Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux

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1 Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008
Culture Scientifique et Traitement de l’Information Module 2112 – Représentation de l’information Les signaux

2 Plan Définitions Les signaux sinusoïdaux Analyse de Fourier
Valeur moyenne et puissance moyenne d’un signal Les signaux

3 Définitions Télécommunications Information Signal Fonction
Information et Transmission Analogique Information et Transmission Numérique Signal déterministe / Signal aléatoire Signal Périodique Les signaux

4 Télécommunications / Information
Télécommunications : ensemble des moyens et systèmes permettant l’acheminement aussi fidèle que possible d’informations entre deux points. L’information est physiquement représentée par un signal qui se traduit par une manifestation physique, capable de se propager dans un milieu donné. Ex: signal sonore (pression acoustique), signal lumineux (onde électromagnétique), signal bande de base (signal électrique)… bruit Emetteur Signal émis canal Signal reçu Récepteur Message émis Message reçu Source d’information Destinataire Les signaux

5 Exemple Emetteur Récepteur Combiné téléphonique Ligne téléphonique
Courant électrique Courant électrique Combiné téléphonique Ligne téléphonique Combiné téléphonique Mots dits Pression acoustique Message reçu Pression acoustique bruit Cordes vocales Oreille Mots compris = message Mots pensés = message Personne Personne Les signaux

6 Fonction La fonction représente mathématiquement le signal en fonction de la variable temps « t ». Intensité du courant électrique : i(t) Tension électrique : v(t) Pression : p(t) … v(t) t Les signaux

7 Information analogique / Information discrète
Une information analogique est représentée par un signal continu dans le temps qui peut prendre n’importe quelle valeurs entre -  et +. Une information numérique est une information discrète (c’est-à-dire définie seulement pour certaines valeurs du temps) qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes. Ex: la suite de bits cadencée par une horloge de durée T0. s(t) t t1 t2 Information binaire Les signaux T T0 3T0 4T T0 6T0 … horloge

8 Transmission analogique / Transmission numérique
Transmission analogique  l’information à transmettre est analogique Transmission numérique  l’information à transmettre est numérique Le signal physique utilisé lors d’une transmission est toujours analogique, mais l’interprétation du signal effectuée au niveau du récepteur diffère suivant le type d’information. Signal analogique Récepteur- Interprétation Information Numérique Information analogique Les signaux

9 La transmission numérique : exemple
tension tension temps Signal - Analogique - Sinusoïdal par morceaux Signal - Analogique - Constant par morceaux, dit bande de base Interprétation : Information Numérique Modem Interprétation : Information Numérique Les signaux

10 La transmission analogique : exemple
Signal sonore Signal électrique Commentateur radio Micro Câbles Signal électrique Signal électromagnétique Câbles Antenne Signal électrique Antenne Signal électrique Interprétation: Information Analogique Haut-parleur Les signaux Auditeur Signal sonore

11 Signaux déterministes / Signaux aléatoires
Lancé de dé = message aléatoire Partition de piano = message déterministe Signal déterministe : qui peut être décrit par des relations mathématiques explicites. Ex.: un signal sinusoïdal s(t) = sin(2Ft) Signal aléatoire : dont l’évolution suit une loi de probabilité. Signaux associés à des expériences non reproductibles, pas de relation explicite pour décrire les phénomènes physiques. Ex. : Agitation thermique des électrons dans un conducteur électrique ; Parasites électromagnétiques sur une ligne de transmission Dans la nature aucun signal n’est déterministe ! Malgré tout, les signaux déterministes serviront de modèles pour décrire les phénomènes physiques, en particulier la transmission d’informations. Les signaux

12 Signal périodique Signal périodique : signal analogique qui possède un motif élémentaire qui se répète dans le temps. Période T : durée du motif élémentaire. Unité : la seconde (s) Fréquence F : nombre de motifs élémentaires en 1 seconde. Unité : le Hertz (Hz) t s T T s t Signal carré Signal sinusoïdal Les signaux

13 Les signaux sinusoïdaux

14 Rappels de trigonométrie
Considérons un point A tournant indéfiniment sur le cercle trigonométrique. Le point A part de I à l’instant t = 0. Il fait un tour en T secondes. On note (xA,yA) ses coordonnées dans le repère orthonormal (O, I, J). On note à l’instant t. On définit le cosinus de l’angle  par On définit le sinus de l’angle  par NB : Si besoin, revoir le cours d’harmonisation mathématiques… Les signaux

