Produit scalaire Montage préparé par : André Ross

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1 Produit scalaire Montage préparé par : André Ross
Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2 Introduction Nous allons maintenant présenter une autre opération sur les vecteurs, le produit scalaire. Nous allons définir cette opération sur les vecteurs algébriques puis nous verrons l’interprétation géométrique de cette opération sur des vecteurs de R2 et des vecteurs de R3.

3 Produit scalaire de vecteurs géométriques
Définition Soit u et v deux vecteurs géométriques. Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini par l’égalité suivante : u • v = u v cos q, où q est l’angle entre les vecteurs. Remarque : Cette définition va nous permettre de développer diverses applications du produit scalaire.

4 Exemple Dans la figure ci-contre, l’unité de mesure est l’arête d’un cube et les vecteurs e1, e2 et e3 forment une base de l’espace. Déterminer les produits scalaires suivants : u • e3 a) AB • CD b) a) On peut également procéder en exprimant les vecteurs dans la base. Cela offre un avantage intéressant puisque les vecteurs de la base sont perpendiculaires et que cos 90° = 0. Dans le cas présent, on a : b) En exprimant les vecteurs dans la base, on obtient : a) On a : e3 = 1 et u = = = 2 2 S S AB = e2 – e3 et CD = e1 – e2 , d’où : S cos (u • e3) = 2 De plus, AB • CD = (u • e3) = 45° ( ) • ( ) e2 – e3 e1 – e2 , d’où S u = e e3 = (e2 • e1) – (e2 • e2 ) – (e3 • e1 ) + (e3 • e2 ) Par conséquent : D’où : u • e3 = (e e3) • e3 = 0 – 4 – = –4 2 2 2 ´1 ´ u • e3 = u e3 cos (u • e3) = = e1 • e3 + 2 (e3 • e3 ) , par les propriétés; = 2 On a donc : AB • CD = –4 = ( 1 ) = 2

5 Produit scalaire Propriétés du produit scalaire
Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : 1. Commutativité u • v = v • u 2. Associativité pour la multiplication par un scalaire (pu) • (qv) = pq(u • v) 3. Distributivité sur l’addition vectorielle u • (v + w) = u • v + u • w 4. u • u = u 2 On démontre la quatrième propriété de la façon suivante : u • u = u12 + u22 + … + un2 , par définition du produit scalaire; = u 2, puisque u = u12 + u22 + … + un2 .

6 Produit scalaire nul Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls tels que u • v = 0. il faut que l’un des facteurs du produit soit nul. Les deux vecteurs étant non nuls, la seule possibilité est donc : Puisque : u • v = u v cos q, cos q = 0, d’où q = arccos 0 = 90° Réciproquement, si u et v sont perpendiculaires, on a : u • v = u v cos q = u v cos 90° = 0 Théorème Produit scalaire nul Soit u et v deux vecteurs géométriques non nuls. Le produit scalaire de ces vecteurs est nul si et seulement si les vecteurs u et v sont perpendiculaires.

7 Produit scalaire de vecteurs algébriques
Définition Soit u = (u1; u2; ...;un) et v = (v1; v2; ...;vn), deux vecteurs de Rn. Le produit scalaire de u par v, noté u • v, donne un scalaire défini par l’égalité suivante : u • v = u1v1 + u2v unvn Remarque : Cette définition suppose que les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle de Rn. Elle est valide dans R2 et dans R3 aux même conditions. Ainsi, le produit scalaire des vecteurs u = (2; –5; 4) et v = (8; 2; –3) est : u • v = 2 ´8 + (–5) ´2 + 4 ´(–3) = –6

8 Application Un marchand livre des fruits dans les édifices à bureaux du centre-ville. Le tableau ci-contre indique les fruits commandés par les employés d’un bureau ainsi que le prix unitaire de ces fruits. La Fruiterie mobile Prix unitaire Quantité Pomme 0,75 8 Poire 0,80 6 Prune 0,50 4 Ce tableau comporte deux vecteurs, un vecteur des prix unitaires et un vecteur des quantités. Vecteur des prix unitaires : u = (0,75; 0,80; 0,50) Vecteur des quantités : v = (8; 6; 4) Pour établir la facture du client, le marchand peut effectuer l’opération suivante sur ces vecteurs : u • v = (0,75 ´8) + (0,80 ´6) + (0,50 ´4) = 12,80 $ L’opération consiste à faire la somme des produits des composantes de même rang. Cette opération entre deux vecteurs donne un scalaire, que nous appellerons produit scalaire.

