Cours 4-b Méthode des éléments finis 2D

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1 Cours 4-b Méthode des éléments finis 2D
Notion d’élément de référence Notion de patch-test Notion de convergence Application à la mécanique des fluides : calcul d’un écoulement plan 2D par la fonction de Courant Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

2 Rappels La forme intégrale associée à l’équation de la chaleur est décomposée : Sur des éléments triangulaires Sur des éléments barre pour Neumann et Cauchy Où l’intégrale élémentaire pour un élément T3 s’écrit : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

3 Constats Il y a autant de fonctions Ni à calculer que d’éléments T3
Impossibilité de généraliser le calcul du vecteur sollicitation avec les Ni calculées sur l’élément réel (difficulté de définir les bornes d’intégration) Idée : utiliser un élément de référence unique avec des bornes d’intégrations simples Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

4 Illustration de l’élément de référence
Coordonnées (réf°) Coordonnées réelles Elément de référence unique Eléments « réels » Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

5 Approche généralisable à d’autres topologies
Elément barre : Elément quadrilatère : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

6 Changement de variables
Le passage d’un élément « réel » vers un élément de « référence » implique un changement de variables pour les calculs d’intégrations. De manière générale, on a : Les bornes d’intégrations sont : h 1-h Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

7 Définition du « jacobien »
Définition : |J | est appelé le jacobien de la transformation Il correspond au déterminant de la matrice jacobienne [J ]. La matrice jacobienne est définie par la relation mathématique suivante : Cette matrice traduit les relations entre les dérivées partielles en espace entre (x,y) et (x,h). Pour la calculer, il est alors nécessaire de disposer d’une approximation pour les variables x et y ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

8 Calcul des Ni Le calcul des fonctions d’approximation consiste à :
Choisir une forme d’approximation pour les Ni Poser les systèmes d’équations associés Résoudre ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

9 Calcul de la matrice jacobienne [J ]
Rappel : la matrice jacobienne est définie par : Les variables x et y sont approximées au sens des éléments finis : Soit : On définit aussi : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

10 Calcul des intégrales élémentaires
Le changement de variables conduit à : Les termes de gradient se discrétisent par : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

11 Suite La forme élémentaire s’écrit donc : Soit : Avec :
Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

12 Notion de convergence Illustration autour d’un problème de mécanique :
Nombre d’inconnues Illustration autour d’un problème de mécanique : Tracé de la courbe de convergence Objectif : Rechercher l’indépendance de la solution par rapport au maillage Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

13 Application T3 : écoulement plan 2D
Application valable dès que le fluide remplit les conditions suivantes : Incompressible : Eau Air si Mach < 0.3 (vitesse < km/h) Non visqueux : aucun fluide n’est visqueux mais hypothèse réaliste si le domaine est grand et que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe précisément au voisinage des parois. Stationnaire : constant en tout point du domaine dans le temps. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

14 Modèle mathématique Un écoulement incompressible se traduit par :
x y Frontières Un écoulement incompressible se traduit par : où u et v sont les composantes de la vitesse du fluide Un écoulement non visqueux est dit irrotationnel, soit : On introduit la fonction de Courant définie par : … dans eq(2) pour aboutir à : Cette équation est identique à l’équation de la chaleur en 2D avec k =1 et en l’absence de terme de production ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

15 Interprétation Une différence de la fonction j entre deux points A et B, traduit un débit perpendiculaire entre ces deux points : De manière générale, on a : A B A B A B H Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

16 Condition de frontière imperméable
Une frontière « imperméable » est donc définie par : H Il en résulte que pour tracer les lignes de courant (= trajectoires en stationnaire), il suffit de tracer les lignes d’isovaleurs de j. Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

17 Exemples d’application (mini-projet)
Calcul de l’écoulement autour d’un profil porteur Calcul du champ de vitesse stationnaire dans un lac Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

18 Mise en œuvre informatique
Génération d’un maillage composé de T3 Préparation du fichier de données : Aucune propriété physique particulière : k = 1 Annulation du terme source : f = 0 Identification des nœuds associés aux conditions de Dirichlet : kcond, vcond Assemblage du système et résolution : script Matlab « blin.m » Affichage des iso-valeurs : script Matlab « isoval.m » (Prochaine séance TP sous Matlab) Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC