Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé, EMNantes

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1 Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé, EMNantes
Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé, EMNantes Monsieur le président du jury, Professeur Gourgand, Messieurs les membres du jury, Professeur Wolsey, Professeur Wagelmans, Professeur Mercé et Professeur Frein, je vous remercie d’avoir accepté de faire parti des membre du jury de ma thèse. Merci à mes encadrant, Dauzère Pérès et Najid, et à l’audience d’assistant à cette soutenance. Ma thèse intitulée, Planification de la production: modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots. Elle concerne donc un problème particulièrement important et difficile en planification de la production qu’est le problème de dimensionnement de lots. Notre contribution particulière par rapport à ce sujet est l’introduction d’un nouveau modèle avec des contraintes de fenêtres de temps pour ces problèmes et le développement et l’analyse de méthodes de résolution pour plusieurs classe du problème. Laboratoire d'Informatique, Tours 17 juin 2005 Ecole des Mines de Nantes Université de Nantes

2 Plan de l’exposé Introduction Une classification
Introduction des contraintes de fenêtres de temps Problème à un produit sans contraintes de capacité Problèmes avec capacité : Problème à plusieurs produits avec capacité et fenêtres de temps Cas particulier : problème à un produit avec capacité Problème avec temps de préparation Conclusions et perspectives Maintenant, dans cette présentation je vais commencer par introduire les problèmes de dimensionnement de lots et présenter une classification de ces problèmes. - Puis j’expliquerai comment nous avons introduit les contraintes de fenêtres de temps et quelles sont les motivations derrière. - Je me baserai à cette étape sur le problème à un produit sans contraintes de capacité pour lequel je vous montrerai les algorithmes dynamiques que nous avons développés pour le résoudre. - Après je présenterai l’introduction des fenêtres de temps aux problèmes plus généraux à plusieurs produits avec contraintes de capacité et je montrerai les heuristiques Lagrangiennes développées pour les résoudre. - Je passerai moins de temps sur les problèmes à un produit avec contraintes de capacité et les problèmes à plusieurs produits avec temps de préparation avant de finir par des conclusions et des perspectives.

3 Introduction Un problème de dimensionnement de lots d’un produit
Ex. Palettes Demande dt (peut être prévisionnelle) commande n° 814 commande n° 813 commande n° 823 commande n° 843 commande n° 812 commande n° 822 commande n° 832 commande n° 842 commande n° 811 commande n° 821 commande n° 831 commande n° 841 Bon, pour introduire le sujet, nous allons commencer par un problème de base. On considère qu’on veut planifier la fabrication d’un seul produit (par exemple des palettes) sur un horizon de planification qui est divisé en un nombre de périodes. A chaque période «t», on a des demandes de clients d_t. Ces demandes peuvent être basées sur l’agrégation des commandes clients ou sur des prévisions. semaine 1 semaine 2 semaine 3 semaine 4 Périodes t (semaine, mois)

4 Introduction Problème de dimensionnement de lots à un produit
Coût de production X3 X1 X2 Quantité à fabriquer I3 I1 I2 Niveau de stock Y3 Y1 Y2 Période de production s3 s1 s2 Coût de lancement (préparation) h3 h1 h2 Coût de stockage 1 2 3 d d d3 T A chaque période on a un coût de fabrication (p) par unité du produit, un coût lié à la préparation de la ressource pour lancer la production; et un coût de stockage. On peut considérer d’autres coût tels que le coût associé à la rupture de stock qui quantifie la non satisfaction des clients. Mais au cours de notre présentation, nous nous limiterons à ces trois coûts seulement. Maintenant, le problème à résoudre consiste à déterminer quelles sont les quantités à produire à chaque période, et ainsi quelles seront les périodes de production et les niveaux de stock dans le but de satisfaire les demandes des clients et minimiser l’ensemble des coûts. Alors, si on considère que nos ressources ont une capacité infinie, ce problème est souvent appelé problème de Wagner et Whitin, les deux chercheurs qui l’ont résolu à la fin des années 50 en O(T2); T étant la longueur de l’horizon de planification. Cependant trois travaux de recherche plus récents ont abouti à des algorithmes on O(TlogT). Comme dans certains de nos approches nous résolvons des problèmes de ce type, nous avons implémenté l’algorithme de Mr. Wagelmans ici présent. Plusieurs extensions ont été présentées pour ce problème. Résolu en O(T2) par Wagner et Whitin (1958) O(TlogT) par Wagelmans, Van Hoesel et Colen (1992), Aggarwal et Park (1993) et Federgruen et Tzur (1991)

5 Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL)
Sans capacité Etat de l’art Brahimi et al. 2004 Wolsey 1995 Wagner et Whitin (1958) Avec capacité Florian et Klein (1971) un produit Golany, Yan, Yu (2001) Refabrication Produits périssables un niveau Hsu (2000) Etat de l’art Brahimi et al. 2003 Ruptures de stock multi produits Zangwill (1969) PDL Des détails sur les extensions sont présentés dans la thèse. En voici une partie. Entre autre, on peut, donc, classer ces problèmes en problèmes à plusieurs niveaux de production, où il existe des relaxations de composant-composé entre les produits. Et le deuxième cas, quand les produits sans indépendant, le problèmes a un seul niveau. Ces problèmes peuvent être classés en problèmes à plusieurs produits ou à un seul produit. Plusieurs extensions ont été proposés pour le problème à un produit. Entre autres, on trouve le cas avec une ressource à capacité limitée, le cas avec refabrication ce qui fait partie de la logistique inverse, le problème avec produits périssables, en particulier les produits alimentaires, et le cas avec rupture de stock où on se permet de ne pas satisfaire toutes les demandes des clients où les satisfaire en retard. On trouve aussi le cas avec fenêtres de temps sur la demande, et j’insiste sur le fait que cet article de Lee, Cetinkaya, et Wagelmans est le seul avec notre travail qui parle de fenêtres de temps dans les problèmes de dimensionnement de lots. Ils ont considéré les fenêtres de temps dans un contexte différent du notre. On retrouve … Fenêtres de temps sur les demandes Lee, Cetinkaya, Wagelmans (2001) multi niveaux multi produits Kuik et Salomon (1990) Salomon, Kuik, Van Wassenhove (1993)

