Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 11, 1 ère partie Les B-arbres Département dinformatique et de génie logiciel Édition septembre 2009.

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1 Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 11, 1 ère partie Les B-arbres Département dinformatique et de génie logiciel Édition septembre 2009

2 Plan Les arbres B Les arbres B+

3 Retour aux arbres binaires Insertion : par une feuille feuille après feuille toutes les racines sont fixées trop tôt

4 Arbres-B 368912 Idée : avoir un tampon (tableau) 2 types de gestion nœuds plus grands (tableau) choisir la bonne racine (plus stable)

5 Arbres-B 368912

6 Arbres-B 368912

7 Arbres-B 368912

8 Arbres-B 36912 8

9 Arbres-B 36912 8

10 Arbres-B 36912 8 369

11 Arbres-B 8 36912

12 Arbres-B 8 36912

13 Arbres-B 8 36912

14 Arbres-B 8 36912

15 Arbre-B dordre m définition : la racine a au moins 2 enfants à moins que ce ne soit une feuille aucun nœud na plus de m enfants tous les nœuds, sauf la racine et les feuilles, ont au moins m/2 enfants toutes les feuilles apparaissent au même niveau tout nœud qui a k enfants a k-1 éléments 3 6 8 10 12 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

16 8 15 3 6 9 12 16 20 Arbres-B : recherche p 0 si x < e 1 p i si e i < x < e i+1 p m-1 si e m-1 < x 3 6 8 10 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

17 Utilisation darbres-B + indirection vers les données 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40

18 Arbre-B dordre m Outils pour la gestion dun fichier binaire Nœud typique & en-tête du fichier index (B-arbre) La mécanique de la construction dun B-Arbre La procédure de la subdivision dun nœud 3 6 8 10 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

19 struct BTPAGE { short keycount; /* Le compteur de clefs. Indique quand le noeud est plein. */ struct uneCle key [MAXKEYS]; /* Le tableau des clef. */ short CHILD[MAXKEYS+1]; /* Le tableau qui contiendra les fils pointés */ }; Structure typique dun arbre-B

20 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

21 20 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

22 20 40 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

23 10 20 40 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 Ajout dans un arbre-B dordre 5

24 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

25 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 15 20 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

26 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 15 20 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

27 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 10 15 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

28 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 10 15 30 35 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

29 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 7 10 15 30 35 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

30 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 7 10 15 26 30 35 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

31 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 7 10 15 18 26 30 35 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

32 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 7 10 15 18 22 26 30 35 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

33 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 7 10 15 18 22 26 30 35 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

34 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 30 7 10 15 18 35 40 22 26 Ajout dans un arbre-B dordre 5

35 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 30 5 7 10 15 18 35 40 22 26 Ajout dans un arbre-B dordre 5

36 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 20 30 35 40 5 7 10 15 18 22 26 Ajout dans un arbre-B dordre 5

37 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 35 40 5 7 22 26 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

38 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 35 40 42 5 7 22 26 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

39 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 35 40 42 5 7 22 26 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

40 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 35 40 42 46 5 7 22 26 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

41 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 35 40 42 46 5 7 22 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

42 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 35 40 42 46 5 7 8 22 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

43 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 32 35 40 42 46 5 7 8 22 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

44 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 32 35 40 42 46 5 7 8 22 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

45 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 32 35 42 46 5 7 8 22 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

46 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 32 35 38 42 46 5 7 8 22 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

47 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 32 35 38 42 46 5 7 8 22 24 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

48 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 32 35 38 42 45 46 5 7 8 22 24 26 27 13 15 18 Ajout dans un arbre-B dordre 5

49 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 5 7 8 22 24 25 26 27 32 35 38 13 15 18 42 45 46 Ajout dans un arbre-B dordre 5

50 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 5 7 8 22 24 25 26 27 32 35 38 13 15 18 42 45 46 Ajout dans un arbre-B dordre 5

51 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 30 40 5 7 8 22 24 25 26 27 32 35 38 13 15 18 42 45 46 Ajout dans un arbre-B dordre 5

52 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 25 30 40 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 Ajout dans un arbre-B dordre 5

53 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 25 30 40 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 Ajout dans un arbre-B dordre 5

54 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 25 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

55 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

56 +: 20,40,10,30,15,35,7,26,18,22,5,42,13,46,27,8,32,38,24,45,25 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40 Ajout dans un arbre-B dordre 5

57 Arbres-B Implantation Un B-arbre est une structure de données externe. On parle de fichier index Il sagit dun fichier binaire (ou structuré)

58 Les fichiers binaires Principe - un fichier est une séquence d'octets non interprétés Interprétation des données binaires - à la charge du programmeur - une séquence de n octets peut s'interpréter comme: un entier, un tableau, un enregistrement,... Les outils Déclaration dun pointeur de fichier Ouverture et fermeture Les différents modes douverture Lecture et écriture Principe du numéro dordre relatif (rrn) Accès direct..

