Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Exemple: Prévisions dans un modèle AR(1) Version: 18 décembre 2008.

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1 Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Exemple: Prévisions dans un modèle AR(1) Version: 18 décembre 2008

2 STT-3220; Méthodes de prévision 2 Prévisions dans un modèle AR(1)  Avec n données, on cherche à prévoir Z n+l.  Le modèle est.  On rappelle que:  Donc:

3 STT-3220; Méthodes de prévision 3 Prévisions dans un modèle AR(1); Rappel:  On rappelle que:  Ainsi:  On obtient les prévisions: – l = 1: – l = 2: – En général: – Remarque: Si alors

4 STT-3220; Méthodes de prévision 4 Prévisions dans un modèle AR(1), cas où  Dans ce cas le modèle est:  Un raisonnement similaire nous donne:  Ceci implique que:

5 STT-3220; Méthodes de prévision 5 Intervalle de prévision de niveau 95%  En supposant la normalité des erreurs, un intervalle de prévision de niveau 95% pour Z n+l est donné par:

6 STT-3220; Méthodes de prévision 6 Illustration, intervalle de prévision dans un AR(1)  Dans un AR(1), on a déjà vu que.  De plus,  Donc:

7 STT-3220; Méthodes de prévision 7 Exemple:  Supposons que  = 0.6;  = 9 et que.  On dispose d’un échantillon de taille n = 100.  On dispose des données:  On demande de prévoir Z 101, Z 102, Z 103 et Z 104 et on veut aussi les limites de prévision.

8 STT-3220; Méthodes de prévision 8 Exemple: Calcul des prévisions  On rappelle que l’on a obtenu comme équation de prévision:  On a donc:

9 STT-3220; Méthodes de prévision 9 Exemple: Calcul des intervalles de prévision  On a que et  On trouve:

10 STT-3220; Méthodes de prévision 10 Exemple: mise à jour des prévisions  Supposons que l’observation Z 101 devienne disponible et que Z 101 = 8.8.  On rappelle que:  On trouve:

11 STT-3220; Méthodes de prévision 11 Estimation par moindres carrés conditionnels dans un AR(1)  Supposons que.  Étant donné, on veut minimiser:  On résout:

12 STT-3220; Méthodes de prévision 12 Estimation par moindres carrés conditionnels (suite)  Supposons maintenant que.  Dans un tel cas, on doit minimiser:  On note que l’on doit minimiser cette expression en  ainsi qu’en .