6 Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL)
Etat de l’art Brahimi et al. 2004 Wolsey 1995 un produit Refabrication Richter et Sonbrutzki (2000) Produits périssables Friedman et Hoch (1978) un niveau Etat de l’art Brahimi et al. 2003 Ruptures de stock Millar et Yang (1993) multi produits Avec capacité PDL Manne (1958) On retrouve ces mêmes extensions avec les problèmes à plusieurs produits, mais, 1) en plus, particulièrement dans ce cas, on a considéré des problèmes avec temps de préparation (en plus des coûts de préparation) et des problèmes avec des préparations communes. Dans ce cas on considère que les produits sont groupés en familles, et la production en série des produits de la même famille nécessite une seule préparation majeure de la ressources, et le changement entre ces produits nécessite des préparations mineures. Dans notre étude, nous nous sommes concentrés sur les problèmes à un niveau. Où nous avons étudiés des problèmes à un niveau et nous avons étudié les problèmes à un produits et les problèmes à plusieurs produits. Temps de préparation multi niveaux multi produits Trigeiro et al. (1989) Préparations communes Suerie et Stadtler (2003) Kuik et Salomon (1990) Salomon et al. (1993)

7 Hypothèse insuffisante
Dans le modèle classique sans fenêtres de temps, toutes les demandes peuvent êtres produites dès la première période. d5 d5 d4 d4 d3 d2 d1 Et pour ces problèmes à un niveau, et pour chaque produit, il a toujours été considéré que les demandes peuvent être préparée dès le début de l’horizon de planification. Dans l’exemple du problème de Wagner et Whitin que j’avais introduit tout à l’heure, on suppose qu’on est capable de produire d1.. Jusqu’à d5 à la période 1. Cependant, il existe plusieurs contraintes qui font que cette hypothèse n’est pas vraie. C’est le cas, par exemple, quand la matière première nous est fournie à différentes périodes. Et dans ce cas on doit considérer pour chaque demande une date de disponibilité en plus de sa date de livraison. Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5

8 Représentation par fenêtres de temps
Cas avec clients spécifiques (CS) (Structure générale des fenêtres de temps) d34 d34 d25 d25 d12 d14 Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5 d35 Cas avec clients non spécifiques (NCS) (Structure particulière des fenêtres de temps) Et le nouveau modèle avec fenêtres de temps peut être représenté avec pour chaque demande on a maintenant un nouvelle indice qui représente la date de disponibilité de la demande, ou la date à partir de laquelle je peux produire la demande. Et le deuxième indice représente toujours la date de livraison de la demande. 1) ce problème, pour une structure quelconque des fenêtres de temps on l’a appelé problèmes à clients spécifiques. 2) Un cas particulier de ce problème est le problème à clients non spécifiques. Dans ce cas, il ne doit y avoir deux fenêtres de temps strictement incluses. Par exemple, dans cette figure, le problème ne représente pas le cas particulier car la fenêtre de la demande d_34 est strictement incluse dans celle de la demande d_25. On verra que le problème à clients spécifiques qui représente le cas général est plus difficile que le problème à clients non spécifiques. Mais que le cas particulier à clients non spécifiques a au moins autant d’applications que le cas général. d25 d12 d14 Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5

9 Applications du modèle avec fenêtres de temps
Traitement des déchets industriels (CS, NCS) Problèmes avec stock périssable (NCS) Disponibilité de la matière première Sans traçabilité (NCS) Avec traçabilité (CS) Résolution des problèmes de dimensionnement de lots à plusieurs niveaux (NCS) Avant de passer à plus de formalisation du problème, voici quelques applications. L’idée de développer le modèle avec fenêtre de temps était venue d’une collaboration avec une entreprise qui fait du traitement des déchets industriels. Où les clients apportent leur déchets qu’il faut traiter avant un certain nombre de périodes. Et suivant comment on regarde les clients, le problème peut être à clients spécifiques ou non spécifiques. Le modèle s’applique aussi directement au problème classique sans fenêtres de temps, qui n’est qu’un cas particulier du problème à clients non spécifiques. Troisièmement, quand la matière première est limitée et qu’elle arrive à différentes périodes de l’horizon de planification. C’est le cas par exemple qu’on a une capacité de stockage limitée ou quand les fournisseurs nous impose leurs plan de livraison. Dans ce cas, si les clients n’ont pas de préférences par rapport aux fournisseurs de la matière première, c’est-à-dire, le cas sans traçabilité, le problème est à clients non spécifiques, sinon, il est à clients spécifiques si on considère la traçabilité. Finalement, on peut aussi utiliser nos résultats pour la résolution de problèmes multi-niveaux.