59 Les fichiers binaires #include //3 classes: ifstream: pour lire dans des fichiers ofstream: pour écrire dans des fichiers fstream: pour lire et écrire dans des fichiers fstream f; f.open("toto.txt", ios::in|ios::out); mode d'ouverture: ios::in // ouverture en lecture ios::out// ouverture en écriture ios::app// ajout en fin de fichier ios::ate// se position à la fin ios:: binary// mode binaire ios::trunc// tronque le fichier à 0 fstream

60 Accès direct avec fseek..() f.seekg (rrn*sizeof(Personne), ios_base::beg) déplacement par rapport à origine ios_base::beg début de f ios_base::cur position courante Ios_base::end fin de f struct Personne { int age; char nom[40]; }; Personne p;fstream f; … Ecriture dans le fichierf.open(nomFich, ios::in|ios::out) f.write (reinterpret_cast &p, sizeof(Personne)); Lecture du fichier f.read (reinterpret_cast &p, sizeof(Personne)); f.tellg(); //retourne Position courante du pointeur dans le fichier, en nombre d'octets Accès direct pour lire ou écrire:

61 Organisations et modes daccès des fichiers Mode dorganisation SéquentielRelatif ou directSéquentiel indexé Mode daccès séquentiel Mode daccès direct Hashing Mode daccès séquentiel Mode daccès indexé

62 Arbre-B dordre m Exemple et algorithme dinsertion détaillé (B-arbre dordre 3) I, K, A, Z, M, B, W, L, C, J, O 3 6 8 10 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

63 struct BTPAGE { short keycount; /* Le compteur de clefs. Indique quand le noeud est plein. */ struct uneCle key [MAXKEYS]; /* Le tableau des clef. */ short CHILD[MAXKEYS+1]; /* Le tableau qui contiendra les fils pointés */ }; Structure typique dun arbre-B

64 /* --------------------------------------------------------*/ /* **** Driver.cpp **** Le "pilote" pour la création et la manipulation darbres-B. Crée ou ouvre un fichier arbre-B. Obtient la clef suivante et appelle la fonction insert pour l'insérer dans l'arbre. Au besoin, driver peut créer une nouvelle racine pour l'arbre. */ Ajout dans un B-arbre File Structures Michael J. Folk and all.

65 Ajout dans un B-arbre template void BTree:: driver() {…… /* ouverture du fichier index*/ if btOpen() root = getRoot(); else {btfd.open("btree.dat", ios::binary|ios::out|ios::in); key = getClef(); /*première clé*/ root = createRoot(key, NIL, NIL); } key = getClef(); /*une clé à insérer*/ do { promoted = insert(root, key, &promoRrn, &promoKey); if (promoted) root = bt.createRoot(promoKey, root, promoRrn); key = getClef(); } while( /*il y a une clé*/ ); }

66 /***** insert.cpp **** Contient la fonction insert() qui insère une clef dans un arbre-B. S'appelle de manière récursive tant que le bas de l'arbre n'est pas atteint. Alors, insert() insère une clef dans une feuille de l arbre. Si le noeud est plein, - appelle split() pour scinder le noeud - promouvoit la clef du milieu et le rrn du nouveau nœud et essaie dinsérer la clé promue lors de ses remontées dappel */ /* insert() Arguments: rrn: Le rrn de la page dans laquelle on fait l'insertion *promoRchild: Le fils promu vers le prochain niveau key: La clef à être insérée *promoKey: La clef promue vers le prochain niveau */