15 Les fonctions sinus et cosinus
Une période du phénomène dure T secondes. En une période le point A décrit un angle de 2 radians.   et t sont liés par la relation Représentation temporelle de cos et sin t 1 -1 T -T  2 -2 période T t 1 -1 T -T  2 -2 Les signaux

16 Représentation temporelle du cosinus
t T -A A est l’amplitude du signal. Les signaux

17 Représentation temporelle du cosinus
B+A A B A t T B-A B est la valeur moyenne du signal. Les signaux

18 Représentation temporelle du sinus
t T -A A est l’amplitude du signal. Les signaux

19 Représentation temporelle du sinus
B+A A B A t T B-A B est la valeur moyenne du signal. Les signaux

20 Phase initiale   2 B+A B
On nomme 2Ft la phase instantanée et  la phase initiale du signal. Elles s’expriment en radian. Quand la phase initiale est non nulle, la courbe représentative du signal est translatée selon l’axe des abscisses vers la gauche si >0 Vers la droite sinon B+A B   2 t T B-A Les signaux

21 Analyse de Fourier Les signaux

22 Représentation temporelle d’un signal
C’est la représentation la plus courante : elle consiste à représenter le signal en fonction de la variable temps. Il existe une autre représentation, moins courante, qui permet de « voir » des propriétés du signal que la représentation temporelle ne permet pas. Pression acoustique temps Les signaux

23 Un peu d’histoire : Joseph Fourier
Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de « décomposition en série de Fourier » ou encore sous le nom « d’analyse spectrale » ou « d’analyse de Fourier ». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein. En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble. Les signaux

24 Le théorème de Fourier Tout signal périodique s(t), de période T, de fréquence F, borné, est égal à une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquence f = nF, n étant un entier positif ou nul. Ce théorème s’applique donc à des signaux analogiques. Les signaux

25 Comment la somme est-elle construite ?
s(t) est périodique, de fréquence F s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … a  cos b  sin Indice n  nF pas de b0 Les signaux

26 Définitions s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + a3.cos(23Ft)+… an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2  Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+… bn.sin(2nFt)+ … Certains coefficients ai et bi peuvent être nuls Ex. : s(t)= a0+ a1.cos(2Ft) Les coefficients a0, a1, a2, a3…an et b1, b2, b3 …bn sont appelés coefficients de (la série de) Fourier du signal s(t)  a0 est la valeur moyenne de s(t) Ex. : s(t) = A.sin(2Ft) + B F est la fréquence fondamentale de s(t), c’est aussi la fréquence ( tout court…) du signal s(t) nF sont les fréquences harmoniques de s(t) Les signaux

27 Fabriquer s(t) On peut fabriquer un signal périodique s(t) en additionnant les signaux sinusoïdaux définis par les coefficients de Fourier, les fréquences fondamentale et harmoniques. Fabriquer = faire la somme mathématique ( avec un ordinateur ou des générateurs de signaux électriques) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … bn.sin(2nFt)+ … Signaux connus Pour « fabriquer » avec un logiciel Les signaux

28 Calculer les coefficients
On peut calculer les coefficients de Fourier d’un signal s(t) (connu) : s(t) = a a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) … an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) b2.sin(22Ft) … bn.sin(2nFt)+ … Permet de calculer les coefficients de Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier. Avec un ordinateur. Signal périodique connu par l’intermédiaire de sa représentation temporelle Les signaux

29 Calculer les coefficients
Remarque : La notation signifie « intégrale sur un intervalle de longueur T ». Par exemple [0;T], ou [-T/2 ; T/2] ou [-T/4 ; 3T/4], etc. … s(t) T t Les signaux

30 Décomposition en série de Fourier
La somme de signaux sinusoïdaux est appelée aussi somme de Fourier ou décomposition en série de Fourier du signal s(t), elle est unique pour le signal étudié et aucun autre signal n'a la même décomposition de Fourier. Les signaux

31 Spectre Définition: c’est la représentation graphique des termes de Fourier présents dans la somme. Il existe deux spectres : celui qui donne la représentation des coefficients an et celui qui donne la représentation des coefficients bn Représentations en fonction de la variable fréquence Intérêt pratique par rapport à l’écriture complète de la somme de Fourier. Les signaux