10 Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots
Sans capacité Avec capacité un produit Refabrication Produits périssables un niveau Rupture de stock PDL multi produits Avec capacité Donc, par rapport à la classification présentée précédemment, nous avons considéré les fenêtres de temps … Temps de lancement multi niveaux Lancements communs

11 Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots
Sans capacité Avec capacité un produit Refabrication Produits périssables un niveau Ruptures de stock Sans temps de préparation PDL Sur les problèmes à un produit sans et avec contraintes de capacité et sur les problèmes à plusieurs produits sans et avec les temps de préparations. 1) Je vais passer du temps sur la présentation du problème à un produit sans capacité et le problème à plusieurs produits sans temps de préparation et moins de temps sur les deux autres problèmes. multi produits Avec temps de préparation multi niveaux Lancements communs

12 Problème à un produit sans contraintes de capacité
Dauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002) Sans capacité Avec capacité un produit Refabrication Produits périssables un niveau Rupture de stock Sans temps de préparation PDL Commençons par le problème à un produit sans capacité. Ce problème est en particulier intéressant parce qu’il apparaît quand on relaxe certaines contraintes de problèmes plus complexes tels que les problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Les algorithmes développés nous ont servi pour résoudre plusieurs problèmes dans la thèse. multi produits Avec temps de préparation multi niveaux Lancements communs

13 Modèle mathématique Problème de Wagner-Whitin
Minimiser Sous : Problème de Wagner-Whitin Problème à clients non spécifiques Problème à clients spécifiques Je commence par décrire le modèle mathématique du problème. Le problème classique à un produit sans fenêtres de temps est représenté avec le modèle suivant. Donc, l’objectif est de minimiser la somme des coûts de préparation, de production, et de stockage. La première contraintes c’est la contraintes d’équilibrage de stock qui indique que pour une période t la somme du stock entrant et de la quantité produite est égale à la demande de cette période plus le stock sortant. Puis nous avons la contrainte qui relie les variables continues de production avec les variables binaires de préparation. Et finalement les contraintes de non négativité et d’intégrité. Le problème à clients non spécifiques peut être représenté par ce modèle en ajoutant la contrainte suivante. 1) Cette contrainte indique que la production cumulée jusqu’à une période t ne doit pas dépasser la quantité disponible jusqu’à cette période. 2) de plus, le problème avec des clients spécifiques peut être modélisé en ajoutant cette deuxième contrainte. Elle garantit que la production soit suffisante pour satisfaire les demandes à l’intérieur de chaque intervalle [t1,t2] On voie bien à partir de ce modèle que la relaxation de ces contraintes nous ramène au problème avec fenêtres de temps à clients non spécifiques et la relaxation de ces contraintes nous ramène au problème de Wagner et Whitin. Nous avons extensivement utilisé cette propriété pour développer des heuristiques Lagrangiennes pour résoudre des problèmes plus complexes.

14 Complexité et algorithme de résolution du problème à clients spécifiques (CS)
Problème NP-difficile ? d12 d14 Résolu par programmation dynamique en temps exponentiel [Dauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)] Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5 Non divisibilité de la demande : Il existe une solution optimale du problème où dst est produite dans une même période s≤ k ≤t. Regroupement des demandes : Par rapport à la complexité du problème, 1) notre conjecture est que le problème avec clients spécifiques est NP-difficile. L’algorithme dynamique que nous avons développé pour le résoudre s’exécute en temps exponentiel. ds2t2 ds2t2 ds1t1 ds1t1 k

15 Algorithme de programmation dynamique pour le problème à clients spécifiques (CS)
Nombre de demandes positives TWD = Densité des fenêtres de temps = Nombre maximal possible de demandes Temps de calcul (secondes) par rapport à l’horizon de planification et à la densité des fenêtres de temps TWD = 0.8 TWD = 0.6 Et ce graphique le montre bien. Ici les TWD représentent la densité du problème en fenêtres de temps ou le ratio des demandes positives sur le nombre maximales de demandes qu’on peut avoir dans le problème. Et on voie bien que la complexité de l’algorithme dépend beaucoup de cette densité des fenêtres de temps. Plus la densité est grande plus le problème est complexe. Notons comme même que pour des problèmes allant jusqu’à 16 périodes le temps de calcul est de l’ordre de quelques secondes et jusqu’à 18 périodes le temps de calcul reste raisonnable et ne dépasse pas 2 minutes dans le pire des cas. TWD = 0.4

16 Algorithme de programmation dynamique pour la problème à clients non spécifiques (NCS)
L’algorithme exponentiel du problème à clients spécifiques (CS) s’exécute en O(T4) quand les fenêtres de temps sont à clients non spécifiques (NCS) d35 d24 d12 De plus cette algorithme a un avantage. Le théorème suivant indique que dans le cas avec fenêtres de temps à clients non spécifiques, la complexité de l’algorithme exponentiel est réduite à O(T4). Ce qui montre que la complexité de cette algorithme ne dépend pas seulement de la densité des fenêtres de temps mais aussi de la manière dont elles ont disposées. Je vais m’arrêter là avec les problèmes à un produits sans capacité. Je peux détailler d’autres points sur ces problèmes telles que les méthodes heuristiques que nous avons développées pour les résoudre ou d’autres propriétés du problème. Je peux y revenir dans les questions si vous voulez. d14 Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5

17 Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et sans temps de préparation
Sans capacité Avec capacité un produit Refabrication Produits périssables un niveau Rupture de stock Sans temps de préparation PDL Et je passe maintenant au problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité. multi produits Avec temps de préparation multi niveaux Lancements communs