9 Produit scalaire de vecteurs géométriques
Considérons deux vecteurs géométriques u et v , de longueur a et b respectivement. Posons c la longueur du troisième côté du triangle construit sur ces vecteurs. Par la loi des cosinus, c2 = a2 + b2 – 2ab cos q, où q est l’angle entre les vecteurs. De plus : u v – 2 , puisque ; c = u v – c2 = = ( ) • ( ) u v – , puisque ; u • u = u 2 = • – • – • • u v , par la distributivité du produit scalaire sur l’addition vectorielle; u 2 v • – 2 = + , par la commutativité du produit scalaire; u v • – 2 = a2 + b2. u v • – 2 a2 + b2 On a donc : = a2 + b2 – 2ab cos q , d’où : u v • = ab cos q = u v cos q

10 Interprétation géométrique
Soit u et v deux vecteurs non nuls. Le produit scalaire : u • v = u v cos q, donne un scalaire qui est formé du module du vecteur u et de la longueur dirigée de la projection du vecteur v sur la droite support de u. Puisque le produit scalaire est commutatif, on peut dire que le produit scalaire de deux vecteurs donne le produit du module de l’un des deux et de la longueur dirigée de la projection orthogonale du second sur le premier. Cette interprétation est également valide lorsque l’angle entre les vec-teurs est compris entre 90° et 180°.

11 Angle entre deux vecteurs
Soit u et v deux vecteurs non nuls. on peut calculer le cosinus de l’angle entre les vecteurs de la façon suivante : Puisque : u • v = u v cos q, cos q = u • v u v , d’où q = arccos Procédure pour calculer l’angle entre deux vecteurs algébriques 1. Écrire l’équation u • v = u v cos q. u • v u v 2. Calculer cos q = . 3. Déterminer l’angle entre les vecteurs à l’aide de la fonction arccosinus. 4. Interpréter le résultat selon le contexte.

12 Exemple 9.1.2 La molécule de méthane (CH4) est de forme tétraédrique. Elle est composée d’un atome de carbone et de quatre atomes d’hydro-gène. La figure ci-contre est la représentation d’une telle molécule dans R3. Calculer l’angle entre les liaisons chimiques. Posons : u = CHA = (–1; –1; 1) et v = CHB = (–1; 1; –1) S u • v u v = –1 3 1 – 1 – 1 3 3 cos q = On a donc q = arccos (–1/3) = 109,47°. L’angle entre les liaisons chimiques est de 109,47°. On peut faire le même calcul en choisissant les autres liaisons.

13 Angle entre deux droites dans R3
Pour calculer l’angle entre deux droites ∆1 et ∆2 dans R3, on doit déterminer des vecteurs directeurs à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Dans R3, deux droites coplanaires, peuvent être concourantes ou parallèles. Des droites non-coplanaires, sont appelées droites gauches. L’angle entre deux droites est défini même si les droites sont gauches, et c’est l’angle aigu formé par les vecteurs directeurs de ces droites. Remarque L’angle entre deux droites, concourantes ou gauches, est toujours compris entre 0° et 90°.

14 Exemple 9.1.4 Trouver l’angle entre les droites suivantes : x = s y = 2 – 2s z = –3 – 3s x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t ∆2 : ∆1 : Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–3; 7; –2) et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (6; –2; –3). S S D1  D2  • = –26 62 49 On a alors : cos q = q = arccos = 118,15° 62 49 –26 et : Puisque 90° < q < 180°, on a a = 180° – q = 180° – 118,15° = 61,85° et l’angle entre les droites est de 61,85°.

15 Angle entre deux droites dans R3
La procédure pour calculer l’angle entre deux droites de R3 est analogue à celle pour calculer l’angle entre deux droites de R2. Procédure pour trouver l’angle entre deux droites dans R3 1. Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites. 2. Utiliser le produit scalaire pour calculer l’angle entre ces vecteurs. 3. Déterminer l’angle entre les droites à partir de l’angle entre les vecteurs. Remarque a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° On peut ramener ces deux cas à un seul en prenant la valeur absolue du produit scalaire avant de calculer l’arccosinus. a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180°

16 Exercice ∆2 : ∆1 : S S Trouver l’angle entre les droites suivantes :
x = 3 – 4s y = 2 + 5s z = –5 – 2s x = 6 – 8t y = –4 + 2t z = 7 + 3t ∆2 : ∆1 : Le vecteur directeur de ∆1 est : D1 = (–8; 2; 3) et le vecteur directeur de ∆2 est : D2 = (–4; 5; –2). S S cos q = D1  D2  • = 46 77 45 On a alors : q = arccos = 38,60° 77 45 46 et : Puisque 0° < q < 90°, on a a = q = 38,60° et l’angle entre les droites est de 38,60°

17 Vecteur normal Définition Vecteur normal
Un vecteur normal à une droite de R2 est un vecteur perpen-diculaire à cette droite. Nous le notons N. Comme nous l’avons fait précédemment, nous emploierons parfois la lettre grecque ∆ (delta) pour désigner une droite. Rappelons que, pour trouver l’équation d’une droite, on doit décrire la condition à laquelle doit satisfaire un point pour être sur cette droite. Dans les situations que nous allons présenter, cette condition s’exprime à l’aide des vecteurs.

18 Équation d’une droite de R2
Un point et un vecteur normal sont donnés Considérons une droite dont on connaît un point R(x1; y1) et un vecteur normal N = (a; b). Pour qu’un point P(x ; y) soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. On doit donc avoir : N • RP = (a ; b) • (x – x1; y – y1) = 0, d’où : ax + by – ax1 – by1 = 0. Dans cette équation, –ax1 – by1 est une constante que l’on désigne par c. On a donc une équation de la forme ax + by + c = 0 Réciproquement, on peut prouver que ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite perpendiculaire au vecteur N = (a; b).

19 Équation cartésienne d’une droite de R2
Définition Équation cartésienne d’une droite de R2 Soit R(x1; y1), un point d’une droite ∆, et N = (a; b), un vecteur normal à cette droite. On appelle équation cartésienne de la droite l’équation : ax + by + c = 0, où c = –ax1 – by1. Remarque : Dans l’équation cartésienne de la droite, les coefficients des variables représentent un vecteur normal à la droite.

20 Exemple 9.1.5 Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point R(4; 5) et perpendiculaire au vecteur N = (2; 1). Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le vecteur RP est alors : RP = (x – 4; y – 5) Pour que P soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. Leur produit scalaire doit donc être nul. N • RP = (2; 1) • (x – 4; y – 5) = 0 S 2x – 8 + y – 5 = 0 2x + y – 13 = 0 L’équation cartésienne est donc : 2x + y = 13

21 Exercice Trouver une équation cartésienne de la droite passant par le point R(6; 3) et perpendiculaire au vecteur N = (1;3). Soit P(x ; y), un point quelconque de R2. Le vecteur RP est alors : RP = (x – 6; y – 3) Pour que P soit sur cette droite, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. Leur produit scalaire doit donc être nul. N • RP = (1; 3) • (x – 6; y – 3) = 0 S x – 6 + 3y – 9 = 0 x + 3y – 15 = 0 L’équation cartésienne est donc : x + 3y = 15

