2B année 2012 - 2013. A=0, 2012 2012 2012... 2012 Ce nombre contient 2012 fois 4 chiffres après la virgule. C’est-à-dire 8048 chiffres dans sa partie.

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1 2B année 2012 - 2013

2 A=0, 2012 2012 2012... 2012 Ce nombre contient 2012 fois 4 chiffres après la virgule. C’est-à-dire 8048 chiffres dans sa partie décimale. 1.

3 B=2012, 2012 2012 2012... 2012 Ce nombre contient 2013 fois 4 chiffres après la virgule. C’est-à-dire 8052 chiffres dans sa partie décimale.

4 0, 2012 2012... 2012 + 2012, 2012 2012... 2012 2012 En les additionnant on constate qu’ en posant l’addition il y a 4 chiffres de plus pour B 2012, 4024 4024... 4024 2012 8048 chiffres après la virgule 2.

5 A= 0, 2012 2012 2012... 2012 A= 2012 2012 2012... 2012 x 10 – 8048 A= 2012 2012 2012... 2012 10 8048 NB : au numérateur il y a 8048 chiffres 3.

6 B= 2012, 2012 2012 2012... 2012 B= 2012 2012 2012... 2012 x 10 – 8052 B= 2012 2012 2012... 2012 10 8052 NB : au numérateur il y a 8056 chiffres En effet 8052 chiffres constituaient la partie décimale de B et on avait 4 chiffres Pour la partie entière.

7 10000A − C = B 10 4 x A − C = B 2012, 2012 … 2012 – C = 2012, 2012 … 2012 2012, 2012 … 2012 – 2012, 2012 … 2012 = C 8044 chiffres après la virgule8052 chiffres après la virgule Posons la soustraction ! 4.

8 2012, 2012 … 2012 - 2012, 2012... 2012 2012 2012 il y a donc 8044 zéros dans ce nombre. Et par conséquent, 8052 chiffres en tout dans la partie décimale. -0, 0000 … 0000 2012 2012 8044 chiffres après la virgule 8052 chiffres après la virgule

9 C = -0, 0000… 00002012 2012 C = 2012 2012 x 10 - 8052 C = 2,012 2012 x10 8 x 10 - 8052 C = 2,012 2012 x10 - 8044

10 Peut-on calculer le nombre A × B et donner un résultat simple ? 2012 2012 = 2012 × 10001 2012 2012 2012 = 2012 × 100010001 2012 2012 2012 2012 = 2012 × 1000100010001 Donc A = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8048 De même 8041 chiffres B = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8052 8049 chiffres 5.

11 10001 × 1000100010001 = 1000 2000 2000 2000 1 100010001 × 10001000100010001=1000 2000 3000 3000 3000 20001 100010001000 × 100010001000100010001= 1000 2000 3000 4000 4000 4000 3000 20001

12 1000200030004000500060007000800090010001100120013001400 1500160017001800190020002100220023002400250026002700280 0290030003100320033003400350036003700380039004000410042 0043004400450046004700480049005000510052005300540055005 6005700580059006000610062006300640065006600670068006900 7000710072007300740075007600770078007900800081008200830 0840085008600870088008900900091009200930094009500960097 0098009901000100010000990098009700960095009400930092009 1009000890088008700860085008400830082008100800079007800 7700760075007400730072007100700069006800670066006500640 0630062006100600059005800570056005500540053005200510050 0049004800470046004500440043004200410040003900380037003 6003500340033003200310030002900280027002600250024002300 2200210020001900180017001600150014001300120011001000090 0080007000600050004000300020001 100010001...1 0001 × 100010001...1 0001 = ???? avec 10001 cent fois dans le 1 er facteur

13 On peut donc deviner le produit nombres de cette forme qui composent A et B : 1 000 2000 3000… 2010 2011 2012 2012 2012 2011 2010 … 0003 0002 0001

14 A × B = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8048 × 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8052 A × B = 2012 ² × 1 000 2000 3000… 2012 2012 2012 … 0003 0002 0001 × 10 – 16100 Ce n’est pas une expression simple pour autant….

15 D=0,2012 2012 … 10000D = a + D 10000D= 2012 + D Et a = 2012 D’où 9999D=2012 D= 2012 / 9999 1. 2.

16 E=2013, 2013 2013… Comme précédemment 10000E = a + E 10000E = 2013000 + E D’où 9999E=2013000 E= 2013000 / 9999 E= 61000 / 303 3.