67 insert (short rrn, T key, short *promoRchild, clef *promoKey) { …. if (rrn == NIL) {*promoKey = key; *promoRchild = NIL; return (VRAI); } btread(rrn, &page); found = searchNode(key, page, &pos); if (found) { printf("Erreur: clé dupliquée); return (FAUX); } promoted = insert(page.child[pos], key, &pBrrn, &pBkey); if (!promoted)return (FAUX); if (page.keycount < MAXKEYS) { insInPage( pBkey, pBrrn, &page); btWrite(rrn, page); return (FAUX); } else {split( pBkey, pBrrn, &page, promoKey, promoRchild, &newPage); btwrite(rrn, page); btwrite(*promoRchild, newPage); return (VRAI); }

68 8 15 3 6 9 12 16 20 Arbres-B : recherche p 0 si x < e 1 p i si e i < x < e i+1 p m-1 si e m-1 < x 3 6 8 10 p0p0 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4

69 RECHERCHE (RRN, CL, TROUV_RRN, TROUV_POS) si RRN == NIL alors/* condition d'arrêt de la récursion */ retourner NON TROUVE sinon lire page RRN dans PAGE regarder à travers la PAGE pour trouver CL mettre POS égale à la position où KEY apparaît ou devrait apparaître. si CL est trouvé alors/* RRN contient la clef */ TROUV_RRN = RRN TROUV_POS = POS retourner TROUVE sinon/* le FILS suivant fait référence à un niveau plus bas*/ return (RECHERCHE(PAGE.FILS[POS], CL, TROUV_RRN, TROUV_POS) finsi Recherche dans un arbre-B

70 /* RRN_FichPrin est le numéro du bloc dans le fichier de données (FichPrin) où se trouve toutes les données de l'enregistrement trouvé. Chaque clé est accompagnée par l'adresse où se trouve la donnée correspondante dans un autre fichier que le fichier index B-Arbre.*/ template bool BTree::searchBTree(int rrn, T key, int *trouvRRN, short *trouvPos) { short pos; Bool found; BTPAGE page; if (rrn == NIL) { return FAUX; } else { btread(rrn,&page); /*lecture d'un noeud (une page) dans le fichier B-Arbre*/ found = searchNode(key, page, &pos); /*recherche dans la page lue */ if (found) { *trouvRRN = page.key[pos].RRN_FichPrin; return VRAI; } else { return(search(page.child[pos],key,trouvRRN,trouvPos)); } 3 6 8 10

71 Visite dun arbre-B visite symétrique du B-arbre pour afficher les clés triées, rrn est l'adresse de la page racine du B-arbre. Cette fonction retourne un flag pour contrôler son exécution BTPAGE est la structure typique du B-arbre: struct BTPAGE { short keycount; struct uneCle key [MAXKEYS]; short CHILD[MAXKEYS+1]; };

72 template int BTree:: visiteSymetriqueB_Arbre(short rrn) { BTPAGE page; if (rrn == NIL) { return (-1); //arbre vide } btRead(rrn, &page); for(short pos = 0; pos < page.keycount; pos++) { //appel récursif pour chaque sous-arbres visiteSymetriqueB_Arbre(page.child[pos]); cout << page.key[pos].nom; } //dernier appel récursif pour le sous-arbrequi se trouve à droite de la dernière clé visiteSymetriqueB_Arbre(page.child[pos]); return 0; }

73 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40

74 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40 x Enlèvement dans un arbre-B

75 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40 x Enlèvement dans un arbre-B

76 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 24 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

77 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 24 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

78 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 24 30 40 x

79 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 22 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 24 30 40 x

80 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 22 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

81 -: 25,24,22,20 10 20 5 7 8 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 22 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

82 -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 22 30 40 20

83 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 22 30 40 20 x

84 -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 22 30 40 20 x Enlèvement dans un arbre-B

85 -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 20 30 40

86 -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 20 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

87 18 -: 25,24,22,20 10 15 5 7 8 32 35 38 13 42 45 46 26 27 20 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

88 18 -: 25,24,22,20 10 15 5 7 8 32 35 38 13 42 45 46 26 27 20 30 40 x Enlèvement dans un arbre-B

89 18 -: 25,24,22,20 10 15 5 7 8 32 35 38 13 42 45 46 26 27 20 30 40 x Enlèvement dans un arbre-B

90 -: 25,24,22,20 10 15 5 7 8 32 35 38 13 42 45 46 26 27 18 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

91 -: 25,24,22,20 10 15 5 7 8 32 35 38 13 42 45 46 26 27 18 30 40

92 Enlèvement dans un arbre-B -: 25,24,22,20 10 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 18 30 40

93 -: 25,24,22,20 10 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 18 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