22 Exemple 9.1.6 Trouver une équation du plan passant par le point R(2; 5; 8) et perpendiculaire au vecteur N = (4; 3; 6). La condition à laquelle doit satisfaire un point P(x; y; z) quelconque pour être dans le plan est que le vecteur RP = (x – 2; y – 5; z – 8) soit perpendiculaire au vecteur N = (4; 3; 6). Autrement dit, pour que le point P(x; y; z) soit dans le plan, il faut que le produit scalaire des vecteurs soit nul. On a donc : N • RP = (4; 3; 6) • (x – 2; y – 5; z – 8) = 0 d’où : 4(x – 2) + 3(y – 5) + 6(z – 8) = 0 et l’équation du plan est : 4x + 3y + 6z – 71 = 0. S

23 Équation cartésienne d’un plan de R3
Un point et un vecteur normal sont donnés Considérons un plan dont on connaît un point R(x1; y1; z1) et un vecteur normal N = (a; b; c). Pour qu’un point P(x ; y; z) soit dans ce plan, il faut que le vecteur RP soit perpendiculaire au vecteur N. On doit donc avoir : N • RP = (a ; b; c) • (x – x1; y – y1 ; z – z1) = 0, d’où : ax + by + cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 et l’équation cartésienne est : ax + by + cz + d = 0, où d = – ax1 – by1 – cz1

24 Exercice Trouver une équation du plan passant par le point R(3; 6; 5) et perpendiculaire au vecteur N = (5; 2; 4). La condition à laquelle doit satisfaire un point P(x; y; z) quelconque pour être dans le plan est que le vecteur RP = (x – 3; y – 6; z – 5) soit perpendiculaire au vecteur N = (5; 2; 4). Autrement dit, pour que le point P(x; y; z) soit dans le plan, il faut que le produit scalaire des vecteurs soit nul. On a donc : N • RP = (5; 2; 4) • (x – 3; y – 6; z – 5) = 0 d’où : 5(x – 3) + 2(y – 6) + 4(z – 5) = 0 et l’équation du plan est : 5x + 2y + 4z – 47 = 0. S

25 Représentation graphique de plans de R3
Une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0 où a, b et c ne sont pas tous nuls, représente toujours un plan dans R3. Lorsque a ≠ 0, b ≠ 0 et c ≠ 0, le plan coupe les trois axes et les points d’intersection avec les axes sont : • axe des x (–d/a; 0; 0), • axe des y (0; –d/b; 0), • axe des z (0; 0; –d/c). On peut esquisser une représentation graphique d’un plan dont une équation cartésienne est donnée en déterminant ses points de rencontre avec les axes et, pour alléger la représentation, on ne donne parfois que le triangle déterminé par l’intersection avec les axes.

26 Exemple a Esquisser la représentation graphique du plan d’équation : ∏1 : 6x + 4y + 3z – 12 = 0 Donner un vecteur normal au plan. Pour déterminer le point de rencontre du plan ∏1 avec l’axe des x, on pose y = 0 et z = 0 dans l’équation : 6x + 4y + 3z – 12 = 0, ce qui donne : 6x – 12 = 0. D’où : x = 2. Le plan coupe donc l’axe des x au point (2; 0; 0). Il coupe l’axe des y au point (0; 3; 0) et l’axe des z au point (0; 0; 4). Ces trois points permettent de représenter une portion du plan. S Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (6; 4; 3).

27 Exemple b Esquisser la représentation graphique du plan d’équation : ∏2 : 3x + 2y – 6 = 0 Donner un vecteur normal au plan. En procédant comme en a, on trouve que le plan ∏2 coupe l’axe des x au point (2; 0; 0) et il coupe l’axe des y au point (0; 3; 0). Cependant, en posant x = 0 et y = 0, on obtient une impossibilité. Le plan ne coupe pas l’axe des z. La variable z est libre et le plan ∏2 est parallèle à l’axe des z. S Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (3; 2; 0).

28 Exemple c Esquisser la représentation graphique du plan d’équation : ∏3 : y – 3 = 0 Donner un vecteur normal au plan. Le plan ∏3 coupe l’axe des y au point (0; 3; 0) mais il ne coupe pas l’axe des x ni l’axe des z. Les variables x et z sont libres et le plan ∏3 est parallèle à l’axe des x et à l’axe des z. S Le vecteur normal tiré de l’équation cartésienne est N = (0; 1; 0).

