soit vraie, soit fausse. Un état du système peut être décrit comme un ensemble de conditions. d’une place Dans le formalisme des Réseaux de Petri, la condition est modélisée à l’aide d’une place Evénement Un événement est une action qui se déroule au sein du système et dont la réalisation dépend de l’état du système : début de traitement sur une machine, panne sur une machine début de traitement d’une commande d’une transition. Dans le formalisme des Réseaux de Petri, l’événement est modélisé à l’aide d’une transition.

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37 Exemple Atelier de coupe de bois Conditions - La machine de coupe est au repos - Une commande est en attente - La commande est en cours de traitement - La commande est terminée. Evénements - Une commande arrive - La machine débute le traitement de la commande - La machine termine le traitement de la commande - La commande est envoyée pour la livraison

38 Définition d’un réseau de Pétri Un réseau de Petri est un graphe orienté biparti défini par un quadruplet R = (P, T, Entrée, Sortie), où : P est un ensemble fini de places= P = {p1, p2, p3,.., pn} T est un ensemble fini de transitions = T = {t1, t2, t3,.., tn} Entrée (ou Pré) est une application, Entrée: P x T → N, appelée application d’incidence avant. Notée Pré(p,t) ou Entrée(p,t) ou encore I(p,t), contient la valeur entière « n » associée à l’arc allant de « p » à « t ». Sortie (ou Post) est une application, Sortie: P x T → N, appelée application d’incidence arrière. Notée Post(p,t) ou Sortie(p,t) ou encore O(p,t) contient la valeur entière « n » associée à l’arc allant de « t » à « p ».

39 « p » est une place d’entrée de la transition « t » si Pré(p, t) > 0 k1=entrée(p,t)>0 « p » est une place de sortie de la transition « t » si Post(p, t) > 0 k2=Sortie(p,t)>0 t est une transition d’entrée de p si Sortie(p,t) > 0: i1=Sortie(p,t)>0 t est une transition de sortie de p si Entrée(p,t) > 0: i2=Entrée(p,t)>0 k1,k2,i1,i2 représentent le poids des arcs

40 Par convention, lorsque le poids n’est pas précisé sur un arc, alors ce poids vaut 1. Si aucun arc ne relie une transition t à une place p, alors Sortie(p,t) = 0. De même, si aucun arc ne relie une place p à une transition t, alors Entrée(p,t) = 0. Transition source Une transition source est une transition qui ne comporte aucune place d’entrée Transition puits Une transition puits est une transition qui ne comporte aucune place de sortie

41 Marquage d'un Réseau de Petri Le marquage d’un RdP est précisé par la présence à l'intérieur des places d'un nombre fini (positif ou nul), de marques ou de jetons. Une place est donc vide ou marquée. Lorsque la place représente une condition logique (ex. : machine à l’arrêt, convoyeur en panne), la présence d’un jeton indique que cette condition est vraie; fausse dans le cas contraire. Une place donc peut représenter une ressource du système (un stock par exemple), elle peut contenir plusieurs jetons (dans l’exemple du stock, le nombre de jetons peut indiquer le nombre de pièces stockés). Une place contient un nombre ≥ 0 de jetons

42 Au cours de l’évolution du système, le marquage est susceptible d’être modifié (voir les règles d’évolution d’un RdP). Le marquage initial, M0, d’un RdP correspond à la distribution initiale des jetons dans chacune des places du RdP, qui précise l'état initial du système. Dans ce cas, on parle du Rdp Marqué par opposition à un Rdp non marqué, c’est-à-dire pour lequel le marquage initial n’est pas précisé. On note M(p) le nombre de jetons contenu dans la place p pour le marquage M. Dans l’exemple ci-dessous, si l’état initial correspond à la répartition des jetons suivante, alors le marquage initial: M0 = [M0(p1), M0(p2)]= [3, 0]. Marquage d'un Réseau de Petri

43 Exemple : T4

44 Remarques : Un jeton peut avoir plusieurs significations en fonction de la place dans lequel il se trouve. Par exemple dans le RdP ci-dessous on considère que : P1 représente un stock : le nombre de jetons en p1 indique le nombre de pièces stockées P2 représente une machine en cours de traitement : un jeton en p2 indique que la machine traite une pièce P3 représente une machine libre : un jeton en p3 indique que la machine est libre. Les jetons d’une place n’ont pas d’identité individuelle, autrement dit ils sont indiscernables.(Qu'on ne peut discerner. Qui ne peut être clairement distinct d'une autre chose de même nature ) Ces jetons sont consommées et produites par les événements du système.