94 -: 25,24,22,20 10 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 18 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

95 -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 30 40 Enlèvement dans un arbre-B

96 -: 25,24,22,20 10 18 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 30 40 + Enlèvement dans un arbre-B

97 -: 25,24,22,20 10 18 30 40 5 7 8 32 35 38 13 15 42 45 46 26 27 Enlèvement dans un arbre-B

98 1.Si la clé à supprimer ne se trouve pas dans une feuille, la remplacer par son prédécesseur ou successeur se trouvant dans une feuille. 2.Supprimer la clé. 3.Si la feuille a le nombre requis de clés, ne rien faire. 4.Si la feuille contient moins de clés que requis, regarder à sa droite et à sa gauche pour trouver la cible. 1.Si la cible a le nombre requis de clés, redistribution 2.Si la cible na pas le nombre requis de clés, concaténation 5.Si la feuille a subi la concaténation, appliquer 3. à 6. au père de cette feuille. 6.Si la dernière clé de la racine a été déplacée, mettez à jour la racine. Algorithme Enlèvement dans un arbre-B

99 Utilisation darbres-B + indirection vers les données 10 20 5 7 8 22 24 32 35 38 13 15 18 42 45 46 26 27 25 30 40

100 Arbres-B dordre m Désavantages : gestion plus complexe 2 types de structures à gérer pour chaque opération espace perdu les nœuds (tableaux) contiennent de lespace inutilisé quel impact a le choix de m : sur le temps de recherche dune information ? sur le temps dajout dune information ? sur le temps de traitement dintervalles ? comment choisir m ?

101 Arbres-B dordre m Désavantages : gestion plus complexe 2 types de structures à gérer pour chaque opération espace perdu les nœuds (tableaux) contiennent de lespace inutilisé quel impact a le choix de m : sur le temps de recherche dune information ? sur le temps dajout dune information ? sur le temps de traitement dintervalles ? comment choisir m ? souvent selon la taille des secteurs disque selon les caractéristiques et besoins de lapplication

102 Les arbres-B+ Définitions: c est un B-arbre + duplications des clés + chaînage de toutes les feuilles

103 Insérer 65 65 Exemple Construction dun arbre-B+

104 Insérer 25 2565

105 Insérer 50 255065

106 Insérer 30 25305065

107 Insérer 85 85 25305065 25305065 50 2530 5065 85

108 Insérer 75 50 2530 5065 7585

109 Insérer 80 50 2530 5065 7585 80 50 2530 5065 758085 50 2530 5065 758085 5075 2530 50 65 75 8085

110 Suppression 60 2550 7585 50 55 75 80 51015 252830 60 6570 85 9095

111 Supprimer 70 (Cas 1) 60 2550 7585 50 55 75 80 5101520 252830 60 6570 85 9095 Sans violation 70 nappartient pas à une page interne Suppression

112 60 2550 7585 50 55 75 80 5101520 252830 60 65 85 9095 Suppression

113 Supprimer 25 (Cas 1) 60 2550 7585 50 55 75 80 5101520 252830 60 65 85 9095 Sans violation 25 appartient à une page interne

114 60 2850 7585 50 55 75 80 5101520 2830 60 65 85 9095 Suppression

115 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 60 2850 7585 50 55 75 80 51015 20 2830 60 65 85 9095 Violation

116 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 60 2850 7585 50 55 75 80 5101520 2830 60 65 85 9095 Fusionner

117 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 60 2850 7585 50 55 75 80 5101520 2830 60 65 85 9095 On peut fusionner avec lautre frère Cas 2 Fusion

118 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 65 2850 7585 50 55 51015 20 2830 65 75 80 85 9095

119 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 65 2850 85 50 55 5101520 2830 65 75 80 85 9095 Violation

120 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 65 2850 85 50 55 5101520 2830 65 75 80 85 9095 Fusionner

121 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 65 2850 85 50 55 5101520 2830 65 75 80 85 9095 Fusionner

122 Supprimer 60 (Cas 2 et 3) 2850 6585 50 55 5101520 2830 65 75 80 85 9095

123 Site Web du Cours, semaine 12 Lecture complémentaires : Une synthèse sur les arbres AVL ainsi que sur les B-arbre et B-arbre+.synthèse Une trace des algorithmes d'ajout et de suppression dans un B-arbre.Une trace La même chose en ce qui concerne les B-arbre+.même chose