Entiers, décimaux, fractions…

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1 Entiers, décimaux, fractions…
NOMBRES AU C3 Entiers, décimaux, fractions…

2 Sur les enjeux d’apprentissage
La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme) L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme) Roland Charnay

3 Deux précisions de vocabulaire
Lu dans un manuel : 2 , 65 partie entière partie décimale La virgule sépare la partie entière de la partie décimale Formulation correcte : partie entière : 2 partie décimale : 0,65 ou encore 65 centièmes 2,65 est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale Roland Charnay

4 Un nombre décimal est un nombre écrit avec une virgule.
32 2/ / , ,14 sont des nombres décimaux 2/3 0,6666… π ne sont pas des nombres décimaux Formulation correcte : Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule Roland Charnay

5 L’exemple de la multiplication par 10, 100…
Les limites de l’APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES Enseigner des règles ou aider à comprendre ? L’exemple de la multiplication par 10, 100…

6 Multiplier par 100 Règle pour les nombres entiers : "écrire deux 0" à droite 24 x 100 = 2 400 Règle pour les nombres décimaux : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite 2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule) 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et apparition de 0 !) Roland Charnay

7 Résultats et difficultés
2,3 x (évaluation 6e) % 20,3 ou 2,30 ou 20, % La virgule "frontière" et "écrire un 0" % La virgule "absente" et "écrire un 0" 35,2 x (évaluation 6e) % 3500,2 ou 35,200 ou 3 500, % La virgule "frontière" % Que faire quand la virgule "disparaît" ? Roland Charnay

8 Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme :
Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ? Ou comment trouver la réponse sans connaître de règle ? Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme : 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient : 20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)… Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité) Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième) Roland Charnay

9 En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 2 4 5 Roland Charnay La virgule n’a pas changé de place !

10 EN REALITE… Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche) C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux ! Roland Charnay

11 En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10
milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 2 3 7 4 5 Roland Charnay

12 Avec d’autres systèmes de numération
Romain Multiplier XXXVII par X (37 par 10) CCCLXX (370) Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur dix fois supérieure. Roland Charnay

13 Avec du matériel Exemple de 0,12 x 10
Roland Charnay 1,2

14 TACHES, TECHNIQUES et JUSTIFICATIONS
Enseignement centré sur… COMPREHENSION Tâche Multiplier par 10, 100… Technique Déplacement de la virgule ou des chiffres Justification Chaque chiffre prend une valeur 10 fois, 100 fois supérieure Roland Charnay MECANISME

15 Des difficultés qui persistent
Des difficultés qui persistent ! (Extrait de la thèse de Jeanne Bolon, 1996) Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 CM1 CM2 6e 5e 22 % 30 % 27 % 29 % Et pourtant, il suffit d'avoir compris que 8 centièmes c'est moins que 1 dixième ! Roland Charnay

16 Quelques difficultés pour les nombres décimaux
Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6 Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57  3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes Calcul 2,3 + 0,8 = 2,11 (2 + 0 = 2 ; = 11) 2,3 x 0,8 = 0,24 (2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24) Sens de certaines opérations Prix de 0,85 kg de gruyère à 17 € le kg  division Roland Charnay

17 Interprétation des erreurs et origine possible
La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Signification "spatiale" et non "conceptuelle" 234,567 dizaine dixième Idée de "nombre" suivant persistante (cf. entiers) Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c Confusion fractions / décimaux 96 + 2/100 = 96, pour 21 % des élèves (2005) 80,4 = 80/ pour 17 % des élèves (2005) Roland Charnay

18 LA NUMERATION des ENTIERS et des DECIMAUX
Roland Charnay Quelques repères pour la mise en place

19 « la part de l’unité partagée en cent »
1ère connaissance fondamentale La valeur des chiffres par rapport à l’unité Valeur de chaque chiffre par rapport à l’unité, en fonction du rang qu’il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Centaine : 100 fois l’unité Centième : 100 fois moins que l'unité 35 436 35,436 Roland Charnay 3 fois « la part de l’unité partagée en cent » 3 fois « dix mille unités » 3 fois « dix unités » 3 fois « dix unités »