45 les situations suivantes sont interdites

46 La présentation faite des Réseaux de Petri est une représentation graphique, alors qu’il est possible d’en faire une représentation mathématique grâce à l’algèbre linéaire. Cette notation permet de représenter un RdP de manière plus formelle mais moins lisible que la représentation graphique. q lignes Ainsi, Pré et Post sont représentés par des matrices à q lignes (nombre de places), n colonnes n colonnes (nombre de transitions). Exercice : Pour le RdP suivant : Indiquer le marquage initial Etablir la matrice d’entrée E Etablir la matrice de sortie S

47 Solution : Le marquage initial est Mo =[0 3 0] Les matrices suivantes E et S sont elles vraies ??? Si oui justifier si non donner la bonne solution !  NB : Pré et Post sont représentés par des matrices à q lignes (nombre de places), n colonnes (nombre de transitions).

48 Solution : Le marquage initial est Mo =[0 3 0] Les matrices suivantes E et S sont elles vraies ??? Si oui justifier si non donner la bonne solution ! E= T1T2T3T4 P10100 P21030 P30001 S= T1T2T3T4 P11000 P20102 P30010  NB : Pré et Post sont représentés par des matrices à q lignes (nombre de places), n colonnes (nombre de transitions).

49 Dynamique des Réseaux de Petri (Evolution du marquage) Validation d’une transition L'évolution de l'état du réseau de Petri correspond à une évolution du marquage. Les jetons, qui matérialisent l'état du réseau à un instant donné, peuvent passer d'une place à l'autre par franchissement ou tir d'une transition. Une transition est validée (on dit aussi sensibilisée ou franchissable ou encore tirable) si toutes ses places d’entrée contiennent au moins un jeton.

50 Franchissement d’une transition Le franchissement d'une transition ou le tir d'une transition, consiste à enlever un jeton dans chacune des places d'entrée de la transition et à ajouter un jeton dans chacune des places de sortie de la même transition. Le franchissement M1=[3 1 1] de la transition t1 à partir du marquage M1 conduit au marquage M2=[2 0 2], se note: M1 (t1  M2)

51 Exemple

52 Franchissement d’une transition source Une transition source est une transition qui ne comporte aucune place d’entrée ; c’est une transition toujours franchissable et le franchissement a lieu lorsque l’événement associé se produit. Franchissement d’une transition puits Une transition puits est une transition qui ne comporte aucune place de sortie; le franchissement d’une transition puits enlève des jetons de toutes les places d’entrée de la transition. Exemple : t1 transition source et t3 transition puits

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54 Le franchissement (ou le tir) d'une transition ne peut s'effectuer que si chacune des places en amont (en entrée) de cette transition contient suffisamment de jetons (>=au poids de l'arc correspondant). On dit alors que la transition est franchissable ou validée. Exemples

55 Le franchissement est une opération indivisible (atomique) qui consiste à retirer des jetons des places en amont (en entrée) et à ajouter des jetons dans les places en aval (en sortie) de la transmission franchie. Le nombre de jetons retirés ou ajoutés est égal au poids de l'arc reliant la transition à la place en question 2

56 Tir d’une transition avec plusieurs ressources De manière formelle, une transition est dite sensibilisée si les places situées en amont (places d'entrée) possèdent chacune un nombre de jetons supérieur ou égal au poids des arcs joignant ces places à la transition. Franchir ou tirer une transition consiste à enlever de chaque place d'entrée un nombre de jetons égal au poids de l'arc joignant cette place à la transition et à déposer, dans chaque place aval ou place de sortie, un nombre de jetons égal au poids de l'arc joignant la transition à chacune de ces places. Le franchissement des transitions et les modifications du marquage qu'il entraîne permettent d'analyser la dynamique du système modélisé Transition t non tirable

57 Tir de t Exemple concret : Une molécule d’eau est constituée de deux atomes d’hydrogène et d’un atome d’oxygène. Cette réaction chimique peut être modélisée par un RdP :

58 Remarques : Lorsqu'une transition est validée, cela n'implique pas qu'elle sera immédiatement franchie; cela ne représente qu'une possibilité de franchissement ou d’évolution du RdP. il y a un seul franchissement Pour les RdP, il y a un seul franchissement à la fois :le réseau ne peut évoluer que par franchissement d'une seule transition à la fois, transition choisie parmi toutes celles qui sont validées à cet instant. Le franchissement d'une transition est indivisible et de durée nulle.  En utilisant la notion d’algèbre linéaire, le franchissement (tir) d'une transition tj ne peut s'effectuer que si le marquage de chacune des places pi directement en amont de cette transition est tel que :

