Oscillations libres d’un

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1 Oscillations libres d’un
circuit RLC

2 Montage à revoir On abaisse l’interrupteur. Une décharge oscillante du condensateur se produit dans la bobine parfaite de résistance nulle.

3 Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

4 Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

5 Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC :

6 Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire :

7 Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire :

8 Equation différentielle régissant la décharge
D’après la loi d’additivité des tensions : uC + uL = 0 Expression de la tension uL en fonction de la tension uC : L’équation différentielle peut s’écrire : ou bien

9 Solution de l’équation différentielle

10 Solution de l’équation différentielle
Elle est de la forme : uC = UCmax cos (0 t + ) Que représente UC max ? UCmax est la tension maximale aux bornes du condensateur (V) Que représente w0 ? w0 est la pulsation propre (rad/s) Que représente w0 t +  ? w0 t +  est phase à un instant t quelconque (rad) Que représente  ?  est la phase à l’origine des dates (rad)

11 Graphe : uC = UCmax cos (0 t + ) avec  = 0

12 Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 :
uC = UCmax cos (0 t + )

13 Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 :
uC = UCmax cos (0 t + )

14 Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 :
uC = UCmax cos (0 t + )

15 Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 :
uC = UCmax cos (0 t + ) D’où finalement :

16 Vérification de la solution de l’équation et expression de w0 :
uC = UCmax cos (0 t + ) D’où finalement : L’équation différentielle est vérifiée si l’on pose :

17 La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T.
cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1) La fonction cosinus est périodique de période 2. cos (0 t + ) = cos [0 t +  + 2) (2) Les équations (1) et (2) permettent d’écrire : cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t +  + 2) 0 (t +T0) +  = 0 t +  + 2 0 t + 0 T0 +  = 0 t +  + 2 0 T0 = 2

18 La solution uC = UCmax cos (0 t +) est périodique de période T.
cos (0 t + ) = cos [0 (t +T0) + ) (1) La fonction cosinus est périodique de période 2. cos (0 t + ) = cos [0 t +  + 2) (2) Les équations (1) et (2) permettent d’écrire : cos [0 (t +T0) + ) = cos [0 t +  + 2) 0 (t +T0) +  = 0 t +  + 2 0 t + 0 T0 +  = 0 t +  + 2 0 T0 = 2 La période s’écrit :

19 Expression de l’intensité du courant :

20 Expression de l’intensité du courant :
uC = UCmax cos (0 t + )

21 Expression de l’intensité du courant :
uC = UCmax cos (0 t + )

22 Expression de l’intensité du courant :
uC = UCmax cos (0 t + )

23 Expression de l’intensité du courant :
uC = UCmax cos (0 t + ) La tension uC et l’intensité i du courant sont déphasées de /2.