18 Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité
Planifier la production de N produits sur T périodes Une ressource à capacité limitée. La production d’une unité du produit i à la période t consomme σi unités de la capacité Ct. Complexité: Le problèmes sans fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort (Chen & Thizy, 1990). Le problèmes avec fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort. Ce problème consiste à planifier la production de N produits indépendants sur un horizon de T périodes. La fabrication de ces produits nécessite l’utilisation d’une ressource commune d’une capacité limité à chaque période t. Et la fabrication d’une unité du produit i qui consomme sigma_i unités de la capacité C_t. 1) Par rapport à la complexité du problème, il est connu que le problème sans fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort, 2) et comme celui-ci est un cas particulier de notre problème avec fenêtres de temps, ce dernier est aussi NP-difficile au sens fort.

19 Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Modèle mathématique (clients spécifiques CS) Min Sous : La modélisation mathématique du problème ce découle directement du modèle du problème à un produit sans contraintes de capacité. Par rapport au modèle précédent, on a juste rajouter l’indice i qui représente les produits. 1) ce qu’il y a de plus c’est la contrainte de capacité qui apparaît ici et qui indice que l’utilisation de la ressource ne doit pas dépasser sa capacité. Et c’est cette contraintes qui relient les produits entre eux et qui rend le problème encore plus difficile. 21

20 Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Modèle mathématique (clients NON spécifiques NCS) Min Sous : 1) Je pense qu’il est utile de rappeler que dans le cas avec fenêtres de temps à clients non spécifiques, nous n’avons pas besoins de considérer cette contrainte dans le modèle. 22

21 Points clés d’une heuristique Lagrangienne : (e.g. Fisher, 1984)
Relaxer les contraintes difficiles Contraintes de capacité +/- contraintes de fenêtres de temps Résoudre le problème relaxé Problèmes à un produits sans contraintes de capacité (1) Sans fenêtres de temps (Wagner-Whitin), (2) Avec fenêtres de temps à clients non spécifiques (3) Avec fenêtres de temps à clients spécifiques Modifier le problème relaxé et construire des solutions réalisables Heuristiques basées sur trois procédures Mettre à jour les multiplicateurs Lagrangiens Méthode du sous gradient En résumé, les trois questions clés qui peuvent être posées pour la conception d’une heuristique basée sur la relaxation Lagrangienne sont : UN comment choisir les contraintes difficiles et comment résoudre le problème relaxé La deuxième question est par rapport à la construction de solutions réalisables du problème initial, et finalement, comment on met à jours les multiplicateurs lagrangien de telle manière à ce qu’on obtient les meilleurs bornes inférieures et le plus rapidement possible. 1) Pour la première question, nous avons relaxé dans tous les cas la contraintes de capacité toute seul ou avec des contraintes de fenêtres de temps. Pour construire des solutions réalisables, nous avons construit plusieurs heuristiques modulaires qui satisfont les contraintes une par une. Et nous avons utilisé l’algorithme du sous gradient pour mettre à jour les multiplicateurs Lagrangiens.

22 Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Quelles contraintes relaxer (CS) ? Min + constante Sous : O(TlogT) O(T4) WW NCS Exponentiel Et voici les détails de ces points. 1) Initialement on relaxe les contraintes de capacité en leurs associant les multiplicateurs Pi_t (pour chaque contrainte). 2) La fonction objectif est ainsi modifiée. 3) Ce qui change ce sont les coûts de production. Bon, plus une constante qui n’a pas d’influence sur l’optimisation du problème. Les coûts de production donc deviennent composés des coûts de production du problème initial que nous voulons résoudre et d’une partie reliée aux multiplicateurs lagrangiens et à la consommation de la capacité. Maintenant on peut bien voir le rôle des multiplicateurs lagrangiens qui pénalise la violation des contraintes de capacité en augmentant le coût de production des périodes où ces contraintes sont violées. Ce qui pousse la production à d’autres périodes. 4) Les sous problèmes de cette relaxation sont des problèmes à un produit avec des fenêtres de temps à clients spécifiques que nous résolvons avec notre algorithme dynamique en temps exponentiel. 5) si on relache de plus la deuxième famille de contraintes de fenêtres de temps, les sous problèmes sont plutot des problèmes à clients non spécifiques que nous résolvons en O(T4). 6) finalement, si je rajoute au contraintes relaxées, cette famille de contraintes de fenêtres de temps, les sous problèmes sont des problèmes de Wagner-Whitin que nous résolvons en O(TlogT) avec l’algorithme de Mr. Wagelmans et ses collègues. CS 26

23 Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité
Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Quelles contraintes relaxer (NCS) ? Min + constante Sous : WW O(TlogT) NCS Maintenant, dans le cas à clients non spécifique, la situation est plus simple puisqu’on a moins de contraintes de fenêtres de temps. Dans ce cas, nous considérons deux relaxations. Soit on relaxe que les contraintes de capacité et on se retrouve avec des sous problèmes avec des fenêtres de temps à clients non spécifiques autrement on relaxe aussi ces seules contraintes de fenêtres de temps du problèmes et on résout des sous problèmes de sans fenêtres de temps. O(T4) 27

24 Résumé des différentes relaxations
Nom de la relaxation Sous- problèmes Résolus en Clients spécifiques CS-CS CS Exponentiel CS-NCS NCS O(T4) CS-WW WW O(TlogT) Clients non spécifiques NCS-NCS NCS-WW Voici donc un résumé des relaxation qui ont été utilisées. Ici sont les noms des relaxations. En rouge c’est le problème initial à résoudre et en noire à droite c’est le sous problème généré. Donc la colonne suivante montre les sous problèmes à un produit que nous résolvons avec des algorithmes dont relaxation est montrée dans la dernière colonne du tableau.