29 Angle entre une droite et un plan dans R3
Pour calculer l’angle entre une droite ∆ et un plan ∏ dans R3, on doit déterminer un vecteur normal au plan et un vecteur directeur de la droite à partir des équations et calculer l’angle entre ceux-ci. Si l’angle q entre les vecteurs est aigu, l’angle a entre la droite et le plan est l’angle complémentaire de q, soit : a = 90° – q Si l’angle q entre les vecteurs est obtus, l’angle a entre la droite et le plan est donné par : a = q – 90°

30 Exemple 9.1.8 Trouver l’angle entre le plan ∏: 2x – 3y + 4z – 5 = 0 et la droite ∆ : x = 2 – 3t y = –5 + 7t z = –3 – 2t Le vecteur normal au plan est : N = (2; –3; 4) et le vecteur directeur de la droite est : D = (–3; 7; –2). S S cos q = N  D  • = –35 29 62 On a alors : q = arccos = 145,63° 29 62 –35 et : Puisque 90° < q < 180°, on a a = q – 90° = 145,63° – 90° = 55,63° et l’angle entre la droite et le plan est de 55,63°.

31 Exercice ∆ : S Trouver l’angle entre le plan ∏: 3x – 5y + 2z – 12 = 0
et la droite ∆ : x = t y = –2 – 3t z = 7 + 4t Le vecteur normal au plan est : N = (3; –5; 2) et le vecteur directeur de la droite est : D = (5; –3; 4). S N  D  38 50 cos q = • = On a alors : q = arccos = 29,33° 38 50 et : Puisque 0° < q < 90°, on a a = 90° – q = 90° – 29,33°= 60,66° et l’angle entre la droite et le plan est de 60,66°.

32 Angle entre deux plans dans R3
Pour calculer l’angle entre deux plans dans R3, on doit déterminer des vecteurs normaux à partir des équations et calculer l’angle q entre ceux-ci. L’angle entre deux plans est toujours compris entre 0° et 90° alors que l’angle entre les vecteurs peut être aigu ou obtus. Si q est l’angle entre les vecteurs normaux, l’angle a entre les plans est donné par : a = q, si 0° ≤ q ≤ 90° a = 180° – q, si 90° ≤ q ≤ 180° Pour obtenir directement l’angle cherché, on prend la valeur absolue avant de calculer l’arccosinus.

33 Exemple 9.1.9 S S Trouver l’angle entre les plans :
∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 ∏2 : 5x – 3y + 4z – 22 = 0 S S Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables dans les équations. On a donc : N1 = (1; 2; –3) et N2 = (5; –3; 4) cos q = N1 N2 • = –13 14 50 D’où : q = arccos = 119,43° 14 50 –13 et : Puisque q > 90°, on a a = 180° – q = 60,57° et l’angle entre les plans est de 60,57°.

34 Exercice S S Trouver l’angle entre les plans :
∏1 : 2x – 3y + 4z – 12 = 0 ∏2 : 3x – 4y + 5z + 28 = 0 S S Les vecteurs normaux sont donnés par les coefficients des variables dans les équations. On a donc : N1 = (2; –3; 4) et N2 = (3; –4; 5) cos q = N1 N2 • = 38 29 50 D’où : q = arccos = 3,69° 29 50 38 et : Puisque q < 90°, on a a = q = 3,69° et l’angle entre les plans est de 3,69°.

35 Distances dans R3 Distance d’un point Q à un plan ∏ dont on connaît un vecteur normal. La distance d’un point à un plan est la longueur de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan. P On peut trouver cette longueur de la façon suivante. On détermine un point R du plan ainsi que le vecteur RQ. La distance cherchée est alors la longueur de la projection du vecteur RQ sur le vecteur normal N. Il s’agit de déterminer la longueur du segment RP où P est le pied de la perpendiculaire abaissée de Q sur la droite support du vecteur normal. Pour y parvenir, il faut déterminer l’angle entre les vecteurs RQ et N.

