Modélisation avec des solides facette arête sommet Solides paramétriques.

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1 Modélisation avec des solides facette arête sommet Solides paramétriques

2 2 Modélisation avec des solides Pour représenter un solide, on peut opter pour une approche basée sur des surfaces décrivant l’enveloppe de l’objet. Toutefois, celles-ci sont limitées car elles ne permettent pas de représenter l’intérieur du solide. On assume ainsi que les propriétés physiques sont les mêmes à l’intérieur de l’objet. Exemple : Maillage triangulaire, ensemble de surfaces bicubiques, etc. Examinons brièvement différentes familles de solides paramétriques. Ces techniques sont habituellement suffisantes.

3 3 Volumes de Bézier C'est un volume de la forme S(u, v, w) =  i=0, 1,..., m  j=0, 1,..., n  k=0, 1,..., o P ijk f i,m (u) f j,n (v) f k,o (w) u, v, w  [0,1] où {P ijk } est une grille de (m + 1) x (n + 1) x (o + 1) points de contrôle, f i,m (u) est une distribution binomiale de paramètres u et m, f j,n (v) est une distribution binomiale de paramètres v et n et f k,o (w) est une distribution binomiale de paramètres w et o. Note : 3(m + 1) x (n + 1) x (o + 1) degrés de liberté. 3 (3) (2) (2) = 36 degrés de liberté.

4 4 Volumes tricubiques Note : 3 (4 x 4 x 4) = 192 degrés de liberté. 8 sommets, 8 vecteurs tangents dans la direction u, 8 vecteurs tangents dans la direction v, 8 vecteurs tangents dans la direction w, 8 vecteurs de torsion par rapport à uv, 8 vecteurs de torsion par rapport à uw, 8 vecteurs de torsion par rapport à vw, 8 vecteurs de dérivées partielles par rapport à uvw.

5 5 Volumes tricubiques facette arête sommet Solides paramétriques p v 001 p u 001 p w 001 Possède des propriétés équivalentes aux surfaces bicubiques : Continuité de 2 volumes tricubiques avec une facette commune Subdivision exacte de volumes Subdivision exacte de facettes etc.

6 6 Interpolation de 2 surfaces Soient S 1 (u, v) et S 2 (u, v) 2 surfaces quelconques, p(u, v, w) = w S 1 (u, v) + (1 – w) S 2 (u, v),u, v, w  [0, 1]. Volumes de balayage Déplacement d’une surface S(u, v) quelconque le long d'une courbe 3D C(w) en faisant coïncider chaque point de la courbe avec un point particulier de la surface, disons S(u, v) : S(u, v) - S(u, v) + C(w), u, v, w  [0, 1] Volumes trilinéaires Un volume trilinéaire est construit à partir des 8 sommets du cube unité dans l'espace paramétrique c'est-à-dire, P 000, P 010, P 100, P 110, P 001, P 011, P 101, P 111. Chaque point sur le solide est obtenu par interpolation linéaire entre 2 points sur des facettes opposées: p(u, v, w) = (1-w) {(1-u) (1-v) P 000 + (1-u)v P 010 + u(1-v) P 100 + u v P 110 } w {(1-u) (1-v) P 000 + (1-u)v P 010 + u(1-v) P 100 + u v P 110 } u, v, w  [0,1]. Note : Chaque facette est une surface bilinéaire.

7 7 Interpolation de 3 courbes Soient C 1 (w), C 2 (w) et C 3 (w) 3 courbes quelconques, p(u, v, w) = u C 1 (w) + v C 2 (w) + (1 – u – v) C 3 (w),u, v, w  [0, 1]. Soient C 1 (w), C 2 (w) et C 3 (w) 3 courbes quelconques, pour chaque valeur de w  [0, 1], le volume représente la surface d’un cercle passant par C 1 (w), C 2 (w) et C 3 (w). Utilisation de courbes de contrôle Soient C 0 (w), C 1 (w), …, C m-1 (w) m courbes quelconques, pour chaque valeur de w  [0, 1], le volume représente une surface définie par les points de contrôle C 0 (w), C 1 (w), …, C m-1 (w). etc.

8 8 Conclusion À cette étape, nous en sommes restés à la construction de primitives; celles-ci sont souvent utilisées en modélisation pour construire des solides plus complexes. Dans un chapitre ultérieur, nous considérerons des techniques de modélisation plus avancées comme, par exemple, d’autres modes de représentation des solides, des techniques d’assemblages et des opérations ensemblistes sur les objets. Une extension des résultats obtenus pour les surfaces de Bézier ou les surfaces bicubiques aux volumes correspondants est facile à obtenir. Michael E. Mortenson, Geometric Modeling. Wiley, 1997, 523p.