20 2e connaissance fondamentale La relation de valeur entre rangs voisins
1 centaine = 10 dizaines 1 dizaine = 1 centaine divisée par 10 1 dixième = 10 centièmes 1 centième = 1 dixième divisé par 10 Partage en 10 Groupement par 10 Partage en 10 Groupement par 10 35 436 35,436 Roland Charnay 5 fois « une dizaine de milliers partagée en 10 » 3 fois « dix unités » 5 fois « une dizaine partagée en 10 » 3 fois « dix centièmes »

21 3e connaissance fondamentale La relation de valeur entre rangs non voisins
1 millier = 100 dizaines 1 dizaine = 1 millier divisé par 100 1 dizaine = 100 dixièmes 1 dixième = 1 dizaine divisée par 100 Partage en 100 Roland Charnay 35,436 Groupement par 1 000

22 Ces connaissances sont évocables dans trois registres de langage à mettre en relation
Registre verbal Registre symbolique : virgule, fraction Registre des représentations matérielles (longueurs, aires…) Roland Charnay

23 cent soixante-quatorze
1 Roland Charnay 174 cent soixante-quatorze Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

24 1,74 1 Un, sept dixièmes et quatre centièmes
Roland Charnay Un, sept dixièmes et quatre centièmes Un et soixante-quatorze centièmes 1,74 Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

25 Des entiers aux décimaux…
Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux fonctionne comme le système d’écriture des nombres entiers Le rang détermine la valeur Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés sur des groupements par dix ou des partages en dix) La virgule sert à indiquer le rang de l’unité Mais certaines propriétés sont différentes En particulier, l’intercalation toujours possible pour les nombres décimaux. Conclusion Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux ne peut être compris que si celui des entiers l’est en profondeur. Roland Charnay

26 Comprendre les grands nombres
Base dix et sur-base mille 1 milliard = millions 1 million = milliers Cette structure détermine la lecture milliards millions mille Avoir des ordres de grandeur Lille-Marseille Populations : française, chinoise, mondiale Roland Charnay

27 Les fractions à l’école primaire…
… pour aider à comprendre les nombres décimaux

28 Fractions de l’école au collège
Exprimer des mesures, à partir du partage de l'unité 5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité École primaire 1 ou l’unité Roland Charnay Cette signification correspond à la lecture cinq quarts

29 Fractions de l’école au collège
Expression du partage d'une grandeur 5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par 4) Solution de 4x = 5 Expression de rapports 5 pour 4 20 pour 100 Collège Roland Charnay

30 Trois moments clés pour l’apprentissage des fractions

31 Sens et nécessité des fractions d'après Cap Maths CM1
A : 1u + ½ u B : 1u + 1/4 u C : ½ u D : 2 u E : ¼ u F : 3/4 u Roland Charnay Synthèse Pour mesurer, il faut parfois utiliser des parts de l'unité ½ u, c’est une part de l’unité partagée en 2 ¾ u, c’est 3 parts de l’unité partagée en 4

32 1 unité, c’est 2 demi- unités
Comparaison des fractions : égalité, inégalité 2u + 1/2 u u + 3/2 u /2 u /4 u 1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u ? Pas de règle de comparaison… donc appel au raisonnement… Appui sur le langage verbal Appui sur le « matériel » 1 unité, c’est 2 demi- unités Roland Charnay 1u + 3/2 u, c’est donc : 2 demi-unités plus 3 demi-unités, c’est 5 demi-unités, donc 5/2 u

33 Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis
Roland Charnay Placer 11/2 : Impossible de compter 11 demis à partir de 0 Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis Soit considérer que 10/2 c’est 5 et compter 1 demi après 5

34 Décimaux à l’école primaire
Quelques moments clés pour l’apprentissage

35 D'abord les fractions décimales
Des fractions comme les autres… qui utilisent les "bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100… Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des millièmes) Deux points importants : Egalités, comme 7/10 = 70/100 Décomposition 234/10 = /10 (partie entière) 234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres) 34/100 = 3/10 + 4/100 (idem) Roland Charnay

36 Les nombres décimaux une autre écriture des fractions décimales
une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes une signification : image mentale 1 Roland Charnay