36 Exemple S Trouver la distance du point Q(5; –6; 7) au plan  ∏ : 5x – 3y + z – 16 = 0. Le vecteur normal est N  = (5; –3; 1). Déterminons un point du plan. Posons, par exemple, x = 2 et y = –1 dans l’équation, ce qui donne z = 3. On trouve alors : RQ = OQ – OR = (5; –6; 7) – (2; –1; 3) = (3; –5; 4). D’où : q = arccos = 35,63° 35 50 34 Puisque 0° ≤ q ≤ 90°, l’angle entre les droites support est a = 35,63°. La distance cherchée est la longueur du côté adjacent à l’angle entre les vecteurs. On a donc : . d (Q, ∏) = RQ cos 35,63° ≈ 5,75 La distance est d’environ 5,75 unités.

37 Exercice S Trouver la distance entre les plans :
∏1 : x + 2y – 3z + 4 = 0 , ∏2 : x + 2y – 3z – 22 = 0 S Le vecteur normal est N  = (1; 2; –3). Déterminons un point sur chacun des plans. Supposons que notre choix est Q(3; –2; 1) et R(10; 3; –2). On trouve alors : QR = OR – OQ = (10; 3; –2) – (3; –2; 1) = (7; 5; –3). D’où : q = arccos = 40,29° 14 83 26 Puisque 0° ≤ q ≤ 90°, l’angle entre les droites support est a = 40,29°. La distance cherchée est la longueur du côté adjacent à l’angle entre les vecteurs. On a donc : Remarque : . Pour simplifier les calculs, on aurait pu choisir le point (–4; 0; 0) sur ∏1 et le point (22; 0; 0) sur ∏2. d (Q, ∏) = RQ cos 40,29° ≈ 6,95 La distance est d’environ 6,95 unités.

38 Produit scalaire et travail
Le travail (T) effectué par une force qui déplace un objet dépend : • de la longueur du déplacement (d) de l’objet; • de la composante de la force (F) dans le sens du déplacement. T = d F cos q Le travail est donc le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement. L’unité de la force est le newton (N) et le déplacement est en mètres (m). Le travail est donné en newtons-mètres (N·m) ou en joules (J).

39 Exemple On veut monter le bloc illustré ci-contre en le tirant avec une force de 350 N faisant un angle de 52° avec l’horizontale. L’inclinaison du plan est de 23°. Représentons la situation dans un système d’axes. Le vecteur déplacement fait un angle de 23° avec l’horizontale et est représenté par le vecteur algébrique : d = (10 cot 23°; 10) Le vecteur algébrique décrivant la force est : En considérant que la longueur du bloc est négligeable, calculer le travail effectué pour monter le bloc jusqu’en haut du plan incliné. F = (350 cos 52°; 350 sin 52) Le travail est donné par le produit scalaire de ces deux vecteurs, soit : S T = d • F = (10 cot 23°; 10)  • (350 cos 52°; 350 sin 52°) = 3500cot 23 cos 52° +  3500 sin 52° = 7834,46… N·m ≈ 7,83 kJ. Le travail effectué est d’environ 7,83 kJ.

40 Conclusion Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire qui est le produit des modules des vecteurs et du cosinus de l’angle entre ceux-ci Le produit scalaire de deux vecteurs algébriques de R2 ou de R3 peut être obtenu directement à partir des composantes en effectuant la somme des produits des composantes de même rang. En effet, dans une base orthonormée, les composantes véhiculent l’information sur la direction, le sens et le module des vecteurs, donc sur l’angle entre ceux-ci. On utilise le produit scalaire pour déterminer l’angle entre deux vecteurs et la projection orthogonale d’un vecteur. D’autres applications seront présentées en géométrie vectorielle. Le travail effectué par une force pour déplacer un objet est le produit scalaire du vecteur déplacement et du vecteur force. La représentation par des vecteurs algébriques simplifie le traitement de l’information pour calculer le travail.

41 Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.1, p. 253 à 266. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.2, p. 267 et 269.