59 Le franchissement (tir) de tj consiste à retirer Pré (pi, tj ) jetons dans chacune des places directement en amont de tj et à ajouter Post(pk,tj ) jetons dans chacune des places pk directement en aval de tj. Le franchissement de tj conduit au nouveau marquage M' tel que : ∀ pi ∈ P, M’(pi) =M(pi) - Pre(pi,tj) + Post(pi,tj) La différence des marquages M et M’ tels que est égale à Post – Pre. On introduit la matrice W, dite matrice d'incidence telle que ∀ pi ∈ P, ∀ tj ∈ T : W(pi,tj) = Post(pi,tj) - Pre(pi,tj) La j ieme colonne de la matrice d’incidence W donne donc la variation du nombre de jetons dans chaque place lors du franchissement de la transition tj. On peut par conséquent établir le nouveau marquage M’ à partir du marquage M par franchissement de la transition tj en appliquant la règle suivante :

60 Exemple Interprétation : Le franchissement de la transition t1 enlève un jeton à p1 et un jeton à p2 et ajoute un jeton à p3. Le franchissement de la transition t2 enlève un jeton à p3 et ajoute un jeton à p1 et un jeton à p4. Un zéro dans la matrice W correspondant à une transition ti et une place pj s’interprète comme l’absence d’un arc reliant ces deux nœuds. purs. Mais attention, cette dernière interprétation ne concerne que les Rdp dits purs. Par ailleurs, la matrice d’incidence ne donne aucune indication sur la possibilité de franchir une transition puisqu’elle est indépendante du marquage

61 0 A partir du marquage M’, le tir de T1, donne le nouveau marquage M’’ =[0 0 1 3] T qui peut être également obtenu algébriquement par la relation :

62 Enfin ce marquage peut être obtenu à partir du marquage initial par le franchissement de la séquence T2T1 de la manière suivante : Voir généralisation plus loin. Remarque : Dans l’exemple ci-dessus, le poids des arcs est unitaire. Il s’en suit que les coefficients des matrices E et S sont soit égal à 1 (présence d’un arc) ou soit égal à 0 (absence d’un arc). Dans le cas où les arcs sont pondérés, il convient de tenir des poids lors de l’établissement des matrices E et S.

63 Marquages Accessibles & Graphe des Marquages Marquages accessibles Pour définir l'état d'un système modélisé par un réseau de Petri, il est nécessaire de compléter le réseau de Petri par un marquage. Ce marquage consiste à disposer un nombre entier (positif ou nul) de jetons dans chaque place du réseau de Petri. L’ensemble des marquages accessibles d’un RdP à partir d’un marquage initial donné, correspond à l’ensemble des marquages atteint après franchissement de transitions sensibilisées les unes après les autres ; ce qui correspond à toutes les situations possibles du RdP au cours de son évolution à partir du marquage initial. On appelle marquage M d’un RdP le vecteur dont les composantes représentent le nombre de jetons dans chaque place : la ième composante de ce vecteur correspond au nombre de jetons dans la ième place. Il indique à un instant donné l’état du RdP. On note le marquage initial, M0, le marquage à l’instant initial (t = 0).

64 L’évolution du RdP est représentée ci-dessous avec les marquages représentés sous la forme de vecteurs colonnes. L’ensemble des marquages accessibles, A(R;M0), pour le ce RdP est: A(R;M0) = {M0, M1, M2, M3,M4}.

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66 L’évolution du RdP peut être représenté sous la forme d’un graphe des marquages GA(R ; M0), dont les sommets correspondent aux marquages accessibles.

67 Enfin, il est possible de représenter un graphe de marquage sous forme d’un « organigramme ». Ainsi pour l’exemple ci-dessous, on aura :

68 Le marquage dit initial décrit l’état initial du système. Ainsi, l'ensemble des marquages accessibles à partir du marquage initial par franchissement d'une séquence de transition correspond à l'ensemble des états du système. Contrairement aux graphes d'état (*), une place d'un RdP ne correspond pas à un état du système mais participe, à travers son marquage, à la description d'un ou de plusieurs états du système. L'ensemble des marquages accessibles est équivalent au graphe d'état représentant le comportement du système. Remarques : On utilise le graphe de marquages quand le nombre de marquages accessibles est fini. La représentation graphique d’un graphe de marquage permet de déterminer certaines propriétés de celui-ci. Par exemple si le graphe présente une zone non bouclée, cette partie du marquage une fois atteinte constitue un arrêt de l'évolution du RdP et celui-ci sera déclaré avec blocage.

69 Exemple Lorsqu'une transition Tj est validée, cela n'implique pas qu'elle sera immédiatement franchie. Ce n'est qu'une possibilité. Sur la figure suivante T2 et T3 sont validées après le franchissement de T1. Cependant on ne sait pas quand ces transitions seront franchies, mais on sait que la prochaine évolution du marquage correspondra soit au franchissement de T2 soit à celui de T3.