25 Construction de solutions réalisables
Par rapport à la deuxième question clé de la relaxation Lagrangienne, nous avons développée des heuristiques basées principalement sur les trois modules suivants. Pour satisfaire les contraintes de capacité, nous avons développé le premier et le deuxième modules qui satisfont ses contraintes pour chaque produit indépendamment. Le premier module fait des décalages en avant et en arrière de la production qui dépasse la demande disponible. Le deuxième module regarde l’intervalle entre chaque paire de périodes, et si la production n’est pas suffisante pour satisfaire les demandes qui se trouvent à l’intérieur d’une intervalle donnée, il cherche à apporter de la production d’une période à l’extérieur de cette intervalle pour combler ce manque. Le dernier module consiste à satisfaire les contraintes de capacité. Il est basé sur une heuristiques développée par Trigeiro Thomas et McClain dans leurs article de 89. Ce module considère l’ensemble des produits et sur 4 grandes itérations, il fait des décallage de la production en dépassement de la capacité de production. Insister sur nos contributions (les deux premiers modules. Puis dire que le dernier module est une extension du travail de TTM.

26 Construction de solutions réalisables
La production dépasse ce qui est disponible Début Première contrainte de fenêtres de temps La production n’est pas suffisante pour satisfaire la demande désagrégée Produit par produit Deuxième contrainte de fenêtres de temps Considérer l’ensemble des produits (basée sur TTM 1989) Par rapport à la deuxième question clé de la relaxation Lagrangienne, nous avons développée des heuristiques basées principalement sur les trois modules suivants. Pour satisfaire les contraintes de capacité, nous avons développé le premier et le deuxième modules qui satisfont ses contraintes pour chaque produit indépendamment. Le premier module fait des décalages en avant et en arrière de la production qui dépasse la demande disponible. Le deuxième module regarde l’intervalle entre chaque paire de périodes, et si la production n’est pas suffisante pour satisfaire les demandes qui se trouvent à l’intérieur d’une intervalle donnée, il cherche à apporter de la production d’une période à l’extérieur de cette intervalle pour combler ce manque. Le dernier module consiste à satisfaire les contraintes de capacité. Il est basé sur une heuristiques développée par Trigeiro Thomas et McClain dans leurs article de 89. Ce module considère l’ensemble des produits et sur 4 grandes itérations, il fait des décallage de la production en dépassement de la capacité de production. Insister sur nos contributions (les deux premiers modules. Puis dire que le dernier module est une extension du travail de TTM. Satisfaire les contraintes de capacité La production dépasse la capacité Fin

27 Utilisation des inégalités valides Problème à clients spécifiques (CS)
Dans les relaxations CS-NCS et CS-WW Si ditt>0 alors Yit=1 Après avoir analysé les bornes inférieures des différentes relaxations, nous avons essayé d’améliorer celle des relaxations CS-NCS et CS-WW en identifiant des inégalités valides. Dans le problème initial, avec des fenêtres de temps à clients spécifiques, on sais qu’une demande positive d_itt pour un produit i donné signifie que cette demande est disponible à la période t et doit être satisfaire à cette période même. Et on en déduit qu’il y a certainement une préparation de la ressource à la période t. Mathématiquement, ceci est traduit par l’inégalité valide suivante qu’on rajoute aux modèles des sous problèmes dans les relaxations CS-NCS et CS-WW.

28 Utilisation des inégalités valides Exemple : Relaxation CS-WW
Pour chaque produit i on a le problème Sous : Exemple : écart entre la borne inférieure et la borne supérieure 0.97 % 5.85 % Avec inégalités valides Sans inégalités valides Pour vous donner une idée de la contribution de ces inégalités à la qualité des heuristiques Lagrangienne, dans le cas de la relaxation CS-WW; les sous problèmes à résoudre pour chaque produit i sont représentés par ce modèle. Après on a introduit les inégalité valides au modèle. L’écart moyen entre les bornes supérieures et les bornes inférieures obtenue par cette relaxation sont présentés dans ce tableau. Et on voie que l’écart a été divisé par un facteur de 6 en intégrant les inégalités valides.

29 Résultats numériques : Résumé
Clients spécifiques Ecart moyen Temps de calcul CS-CS 0.02 % 2.04 secs CS-NCS 0.25 % 0.59 secs CS-WW 0.34 % 0.08 secs Données générées aléatoirement pour plusieurs paramètres (nombre de produits, densité des fenêtres de temps, coût de préparation…) Longueur de l’horizon : T=12 périodes Nombre maximum d’itérations : 100 Clients non spécifiques Ecart moyen Temps de calcul NCS-NCS 0.07 % 0.27 secs NCS-WW 0.91 % 0.07 secs Voici donc un résumé des écarts moyen obtenus pour chaque relaxation dans le cas à clients spécifiques et à clients non spécifiques. Nous avons généré aléatoirement des jeux de données où on varient plusieurs paramètres, entre autres le nombre de produits, la densité des fenêtres de temps et la valeur du coût de préparation par rapport au coût de stockage. Nous avons fait tourné l’algorithme pour 100 et deux cents itérations. Ici je présente les résultats pour 100 itérations seulement. Les écarts que nous avons obtenus sont souvent d’une grande qualité pour les deux problèmes. Pour le cas à clients spécifiques, la meilleurs relaxation est CS-CS qui donne 0.02 %. Ceci s’explique par le fait que nous ne relaxons que les contraintes de capacité. Car, en général, plus en relaxe des contraintes moins bons sont les écarts. Cependant CS-CS nécessite un grand temps de calcul par rapport aux deux autres relaxations. Dans le cas à clients non spécifiques, on a encore les meilleurs résultats quand seules les contraintes de capacité sont relaxées, c’est-à-dire dans la relaxation NCS-NCS.