32 Deux spectres : an(f) et bn(f)
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … Fréquence F a0 = a01 = a0 cos(0) = a0 cos(20Ft) Les signaux

33 Deux spectres : an(f) et bn(f)
s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … Dans la somme de Fourier chaque coefficient de Fourier est associé à une fréquence ( nulle, fondamentale ou harmonique ), qu'on appellera fréquence associée  : a0 est associé à la fréquence nulle a1 est associé à la fréquence fondamentale F a2 est associé à la fréquence harmonique 2.F a3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc… b1 est associé à la fréquence fondamentale F b2 est associé à la fréquence harmonique 2.F b3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc…

34 Représentations d’un signal
On utilise aussi le nom de « représentation fréquentielle » pour parler du spectre d'un signal. Ainsi un signal peut être connu grâce à sa représentation en fonction de la variable "temps" = représentation temporelle, ou à ses 2 représentations en fonction de la variable "fréquence" = 2 représentations fréquentielles = 2 spectres Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes. Les signaux

35 Exemple important : le signal carré
1 s(t) t 0.1 F 3F 5F 7F 9F 0.5 bn f an Les signaux

36 Spectres amplitude et argument
On montre par le calcul que l’on peut aussi écrire un signal décomposable en série de Fourier sous la forme On passe de l’expression à cette nouvelle écriture en posant S0 = a0 Les signaux

37 Spectres amplitude et argument
Cette nouvelle écriture permet de tracer deux nouveaux spectres, strictement équivalents aux spectres an et bn. Spectre amplitude : représentation de Sn en fonction de la fréquence nF associée Spectre argument : représentation de n en fonction de la fréquence nF associée Exemple : Spectres amplitude et argument du signal carré f Sn F 3F 5F F n f Les signaux

38 Exemple : note de piano Pression acoustique t Les signaux

39 Quel est l’intérêt des spectres?
Les signaux sont amenés à passer « au travers » de systèmes comme les filtres. Que deviennent les signaux? On connaîtra la réponse grâce aux propriétés du système spectres du signal Ex. : Les modems ADSL utilisent une technologie appelée « modulation multi-porteuse » dont l’explication passe par l’observation du spectre du signal modulé. Les signaux

40 Effet d’un déphasage sur les spectres
Considérons le signal carré précédent déphasé de t. On note sd le nouveau signal obtenu. T 1 s(t) t t T 1 sd(t) t Les signaux

41 Effet d’un déphasage sur les spectres
Signal carré s(t) an f bn F 3F 5F 0,5 f F 0,5 Signal carré déphasé sd(t) 0,5 F 3F 5F an bn f 0,5 F 3F 5F f Les signaux

42 Effet d’un déphasage sur les spectres
Signal carré s(t) f Sn F 3F 5F F n f Signal carré déphasé sd(t) f Sn F 3F 5F n F f Les signaux

43 Effet d’un déphasage sur les spectres
On constate que : Les spectres an et bn de deux signaux de même nature mais déphasés sont différents. Les spectres Sn de deux signaux de même nature mais déphasés sont identiques.  Le spectre amplitude permet de connaître la nature d’un signal. Le spectre argument porte l’information de phase. Les signaux

44 Et pour un signal non périodique ?
Approche intuitive On peut considérer qu’un signal non périodique est un signal périodique dont la période T tend vers +. Observons le spectre amplitude d’un signal rectangulaire dont la fréquence croît. Période T t Les signaux

45 Spectre d’un signal non périodique
f Sn F1 Intervalle entre 2 raies successives : F1 = 1/T1 Fréquence F1 f Sn Intervalle entre 2 raies successives : 1/T2 = F1/8 Fréquence F2 = F1/8 Les signaux

46 Spectre d’un signal non périodique
Si T tend vers l’infini, les raies constituant le spectre se rapprochent infiniment. Le spectre d’un signal non périodique est fourni par une fonction complexe S(f), la transformée de Fourier du signal s(t). L’équivalent du spectre amplitude pour un signal non périodique est le module de S(f) : |S(f)|. C’est une fonction continue. L’équivalent du spectre argument pour un signal non périodique est l’argument de S(f). C’est une fonction continue. A titre indicatif, la transformée de Fourier S(f) est donnée par la formule : Les signaux