70 On notera *M0 l'ensemble des marquages accessibles à partir du marquage initial M0. Pour notre exemple: *M0={M0, M1, M2, M3, M4}

71 Séquence de franchissement Le franchissement successif de transitions (sensibilisées) dans un ordre donné à partir d’un marquage donné constitue une séquence de franchissements. Un réseau de Petri est un graphe d’états si et seulement si toute transition a exactement une place d’entrée et une place de sortie. Si l’ensemble des places du graphe d’états ne contient qu’un seul jeton, on retrouve le graphe d’état classique introduit pour la description et la conception des machines logiques séquentielles. Il permet de visualiser des phénomènes de concurrence (décision), mais pas de synchronisation. Un réseau de Petri est un graphe d’événements si et seulement si toute place a exactement une transition d’entrée et une transition de sortie. Aussi, un graphe d'événements peut modéliser des phénomènes de synchronisation, mais pas de concurrence.

72 Graphe d'état Chacune des transitions T1, T2, T3, T4 et T5 possède une seule place d'entrée et une seule place de sortie. graphe d'événement

73 Pour le RdP ci-dessous:

74 Les Séquences de franchissement peuvent être notés différemment selon les auteurs. Par exemple, la séquence qui conduit du marquage M0 au marquage M4 peut être notée : S1 et S2 sont deux séquences possibles à partir du marquage initial M0 ; chacun des marquages est atteint après le tir d’une transition permet le tir de la transition suivante dans la séquence. Toute séquence de franchissement considérée à partir de M0 doit débuter par T1. La séquence S = T2T4T3, n’est pas réalisable à partir de M0 De même, toute séquence de franchissement considérée à partir de M2 doit débuter par T2. La séquence S =T3T4T2, n’est pas réalisable à partir de M2. On définit S, vecteur caractéristique de la séquence S en précisant pour chaque transition le nombre de fois où la transition est franchie dans la séquence. L’équation fondamentale d’un marquage M k à partir d’un marquage Mi est : M k = M i + W.S T

75 Cette équation permet de calculer en une seule opération, sans parcourir le réseau, le marquage obtenu après le franchissement de la séquence complète. Attention : Les résultats de l'équation fondamentale, même s'ils sont toujours calculables, n'ont de sens que si la séquence représentée par S est effectivement réalisable. A titre d’exemple, on considère la séquence de franchissement S = T1T2T4T2 du RdP précédent qui conduit au marquage M3. Le vecteur caractéristique S = [1 2 0 1 0] T. On commence par établir la matrice d’incidence W comme suit :

76 Le marquage obtenu à partir du marquage initial M0 est alors : M = M + W.S T = qui correspond bien au marquage M3.

77 Attention : L’obtention d’un marquage à partir d’un autre ne signifie pas forcément l’unicité du vecteur caractéristique. En effet, si on reprend l’exemple ci-dessous, on aboutit à partir du marquage initial M0 au marquage M2 par franchissement de la séquence T1T3 (S=[1 0 1 0 0] T ) ou par franchissement de la séquence T1T3T2T4 (S=[1 1 1 1 0] T ). Une séquence est dite répétitive si à partir d’un marquage initial, on aboutit à un marquage final identique au marquage initial.

78 Exemple : Vérifier

79 Exemple :

80 Séquence de franchissement : Exemple

81 Propriétés des réseaux de Petri Conflits et parallélisme RdP sans conflit Un conflit (structurel) correspond à l’existence d’une place Pi qui a au moins deux transitions de sortie Tj, Tj. Un RdP avec conflit est un réseau qui possède donc une place avec au moins deux transitions de sorties. Cette situation du conflit correspond à la concurrence à la consommation des jetons à une place.  Il y a conflit si plus d’une transition peuvent être franchies pour une même place d’origine, on choisit l’une des transitions, de manière non-déterministe.

82 Dans l’exemple ci-dessous, T1 et T2 sont en conflit structurel potentiel pour le partage des jetons de la placeP1. Quand la place P1 contient un jeton, les transitions T1 et T2 sont franchissables. Seule une des deux transitions peut être franchie : il est nécessaire de prendre une décision pour savoir laquelle des deux le sera effectivement. Ce conflit structurel doit être arbitré par une règle de priorité quelconque lorsque le conflit est effectif, c’est-à-dire lorsque les transitions aval en compétition pourraient être activées Ne pas arbitrer un conflit structurel fait que le comportement n’est pas entièrement spécifié.

83

84 RdP à choix libre (ou simple) Un RdP est à choix libre est un réseau dans lequel pour tout conflit [Pi,{T1,T2,…,Tn}] aucune des transitions T1,T2,…,Tn ne possède aucune autre place d’entrée que Pi. Conflit relatif au marquage ou transitions en conflit effectif Dans un Rdp, deux transitions Ti et Tj sont en conflit effectif pour un marquage M si et seulement si : M ≥ Pre(.; Ti), M ≥ Pre(. ; Tj) et M n’est pas supérieur ou égal Pre(.; Ti) + Pre(.; Tj).