30 Résultats numériques détaillés Problème à clients spécifiques (CS)
Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures Moyennes 0.34 % 0.25 % 0.02 % Sur ce graphique, on montre les écarts des trois relaxations sur différents scénarios et ce pour le problème à clients spécifiques. Les paramètres que nous avons considérés sont : - La densité des fenêtres de temps - le nombre de produits - le coût de préparation sur le coût de stockage - l’étroitesse de la capacité - puis on a considéré la longueur minimale des fenêtres de temps Ce qui est très remarquable ici, c’est pour une langueur minimale de fenêtres de temps égale à DEUX. On voie que la relaxation CS-CS est restée très bonne, par contre les solutions des relaxations CS-NCS et CS-WW se sont dégradées. Ceci est dû au fait que ces relaxation utilisent des inégalités valides basées sur les fenêtres de temps de longueurs égales à UN. Et en considérant des cas sans ces fenêtres de temps, les problèmes deviennent très difficiles pour ces deux relaxations. Je reviendrai à ces problèmes plus loins. On peut bien entrer dans les détails de chaque paramètres. Mais ceci est expliqué dans le rapport et on peut y revenir dans les questions si vous le voulez. Dans la thèse, nous nous sommes aussi intéressés à une analyse de plus prêt des résultats. Pour des écarts de cette grandeur, est ce que ce sont les bornes inférieures qui sont « mauvaises » ou plutôt les bornes inférieures. Il faut rappeler que ce qui nous intéresse les plus ce sont les bornes supérieures ou les solutions réalisable du problème. Et comme les solutions de la relaxation CS-CS sont presque optimales, TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX ~ Opt = 2 UB(CS-CS) +LB(CS-CS) Solutions optimales estimées :

31 Résultats numériques détaillés Problème à clients spécifiques (CS)
~ Opt = 2 UB(CS-CS) +LB(CS-CS) CS-WW CS-NCS Ecart de la borne supérieure par rapport à l’optimum estimé UB 0.00 Ecart de la borne inférieure par rapport à l’optimum estimé LMIN = 2 UB -> 1.38 % LB -> 1.84 % LB Et comme les solutions de la relaxation CS-CS sont presque optimales, nous avons estimé la solution optimale de chaque problème à la moyenne entre la borne inférieure et la borne supérieure de CS-CS. Puis nous avons calculé, pour chaque paramètre, la distance de la borne supérieure obtenue par les relaxation CS-NCS (en bleu) et CS-WW (en noir) par rapport à la solution de CS-CS. Et nous avons fait la même chose pour les bornes inférieures Absorption

32 Résultats numériques détaillés Problème à clients non spécifiques
Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures Moyenne Nous avons procédé avec les mêmes analyses pour les deux relaxations concernant les problèmes à clients non spécifiques. Ce qui est important à remarquer ici c’est le fait que la relaxation NCS-NCS qui et basée sur l’algorithme en O(T4) donne ici des résultats très intéressants. De plus elle est plus robuste que la relaxation NCS-WW que elle est basée sur l’algorithme en O(TlogT). 0.91 % (NCS-WW) 0.07 % (NCS-NCS) TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX

33 Suggestions pour la résolution des problèmes à plusieurs produits
Problèmes à clients spécifiques Problèmes à clients non spécifiques T ≤ 18 périodes CS-CS NCS-NCS 19 ≤ T ≤ 48 périodes CS-NCS T > 48 périodes CS-WW NCS-WW Bon, maintenant par rapport à toute les analyses que nous avons faite, nous sommes sortie avec des suggestions pour les deux types de problèmes … les problèmes à clients spécifiques et ceux à clients non spécifiques. ….. Explain Et je termine cette partie là.

34 Problèmes à un produit avec contraintes de capacité
Sans capacité Avec capacité un produit Refabrication Produits périssables un niveau Rupture de stock Sans temps de préparation PDL Voyons qu’est ce qui va se passer si nous avons N, le nombre de produits est égale à 1; multi produits Avec temps de préparation multi niveaux Lancements communs

35 Problème avec fenêtres de temps à un produit et avec contraintes de capacité
Problème NP-difficile (Florian, Lenstra et Rinnooy Kan, 1980) Résolution heuristique basée sur la relaxation Lagrangienne. Utiliser l’heuristique Lagrangienne développée pour le problème multi-produits Etudier les caractéristiques de ce problème et adapter l’approche Versus Alors, le problème est NP-difficile dans le cas sans fenêtres de temps. Il l’est aussi quand on considère les fenêtres de temps. La question qu’on peut se poser c’est « est ce qu’il est NP-difficile au sens fort ?», ce qui n’est pas le cas pour le problème sans fenêtre de temps. Autrement dit, est ce qu’on peut le résoudre en temps pseudo polynomial. Dans cette présentation des problèmes à un produit, je me limiterai au problème à clients spécifiques seulement. La même analyse a été faite sur les problèmes à client non spécifiques et elle est présentée dans la thèse. Bon, nous ne nous sommes pas encore intéressés à cette question pour le moment. Et, initialement, nous avons pensé à le résoudre avec des heuristiques lagrangiennes. Et la nouvelle question qui se pose, c’est « est ce qu’il suffit d’appliquer les heuristiques lagrangiennes présentées dans la partie précédente telles quelles ou faut il étudier les caractéristiques du problème et modifier l’approche de résolution. Bien sûr  nous allons montré que la deuxième proposition est la plus intéressante 