47 Comparaison Signal périodique Signal non périodique Spectre discret
F F0 Spectre discret Spectre continu Sn(f) 0 F 2F 3F 4F fmax f S(f) BFP f1 f2 BFP 0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax] Transformée de Fourier S(f) = fonction mathématique continue Coefficients Sn(f) Somme discrète de signaux sinusoïdaux Somme continue de signaux sinusoïdaux Bande de fréquences principale Bande de fréquences principale

48 Valeur moyenne et Puissance moyenne d’un signal
Les signaux

49 Pourquoi s’intéresser à la puissance ?
Un signal est transmis par le biais d’une représentation physique : tension électrique, onde lumineuse, pression acoustique (dans le cas d’un son), etc. … Cette transmission a un coût : le coût de la transmission est lié à la puissance du signal. Exemple simple : Dans le cas d’une tension électrique, le coût est lu sur la facture EDF qui facture l’électricité distribuée au kW.h, le kW (kilo-watt) étant l’unité de la puissance du signal électrique. Les signaux

50 Pourquoi s’intéresser à la puissance ?
De plus, la puissance d’un signal électrique influence l’environnement électromagnétique. Exemple : La réception d’un message téléphonique sur un téléphone portable perturbe l’affichage sur un écran de TV ou d’ordinateur ; l’utilisation d’un mixer dans la cuisine crée des parasites sur votre télévision… Toutes ces perturbations ont pour origine la pollution électromagnétique engendrée par le signal émis. Intuitivement : plus le signal est puissant, plus la perturbation est importante.  Il existe des normes dans tous les domaines de transmission limitant la puissance émise par les équipements électriques afin de préserver un environnement électromagnétique stable, voire de protéger la santé (par ex., réseau WiFi : émission limitée à 10mW à l’intérieur des bâtiments). Il est donc essentiel de quantifier la puissance d’un signal. Les signaux

51 Valeur moyenne d’un signal périodique
Soit un signal périodique de période T. On appelle valeur moyenne du signal s, notée <s>, la grandeur Lorsque <s>=0, on dit que le signal est centré. Les signaux

52 Puissance moyenne d’un signal périodique
La puissance moyenne d’un signal périodique s de période T est C’est la valeur moyenne de s2(t). Elle s’exprime en Watts (W). Exercice : Montrez que la puissance moyenne du signal vaut A2/2. Retenez ce résultat bien pratique ! Les signaux

53 Théorème de Parseval La puissance moyenne d’un signal s, périodique, s’exprime en fonction des coefficients an(f) et bn(f) de sa décomposition de Fourier. En fonction des coefficients du spectre amplitude, on obtient : On remarque que les coefficients de déphasage n n’interviennent pas dans le calcul de la puissance. Logique : un déphasage n’est qu’une translation temporelle ! Les signaux

54 Exemple : puissance moyenne d’un signal carré
Sn 0,5 F 3F 5F Spectre amplitude 0,64 0,21 0,13 0,09 t s T 1 Par la formule directe, on obtient Ps = 0,5W. Calculons maintenant la puissance contenue dans les 3 premiers harmoniques.  95% de la puissance du signal est contenue dans les 3 premiers harmoniques !!! Conclusion : L’information est contenue dans les composantes basse fréquence du signal. f Signal étudié Les signaux

55 Exemple (suite) Lorsqu’on ne garde que les 3 premiers harmoniques, on déforme le signal, mais on « reconnaît » un signal carré. Si ce signal carré est le support physique d’une information binaire …, on ne perd pas le contenu informatif du message. On a transmis suffisamment de puissance du signal d’origine. s(t) sH3(t) 1 T t Les signaux

56 Puissance moyenne d’un signal non périodique
On montre que Signification physique : la puissance contenue dans une bande de fréquence est égale à l’aire de la courbe |S2(f)|. Puissance du signal dans la bande [F1;F2] = aire sous la courbe Les signaux

57 Conclusion Maintenant que l’on a acquis des notions sur la représentation de l’information en général, il va être possible de s’intéresser aux « signaux stratégiques de SRC » que sont les signaux sonores les signaux vidéo les données A voir en UE2 – Culture Technologique et Développement Multimédia M21 – Culture Scientifique et Traitement de l’Information Matière: Les systèmes audiovisuels et les systèmes de transmission 1 et 2 … Les signaux