85 Cela veut dire qu’il y a assez de jetons pour que l’une des deux transitions Ti ou Tj (exclusivement) soit franchie mais pas les deux à la fois. Dans le réseau de Petri de la figure ci-dessous, les transitions T1 et T3 sont en conflit effectif pour le marquage initial M0 =[0 3 0] T : Il y a assez de jetons dans la place P2 pour le franchissement de T1 ou bien pour le franchissement de T3 mais pas pour les deux à la fois. Par contre pour le marquage :M0=[0 4 0] T, ces transitions sont toujours en conflit structurel mais elles ne sont plus en conflit effectif. Poids c’est 3

86 RdP pur Un RdP pur est un réseau dans lequel il n’existe pas de transition ayant une place d’entrée qui soit à la fois place de sortie de cette transition (boucle élémentaire). Dans le cas contraire, on parle de RdP impur. La transition T2 admet à la fois la place P3 comme place d’entrée et place de sortie

87 Remarque La matrice d’incidence W est liée à la structure du RdP. Si le réseau est pur (Absence d’une boucle élémentaire) alors il est possible de reconstruire le RdP à partir de sa matrice d’incidence. En effet le RdP ci-dessous est impur à cause de la présence d’une boucle élémentaire (P3,T5) dont la matrice d’incidence W est donnée ci-contre : Chercher la Matrice d’incidence

88 E= T1T2T3T4T5 P101000 P210100 P300011 S= T1T2T3T4T5 P110000 P201010 P300101

89 Remarque La matrice d’incidence W est liée à la structure du RdP. Si le réseau est pur (Absence d’une boucle élémentaire) alors il est possible de reconstruire le RdP à partir de sa matrice d’incidence. En effet le RdP ci-dessous est impur à cause de la présence d’une boucle élémentaire (P3,T5) dont la matrice d’incidence W est donnée ci-contre : Donc, la matrice d’incidence W ne contient donc pas (toujours) toute l’information sur la structure du RdP. Par ailleurs, la notion d’impureté n’est pas forcément une propriété contraignante. Elle permet de simplifier la structure d’un RdP. L’exemple suivant constitue une bonne illustration de ce propos.

90 En effet, on considère la réaction chimique suivante qui doit se dérouler en présence d’un catalyseur (platine) : H2 + C2H4 platine C2H6 L’état initial du système est caractérisé par : – deux unités de H2 (2 jetons dans la place P1) – une unité de C2H4 (1 jeton dans la place P2) – le platine est libre (1 jeton dans la place P3) – une unité de C2H6 (1 jeton dans la place P4) éthylène L'éthane 2 2

91 Le RdP représentant cette réaction chimique est donné par la figure de gauche. L’état du système va évoluer quand la réaction chimique se produit (franchissement de la transition T1). La place P3 doit être impérativement en entrée de la transition T1. Cependant, quand la réaction chimique se produit, le platine étant un catalyseur, il n’est pas consommé. Par suite, la place P3 doit être en sortie de la transition T1 de façon à restituer la ressource après que la réaction se soit produite. Ce RdP n’est pas pur puisque la place P3 est à la fois place en entrée et en sortie de la transition T1. Par contre, une description plus fine de la réaction chimique donne lieu au RdP pur donné par la figure à droite. Cependant, il est plus complexe. Par description plus fine, on entend que la réaction chimique n’est pas instantanée et les transitions T1 et T2 modélisent le début et la fin de cette réaction chimique. Cet exemple montre que des “transitions impures” peuvent ainsi introduites pour simplifier le modèle RdP d’un système.

92 Réseau propre (ré-initialisable) Un Rdp est propre si et seulement si : le marquage Mi accessible depuis M0, une séquence de tirs conduisant à M0. Cette définition découle en faite de la notion « Etat d’accueil » :  État d’accueil Un RdP possède un état d’accueil Ma pour un marquage initial Mo si pour tout marquage accessible Mi il existe une séquence de tirs S telle que Mi[S >Ma. Il s’en suit qu’un RdP est ré-initialisable (ou réversible) pour un marquage initial Mo si Mo est un état d’accueil.