36 Quelles contraintes relaxer ? Multi produits ou Un produit ?
Cas du problème à un produit avec contraintes de capacité (Problème à clients spécifiques) Quelles contraintes relaxer ? Multi produits ou Un produit ? Min Sous : Alors la première propriété du problème que nous avons étudiée concerne le modèle mathématique sur lequel la relaxation est basée. Je reprend le modèle mathématique du problème à plusieurs produits. J’ai juste supprimé l’indice i des produits puisqu’il on a un seul produit. Les contraintes qu’il faut regarder sont les contraintes de capacité et les contraintes reliant les variables de production et ceux de préparation. Cette deuxième contrainte indique que, s’il y a production à la période t, elle sera inférieur ou égale à la demande cumulée de petit t à grand T. On combinant cette condition avec la contrainte de capacité, on aboutit à la contraintes suivante qui dit que: s’il y a production à la période t, celle si est inférieure au minimum de la capacité et de la demande cumulé jusqu’à T. Alors que dans le modèle multi produit la contraintes à relaxer c’est cette contraintes de capacité. Dans le nouveau modèle, c’est cette contraintes que nous allons considérer pour la relaxation.

37 2. Pré-lissage de la demande
Bitran et Yanasse (1982) : Pré-lissage de la demande agrégée Demande agrégée dépasse la capacité Capacité Problème initial Problème équivalent Notre contribution : Pré-lissage de la demande disponible Demande disponible dépasse la capacité Le deuxième point qui est propre aux problèmes à un produit est le suivant : On peut prouver facilement que si on a un problème comme celui-ci où les demandes agrégées de certaines périodes dépassent la capacité, 1) on peut trouver un problème équivalent où toute les demandes agrégées sont inférieures aux demandes disponibles. L’article le plus ancien dans lequel j’ai vue cette proposition est celui de Bitran et Yanasse de 1982. 2) Et l’idée en gros est de décaler la demandes en dépassement de la capacité à une période donnée vers la période qui la précède. Capacité Problème initial Problème équivalent

38 Nouv. contraintes de capacité (seules)
Problèmes à un produit avec contraintes de capacité Problèmes à clients spécifiques (CS) : Résultats numériques Ecarts moyens (%) entre les bornes inférieures et les bornes supérieures : Relaxation CS-NCS Ancienne approche Nouv. contraintes de capacité (seules) Pré-lissage (seul) Nouvelle approche Famille 1 15.28 % 3.49 % 1.68 % 0.58 % Famille 2 16.15 % 4.64 % 1.91 % 0.65 % Famille 3 26.99 % 5.35 % 1.95 % 0.79 % Famille 4 15.90 % 8.65 % 0.07 % Famille 5 Famille 6 0.98 % 0.61 % 0.53 % 0.24 % Moyenne 15.24 % 4.56 % 1.34 % 0.50 % Voici un résumé des résultats que nous avons obtenus avec la nouvelle approches avec un écart moyen de 0.5 %. 1) Si on considère le modèle proposé pour les problèmes multi produits, au lieu de celui spécifique aux problèmes mono produit, l’écart moyen est 4 fois plus grand. 2) Et si on supprime le pré lissage des demandes (tout en gardant le modèle à un produit), l’écart est multiplié par 9 et augmente jusqu’à 4.5 % Conclusion : L’exploitation de la structure des problèmes à un produit améliore considérablement la qualité des heuristiques Lagrangiennes

39 Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et avec temps de préparation
Sans capacité Avec capacité un produit Refabrication Produits périssables un niveau Rupture de stock Sans temps de préparation PDL Je reviens au problèmes à plusieurs produits. Et en plus des contraintes de capacité, je considère les temps de préparation. multi produits Avec temps de préparation multi niveaux Lancements communs

40 Temps de préparation (e.g. Trigeiro, Thomas, et McClain, 1989)
Prod 1 Prod 2 Prod 1 Prod 2 Semaine 1 Semaine 2 Prod 1 Prod 2 Prod 1 Prod 2 Semaine 1 Semaine 2 Préparation Production Et donc par rapport au problème sans temps de préparation, maintenant on considère qu’une partie de la capacité est consommée par la préparation de la ressource en plus de la capacité consommée par la production elle même. Ce problème est NP-difficile puisque c’est une extension directe du problème sans temps de préparation. De plus les temps de préparation rajoute une dimension à la complexité du problème. Le problème de faisabilité devient NP-complet. Ce problème avec fenêtres de temps est aussi NP-difficile et son problème de faisabilité est NP-complet. Optimisation Problème NP-difficile au sens fort Faisabilité Problème NP-complet Maes, McClain et Van Wassenhove (1991)

