Produit Scalaire.

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1 Produit Scalaire

2 qui se mesure par un nombre.
1. Vocabulaire et Notation On parle de produit scalaire de deux vecteurs. Loi de calcul qui se mesure par un nombre. Se lit « u scalaire v » ! est un nombre réel !

3 2. Définitions Il n’y a pas moins de 4 définitions pour le produit scalaire de deux vecteurs ! En voici déjà 2 ! La première, quoique générale est fort peu utile … La seconde est déjà plus concrète même si elle contient un cosinus !

4 ! Si les vecteurs sont de même sens.
La troisième définition se décompose en deux cas : Soient O , A et B trois points tels que : Soit H projeté orthogonal de B sur (OA). O A B H ! Si les vecteurs sont de même sens.

5 ! Si les vecteurs sont de sens contraire.
Voici l’autre cas de cette troisième définition : Soient O , A et B trois points tels que : Soit H projeté orthogonal de B sur (OA). O A B H ! Si les vecteurs sont de sens contraire.

6 On considère un repère orthonormé
Enfin voici la quatrième est dernière définition du produit scalaire ! On considère un repère orthonormé Soit (x ; y) et (x ‘ ; y ‘) les coordonnées respectives des vecteurs Cette définition est sans doute la plus plaisante ; mais pour pouvoir l’utiliser, il faut obligatoirement se placer dans un repère orthonormé.

7 AB  AA = 0 AB  AB = 16 - IC  ID = -4 BJ  BA = 8 CD  CI = 8
Exercice. En utilisant la troisième définition (utilisation du projeté) I A B C D O AB  AA = 0 AB  AB = 16 - IC  ID = -4 BJ  BA = 8 CD  CI = 8 - OI  OJ = -4 4 J

8 3. Produit scalaire & colinéarité
 Si les vecteurs sont colinéaires de même sens.  Si les vecteurs sont colinéaires de sens contraire.

9 On définit le carré scalaire d’un vecteur comme le produit scalaire de
ce vecteur par lui-même. On a donc : Ainsi, le carré scalaire d’un vecteur est égal à la norme de ce vecteur au carré. En prenant des points A et B, on obtient :

10 Exercice. D B A C E 3 12 -15 16 -40 6 -3 -9

11   4. Produit scalaire & orthogonalité Les vecteurs sont orthogonaux
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires 

12 5. Règles de calculs On trouve des règles de calculs caractéristiques d’un produit. Mais attention à ne pas généraliser toutes les règles du produit réel : FAUX !

13 Et on a même les très célèbres produits remarquables !
L’utilisation de ces différentes règles et de la relation de Chasles, permet, entre autres choses, de calculer plus simplement les produits scalaires.

14 A B C D E a F I Exercice. I milieu de [BC]

15 A B C D E a F I I milieu de [BC]