93 Réseau vivant (sans blocage) La propriété de vivacité examine si une partie ou l’ensemble du réseau peut ou non évoluer. Une transition Tj est vivante pour un marquage initial M0 si pour tout marquage accessible Mk, il existe une séquence de franchissements à partir de Mk contenant Tj : M0 Mk Tj _ séquence de tirs passant par Tj Un RdP marqué est vivant pour un marquage initial M0 si toutes ses transitions sont vivantes pour ce marquage initial. Si une transition Tj est vivante alors, à tout instant, on sait que Tj peut être franchie au cours de l’évolution du RdP. Dans le cas d’un RdP modélisant un système fonctionnant en permanence, si une transition n’est pas vivante et si une fonction du système est associée au franchissement de cette transition, cela veut dire qu’à partir d’un certain instant, cette fonction ne sera plus disponible dans le futur, ce qui peut traduire une erreur ou une panne.

94 Exemple d’unRdP non vivant Remarques RdP quasi vivant : Une transition Tj est quasi vivante pour un marquage initial M0 s’il existe une séquence de franchissements à partir de M0 contenant Tj. Il s’en suit qu’un RdP est quasi vivant pour un marquage initial M0 si toutes ses transitions sont quasi vivantes pour ce marquage initial. Conséquemment, une transition qui n’est pas quasi-vivante est inutile!

95 Exemple d’une transition quasi-vivante: La transition T1 est quasi vivante pour le marquage initial M0. T1 est tirable au moins une fois) Exemple d’un RdP quasi-vivant: Toutes les transitions sont quasi vivantes pour le marquage initial M0.

96 RdP pseudo vivant RdP pseudo vivant : Un RdP est dit pseudo vivant si depuis le marquage initial, son évolution est telle qu’il existe au moins une transition qui puisse être franchie. Avec le marquage initial : - T1 et T2 sont tirables le RdP est pseudo vivant - T3 n’est pas tirable le RdP n’est pas quasi vivant

97 Récap

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100 Réseau borné Cette propriété répond à la question de savoir si le nombre de jetons circulant dans le réseau reste borné ou non. Soit un réseau R et un marquage M0. Une place Pj du réseau marqué (R,M 0 ) est k-bornée si pour tout marquage Mi accessible depuis M 0, Mi (Pj) ≤ k. Pj est k-borné ⇔ ∀ Mi accessible depuis M 0, et Pj ∈ P, Mi(Pj) ≤ k Un RdP marqué est borné si toutes ses places sont bornées. Dans le cas contraire la place Pj est dite non bornée. Il s’en suit que le RdP est qualifié de non borné. Exemple d’un réseau non borné Croissance infinie des jetons dans la place P2. Remarque : Si k = 1 le RdP est dit sauf ou binaire.

101 Pour un marquage initial M0, un réseau de Petri est borné par un entier positif k si et seulement si toutes ses places sont bornées pour M0. L’entier positif k est la valeur maximum des bornes de l’ensemble des places du réseau.

102 Graphe des marquages des réseaux non bornés. Dans ce cas le graphe des marquages accessibles n’est pas fini. Néanmoins, il est possible de conserver le même mécanisme que précédemment, mais pour chaque nouveau marquage (nœud du graphe) ajouté, on vérifie s'il n'est pas supérieur à un marquage déjà présent sur au moins une séquence entre M0 et le nouveau marquage. Si tel est le cas tous les marquages de place supérieurs sont remplacés par ω. Ce symbole matérialise le fait que la place en question peut contenir autant de jetons que souhaité (elle est donc non bornée). 0 Tir T2 01W001W0 1

103 Dans la suite, les places non bornées le demeurent naturellement et ceci quelles que soient les transitions franchies, ainsi le symbole ω ne disparaît jamais. Cette méthode produit le graphe de couverture, un graphe fini dans tous les cas. Arborescence de couverture Un graphe de marquage ne peut plus être construit quand le réseau est non borné c-à-d quand le nombre de marquages accessibles est infini. D'où le recourt au graphe dit de couverture. C’est un graphe à nombre de marquages fini. Algorithme de construction d’un graphe de marquage A partir du marquage initial M0 indiquer toutes les transitions validées et les marquages accessibles successeurs correspondants. Si un des marquages est strictement supérieur à M0, on met la variable "w" pour chacune des composantes supérieures aux composantes de M0.

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105 Pas 2 : Pour chaque nouveau marquage Mi, on fait soit le pas 2.1 soit le pas 2.2 suivants : Pas 2.1 : S’il existe sur le chemin de M0 jusqu’à Mi (ce dernier exclut) un marquage Mj = Mi alors Mi n’a pas de successeurs. Pas 2.2 : Sinon, on prolonge le graphe avec les successeurs Mk (Mi) : Une composante "w" de Mi reste une composante "w« de Mk. S’il existe un marquage Mj sur le chemin de M0 à Mk tel que Mk > Mj, alors on met "w" pour chacune des composantes supérieures aux composantes de Mi. Remarques : ˜ Le marquage symbolique "w" désigne un nombre de jetons dans une place Pi qui peut atteindre un nombre très grand (l'infinie). Il représente en effet une infinité de marquages possibles.