41 Extension du modèle mathématique
Min Adapter l’heuristique Lagrangienne du problème à plusieurs produits pour prendre en considération les temps de préparation Sous : 1) En relaxe les contraintes de capacité en leurs associant les multiplicateurs Pi_t (pour chaque contrainte). 2) La fonction objectif est ainsi modifiée. 3) Ce qui change ce sont les coûts de production. Bon, plus une constante qui n’a pas d’influence sur le problème. Les coûts de production donc deviennent composés des coûts de production du problème initial que nous voulons résoudre et d’une partie reliée aux multiplicateurs lagrangiens et à la consommation de la capacité. Maintenant on peut bien voir le rôle des multiplicateurs lagrangiens qui pénalise la violation des contraintes de capacité en augmentant le coût de production des périodes où ces contraintes sont violées. Ce qui pousse la production à d’autres périodes. 4) Les sous problèmes de cette relaxation sont des problèmes à un produit avec des fenêtres de temps à clients spécifiques que nous résolvons avec notre algorithme dynamique en temps exponentiel. 5) si on relache de plus la deuxième famille de contraintes de fenêtres de temps, les sous problèmes sont plutot des problèmes à clients non spécifiques que nous résolvons en O(T4). 6) finalement, si je rajoute au contraintes relaxées, cette famille de contraintes de fenêtres de temps, les sous problèmes sont des problèmes de Wagner-Whitin que nous résolvons en O(TlogT) avec l’algorithme de Mr. Wagelmans et ses collègues. 41

42 Résultats numériques Jeux de données obtenus en transformant les problèmes de Trigeiro, Thomas et McClain (1989) en problèmes avec fenêtres de temps. Périodes : T=20 Produits : N=10, 20, 30 Résultats pour les relaxations CS-NCS et CS-WW; NCS-NCS et NCS-WW Les tests numériques étaient effectués sur des problèmes générés à partir des données de Trigeiro, Thomas et McClain que nous avons convertis en problèmes avec fenêtres de temps. Les problèmes sont de 20 périodes et de 10, 20 et 30 produits. Ici je montrerai seulement les résultats des relaxations CS-NCS et NCS-NCS dont les sous problèmes sont résolus en O(T4). Aucune solution réalisable pour 38 problèmes sur 540. C’est aussi le cas pour un logiciel standard d’optimisation (Xpress-MP) après plusieurs jours d’exécution.

43 Résultats numériques Problèmes avec temps de préparation
Clients spécifiques Ecart moyen Temps de calcul CS-NCS 6.34 % 4 secs CS-WW 6.66 % 0.4 secs Clients non spécifiques Ecart moyen Temps de calcul NCS-NCS 2.57 % 4 secs NCS-WW 5.04 % 0.3 secs Pour le problème à clients spécifiques, la relaxation CS-NCS nous a donné un écart moyen de 6.5 % avec des écarts qui varient entre 1 % et 14 %. Encore une fois, on trouve parmi les problèmes les plus difficiles ceux avec des coûts de préparation très élevés par rapport aux coût de stockage. Vue ces résultats, nous avons essayé de voir le comportement de la relaxation CS-CS qui a donné les meilleurs résultats, pour quelques uns de ces problèmes.

44 Conclusions Etat de l’art sur les problèmes à un produit
Intégration des fenêtres de temps Résolution des problèmes à un produit (méthodes exactes et heuristiques) Etat de l’art sur les problèmes à plusieurs produits Heuristiques Lagrangiennes pour les problèmes à plusieurs produits avec et sans temps de préparation En conclusion à cette présentation, pendant la thèse, 1) nous avons contribué avec des états de l’art sur les problèmes à un produit et les problèmes à plusieurs produits à un niveau. 2) Nous avons généralisé la notion de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots. Et nous avons montré les motivation derrière. En particulier les multiples applications. 3) Nous avons analysé et résolu des problèmes à un produit. En plus des algorithmes exacts que j’ai présentés ici, nous avons développé et analysé des heuristiques pour le problème à un produit. Ce que je n’ai pas eu le temps de présenter ici. 4) nous avons aussi développé et analysé des heuristiques Lagrangiennes pour des problèmes à plusieurs produits avec et sans temps de préparation. Nous avons aussi effectuées des analyses plus poussées de tous ces algorithmes, ce que vous pouvez retrouver sur le rapport.

45 Perspectives A court terme
Complexité du problème à un produit avec fenêtres de temps à clients spécifiques Améliorer les algorithmes de programmation dynamique pour le problème à un produit Méthode exacte pour analyser les bornes des relaxations A moyen terme Utiliser ces résultats pour résoudre des problèmes à plusieurs niveaux Intégration des contraintes d’ordonnancement Suite aux travaux effectués pendant cette, 1) nous nous intéressons, en premier lieu, à la complexité des problèmes avec fenêtres de temps à clients spécifiques. 2) Nous comptons, par la suite, améliorer les algorithmes de résolution des problèmes à un produit, vue l’importance de ces algorithmes dans la résolution des sous problèmes de la relaxation Lagrangienne. 3) Pour mieux analyser les bornes des relaxation Lagrangiennes, nous avons pensé à implémenter une recherche arborescente pour trouver des solutions optimales des problèmes. A moyen terme et par rapport à 3) Un sujet pour lequel nous avons déjà certaines idées mais qui risque du prendre du temps c’est l’application de nos résultats pour la résolution de problèmes à plusieurs niveaux. Finalement, nous nous intéressons à l’intégration des contraintes d’ordonnancement dans les décision de dimensionnement de lots. Je vous remercie pour votre attention et je suis prêt à répondre à vos questions.