37 Raisonner pour comparer
Matériel disponible des unités des dixièmes des centièmes Roland Charnay

38 comparaison de 2,12 et 2,7 Trois phases
Réponse individuelle, avec explication Prise de position sur des réponses/explications choisies par l'enseignant Par groupes de 2 Confrontation de 2 groupes de 2 Débat collectif Roland Charnay

39 Exemples d'arguments 2,12 > 2,7 parce que 12 > 7
2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas !) 2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes) 2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1 dixième 2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100 2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c’est 70 centièmes et le 12 de 2,12 c’est seulement 12 centièmes 2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de plus que dans 2,12 Roland Charnay

40 FONDAMENTALEMENT, LA COMPARAISON DES NOMBRES DÉCIMAUX ET CELLE DES NOMBRES ENTIERS REPOSENT SUR LES MÊMES CONNAISSANCES Pourquoi > 987 ? Parce que 2 milliers c’est plus que 987 unités En effet 2 milliers = unités Pourquoi 856 > 839 ? Parce que 5 dizaines c’est plus que 39 unités En effet 5 dizaines = 50 unités Pourquoi 7,8 > 7,56 ? Parce que 8 dixièmes c’est plus que 56 centièmes En effet 8 dixièmes = 80 centièmes Roland Charnay

41 D’OÙ UNE MÊME RÈGLE POSSIBLE POUR COMPARER DES NOMBRES ENTIERS OU DÉCIMAUX !
Les nombres étant écrits (ou imaginés) l’un sous l’autre, on parcourt leurs chiffres de gauche à droite. Dès qu’on trouve 2 chiffres différents, on peut conclure. 78 758 9 896 5,7 5,368 25,3 8,9856 Roland Charnay

42 intercalation… à l'infini Remettre en cause l'idée de "nombre suivant"
Roland Charnay

43 Nombres décimaux et calcul A penser dans l’articulation avec le collège
Sixième 4 opérations (toutes reprises en Sixième !) Multiplier par 0,1 ; 0,01… (hors socle en Sixième !) Division décimale limitée à celle d’un décimal par un entier (le dividende comportant au plus 2 chiffres après la virgule) En calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. Cinquième Division de deux nombres décimaux Roland Charnay

44 Nombres décimaux et calcul Points clés en calcul automatisé
Multiplier et diviser par 10, 100… en relation avec la numération décimale Résultats mémorisés Sommes et différences de dixièmes (0,5 + 0,7…) Compléments à 1 et à l’unité supérieure (pour des nombres avec des dixièmes) Produits du type 0,4 x 3 ; 0,4 x 5 Relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 (en particulier savoir que 0,25 = ¼ ; 0,5 = ½ ; 0,75 = ¾) Roland Charnay

45 Nombres décimaux et calcul Points clés en calcul automatisé
Calcul posé Addition, soustraction, en lien avec la numération décimale Multiplication d’un décimal par un entier 5, centièmes ou 586 : 100 x centièmes ou : 100 1799,02 Division d’un entier ou d’un décimal par un entier, en lien avec la numération décimale Pour ces opérations, continuité de sens entre calcul sur les entiers et calcul sur les décimaux. Roland Charnay

46 Le cas de la multiplication de deux décimaux
Rupture de sens 45 x  13 fois 45 (addition itérée) 45,35 x 13  13 fois 45,34 (addition itérée) 45,35 x 2,7  sens à donner à 2,7 fois 45,35 ? 45,35 x 0,7  sens à donner à 0,7 fois 45,35 ? Nécessité d’une référence Soit à la proportionnalité : pour 45,35 x 2,7 2 fois 45,35 plus 7/10 de 45,35 Soit à l’aire d’un rectangle : pour 45,35 x 0,7 rectangle de 45,35 cm sur 0,7 cm Continuité pour la technique 45, : 100 x 2,7 27 : 10 à diviser par 1 000 Roland Charnay

47 Nombres décimaux et calcul Points clés en calcul réfléchi
Doubles de nombres comme 4, ,5 0,75 Moitiés de nombres comme ,7 1,2 Sommes ou différences comme 13,5 + 6, – 6,5 Produits comme 2,5 x ,2 x 5 Roland Charnay