106 RdP autonome et non autonome Un RdP autonome décrit le fonctionnement d'un système dont les instants de franchissement ne sont pas connus ou indiqués. Le moment de passage de l'été à l'automne est inconnu Un RdP non autonome décrit le fonctionnement d'un système dont l'évolution est conditionnée par des événements externes ou par le temps. Un RdP non autonome est synchronisé et/ou temporisé.

107 RdP généralisés Un RdP généralisé est un RdP dans lequel des poids (nombres entiers strictement positifs) sont associés aux arcs. Avant franchissement : Après franchissement :

108 RdP à capacités Un RdP à capacités est un RdP dans lequel des capacités (nombres entiers strictement positifs) sont associées aux places. Le franchissement d’une transition d’entrée d’une place Pi dont la capacité est cap(Pi) n’est possible que si le franchissement ne conduit pas à un nombre de jetons dans Pi qui est plus grand que Cap(Pi). Le franchissement de T1 conduit à 3 jetons dans P2 d'où T1 ne peut plus être franchie

109 RdP à priorités Dans un tel réseau si on atteint un marquage tel que plusieurs transitions sont franchissables, on doit franchir la transition qui a la plus grande priorité. Exemple : RdP à priorité Avant franchissement Après franchissement

110 Parallélisme Sur le RdP suivant, nous remarquons qu’après le franchissement de T1 et jusqu’au franchissement de T5, nous avons des évolutions en parallèle, de la place P1 à la place P4 d’une part et de la place P1 à la place P5 d’autre part. Chacune de ces deux évolutions peut se faire à son rythme propre Interprétation : Cette structure permet de représenter le fonctionnement des systèmes parallèles. Synchronisation : Nous reprenons ce RdP. Bien que les places P5 et P4 peuvent être marquées l’une avant l’autre, le franchissement de T5 ne peut s’effectuer que lorsque les deux places P4 et P5 sont marquées toutes les deux ce qui correspond au fait que la poursuite de l’évolution du RdP ne peut s’effectuer que lorsque les deux évolutions à savoir celle de P2 à P4 et celle de P3 à P5 sont terminées. Cette synchronisation correspond à une sorte de Rendez- vous.

111 Synchronisation par sémaphore : Dans ce cas, l’évolution de la partie gauche est indépendante de celle de la partie droite. En revanche, le franchissement de la transition T2 doit se faire après le franchissement de la transition T1. La place P1 mémorise l’autorisation de franchir T2. Ainsi, si la place P2 est marquée avant la place P1, la transition T2 ne peut être aussi franchie qu'après le franchissement de la transition T1.

112 Mutuelle exclusion Deux places sont mutuellement exclusives si pour un marquage initial M0 donné, elles ne peuvent pas être simultanément marquées quelque soit le marquage M atteint à partir de M0. Sur l'exemple suivant les places P4 et P5 sont mutuellement exclusives. Interprétation Interprétation : On rencontre la mutuelle exclusion dans tout système comprenant un partage de ressources. Exemple, en informatique, plusieurs programmes qui utilisent une même ressource, comme une mémoire commune par exemple, peut se modéliser ainsi. Sur l’exemple précédent, la place P1 modélise la disponibilité d’une ressource qui peut être utilisée par la partie gauche à partir du franchissement de T1 et jusqu’au franchissement de T2 ou par la partie droite dans des conditions similaires, mais pas par les deux simultanément

113 : Remarque : Dans un cas plus général, il peut y avoir plusieurs ressources identiques (plusieurs marques dans P1) et les différentes parties du RdP peuvent utiliser ces ressources simultanément. Mémorisation : La place P2 du RdP suivant mémorise le fait que la transition T1 a été franchie, ce qui autorise le franchissement ultérieur de T2, sous réserve que les autres conditions de validation soient remplies.

114 On peut également mémoriser un nombre (par exemple le nombre de pièces dans un stock) par la présence de plusieurs marques dans une place.

115 Méthodes de réduction Introduction La construction du graphe des marquages est certes une méthode efficace pour trouver les propriétés d’un RdP de taille modeste, mais cela peut être très long et fastidieux pour un RdP qui a de nombreux marquages accessibles. Pour cela, nous proposons dans cette section d’utiliser quelques méthodes de réduction qui permettent d’obtenir à partir du RdP initial un autre RdP plus simple mais qui possède certaines propriétés identiques à celle du RdP initial. Attention : Le RdP obtenu après simplification n’est pas équivalent du point de vu fonctionnel au RdP initial, c-à-d qu’il ne représente plus le système modélisé au départ. Les règles de simplification ne permettent pas de préserver toutes les propriétés, donc un soins particulier doit être accordé à l’application de ces réductions et à l’élaboration des propriétés. Dans ce paragraphe nous allons nous limiter à la présentation de quelques règles qui permettent essentiellement de préserver les propriétés de vivacité et de bornage !

116 Réduction R1 : Substitution d’une place Principe : Une place Pi peut être substituée si elle remplit les 3 conditions suivantes : les transitions de sortie de Pi n’ont pas d’autres places d’entrées que Pi ; il n’existe pas de transition Tj qui soit à la fois transition d’entrée et de sortie de Pi ; au moins une transition de sortie de Pi n’est pas une transition puit. Exemple : La place P2 du RdP ci-contre remplit ces conditions, donc elle peut être substituée.

117 Propriétés conservées par la réduction : Elles sont : borné (mais pas la valeur de la borne), sauf, vivant, quasi-vivant, sans blocage, … Exemple 1 : Sur le RdP ci-contre (a), on voit que si la transition T1 est franchie, alors la transition T2 le sera tôt ou tard parce qu’il n’y a aucun autre arc arrivant sur T2 que celui qui vient de P2. On peut alors substituer à la place P2 et aux deux transitions (d’entrée et de sortie) une seule transition appelée T12 (b).

118 Exemple 2 : Nous avons ici un cas similaire montrant qu’il n’y a pas de restriction sur la transition T1. En effet, les places d’entrée de T1 sont les places d’entrée de T12 et si T1 a d’autres places de sortie que P2, ce sont également des places de sortie de T12. On notera également que la place P2 est marquée. Comme cette marque doit nécessairement arriver dans P3, on la met dans cette place après la substitution.

119 Exemple 3 : Toute marque arrivant en P3 doit passer dans P4, qu’elle vienne de P1 ou de P2. T13 La substitution consiste à mettre une transition T13 qui correspond à la séquence de T23 franchissement T1T3 et la transition T23 qui correspond à la séquence de franchissement T2T3.

120 Exemple 4 : Une marque arrivant dans P2 passera tôt ou tard soit dans P3, soit dans P4. L’application de la réduction conserve cette propriété, d’où la substitution par les deux transitions T12 et T13 qui correspondent respectivement aux séquences de franchissement T1T2 et T1T3.

121 Exemple 5 : Une marque dans P3 peut provenir soit de P1, soit de P2 et aboutir soit dans P4, soit dans P5. Tous ces cas de figures seront conservés après substitution en utilisant les transitions T13, T23, T14 et T24. Remarque Remarque : Dans le cas où la place à substituer est marquée, alors : si elle a une seule transition de sortie alors le marquage passe à la place suivante ; si elle en a plusieurs, alors il faut considérer tous les cas de figures. Chaque cas est obtenu en passant le marquage à travers une de ces transitions de sortie.

122 Ceci est le cas de la place P2 du RdP ci-contre.

123 Exemple 6 : Dans l’exemple suivant, la marque qui est dans P2 avant la substitution pourrait aboutir soit dans P3, soit dans P4. Il faut donc considérer les 2 cas, c-à-d qu’il faut étudier les 2 réseaux ainsi obtenus. Les propriétés qui se conservent par la réduction R1 ne seront vraies pour le réseau initial que si elles sont vraies pour les 2 réseaux obtenus après substitution.

124 Règle de réduction R2 : place implicite Exemple : Sur le RdP représenté, du fait du marquage initial, la place P2 est ici toujours marquée. Le fait que la transition T1 soit franchissable est donc indépendant de l’´évolution du marquage de P2. Le RdP évoluerait donc de la même façon si la place P2 n’existait pas : P2 n’est pas un obstacle au franchissement de T1. Sa suppression n’aura donc pas d’influence sur l’´évolution du RdP.

125 Définition (Place implicite) : Une place Pi est implicite si 1. Le marquage de Pi n’est jamais un obstacle au franchissement de ses transitions de sortie :

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127 La place P2 est une place implicite. En effet : Condition 1 : cette place n’est place d’entrée que de T3. Pour franchir T3, il faut une marque dans P3, donc il a fallu franchir T2 avant de pouvoir franchir T3. Pour franchir T2, il fallait une marque dans P1 et cette marque ne pouvait provenir que du franchissement de T1. Or, le franchissement de T1 met une marque dans P2 et il n’y a aucune autre sortie de P2 que la transition T3. Donc, s’il y a une marque dans P3, il y en a aussi dans P2. Condition 2 : le raisonnement précédent conduit à Mj(P2)=Mj(P1)+Mj(P3) pour tout marquage Mj. L’application de la réduction R2 à ce réseau conduit au RdP de la figure suivante.

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