Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Présentation au sujet: "Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques"— Transcription de la présentation:

1 Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°3 Dérivation et solutions des équations des vibrations

2 Je vous souhaite la bienvenue à cette troisième leçon du cours de vibrations linéaires et ondes mécaniques . Cette leçon intitulée «Dérivation et solution des équations des vibrations ». Pour exprimer les lois de la mécanique, il y’a plusieurs formalismes tels que les formalismes de Newton, de d’Alembert, d’Hamilton et le formalisme de Lagrange. Ce dernier formalisme est un outil particulièrement adapté et très puissant pour mettre sous équations les systèmes vibratoires les plus complexes. Ce formalisme est basé sur le principe d’Hamilton ou principe de moindre action. Si on prend une particule allant entre les temps t1 et t2 d’un point A à un point B. Cette particule a une trajectoire. Nous avons besoin d’une équation différentielle qui nous donne la position de la particule en fonction du temps entre les points A et B. Hamilton a défini un scalaire S appelé action qui est l’intégrale entre les instants initiaux et finaux de déplacement de la particule, cette intégrale est prise sur une quantité L qu’on appelle le Lagrangien et qui n’est autre que la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle pour une masse et un ressort par exemple :

3 où (L=T-V) dépend de la trajectoire x(t) et de la vitesse
où (L=T-V) dépend de la trajectoire x(t) et de la vitesse . Le principe de moindre action dit que la différentielle de l’action S c’est-à-dire S est égale à zéro. Dans ce cours, nous allons d’une manière très simple dériver les équations de Lagrange à partir du principe de moindre action. De manière à ce que vous ne sentiez pas que ces équations de Lagrange sont parachutées. Il existe des démonstrations laborieuses et rigoureuses de ces équations de Lagrange, mais ce n’est pas le but de ce cous. Une fois ces équations de Lagrange démontrées, nous les avons d’abords appliqués, pour retrouver la deuxième loi de Newton, nous les avons ensuite appliquées à des systèmes mécaniques simples et libres a un degrés de liberté, libres, amortis et forcé, puis à un système à deux degrés de liberté, juste pour trouver les équations différentielles du mouvement. Ces exemples montrent que toutes les équations différentielles des vibrations linéaires sont de la forme :

4 qui sont des équation linéaires du deuxième degré à coefficients constants où m est une masse équivalente du système,  est un coefficient d’amortissement équivalent et k est une constante de rappel équivalente. F dans le deuxième membre est une force extérieure appliquée au système. Vous avez appris en première année comment résoudre ce genre d’équation différentielle. Nous allons reprendre cela pour trouver les solutions par ce qu’on appelle la formation caractéristique. Ces solutions nous serviront, devront être trouvées dans ce cours pour tous les cas qui peuvent se poser c’est-à-dire : Les systèmes libres non amortis Les systèmes libres amortis Les systèmes forcés non amortis et amortis avec des forces extérieurs qui peuvent être sinusoïdales, périodiques non sinusoïdales, des forces quelconques qui en pratique sont des impulsions ou des chocs ayant une forme quelconque. Ce genre d’analyse est important pour résoudre des problèmes pratiques tels que la protection contre les vibrations dans les appareils et machines, la résistance des bâtis aux tremblements de terre et bien d’autres applications que nous verrons dans les prochains cours.

5 Deuxième loi de newton Pour les forces dérivant d’un potentiel :
Temps final Temps initial Pour les forces dérivant d’un potentiel : Imaginez que l’on connaisse la position d’une particule à deux moments différents. Quelle est la trajectoire qui a été prise par cette particule entre ces deux points. Nous avons besoin d’une équation différentielle donnant la position de la particule en fonction du temps. Cette équation existe bien sûre et est appelée la deuxième loi de Newton qui est pour une direction x (pour 3 directions, on a juste trois équations). où la force F dérive du potentiel V. En générale pour une force qui dérive d’un potentiel, on a Soit en coordonnées cartésiennes : Exemple : poids d’un corps : Force de rappel d’un ressort : Nous allons retrouver cette deuxième loi de Newton à partir d’une analyse plus profonde, c’est-à-dire à partir d’un principe de la nature qui est le principe de moindre action Exemple : Poids d’un corps : Force de rappel d’un ressort :

6 Le principe de moindre action
Temps final Temps initial Le principe est le suivant : nous allons dessiner toutes les trajectoires possibles entre la position initiale et la position finale de la particule. A chaque point d’une trajectoire, la particule aura une position et une vitesse Lagrange a choisi une fonction L appelée le Lagrangien qui fait correspondre chaque point de la trajectoire de la particule à un scalaire (mapping). Pour une particule soumise à un champs de forces conservatrices, c’est-à-dire des forces dérivant d’un potentiel, le lagrangien, ce scalaire se trouve être l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle L=T-V. Nous allons maintenant définir l’action qui fait correspondre (mapping) chaque trajectoire à un nombre réel. Cette action est l’intégrale entre le temps initial et le temps final L’action fait correspondre chaque trajectoire à un nombre réel différent et la trajectoire avec une action minimale ou une action maximale est la trajectoire qui est actuellement prise par la particule. Donc pour la trajectoire en question, on va prendre la différentielle de l’action égale à zéro S=0. Puisque quand la différentielle d’une fonction est égale à zéro, alors la fonction est à un minimum local ou à un maximum. C’est ça le principe de moindre action. On va supposer que le Lagrangien dépend seulement de la position et de la vitesse de la particule et ne dépend pas explicitement du temps. L’équation résultante que l’on obtient en écrivant que la variation de l’action est égale à zéro est appelée l’équation d’Euler-Lagrange ou équation de Lagrange. Pour trouver ensuite la deuxième loi de Newton, on remplace juste le Lagrangien par (T-V) dans l’expression d’Euler-Lagrange que nous allons trouver.

7 Equation de Lagrange (1)
Nous allons maintenant retrouver l’équation d’Euler Lagrange. On écrit le principe de moindre action : ce qui donne : L’action mappe (fait correspondre) des trajectoires à des nombres réels. Mais les trajectoires sont des fonctions car elles mappent le temps t à une position et une vitesse. Donc l’action mappe ou fait correspondre des fonctions à des nombres réels. Les fonctions qui mappent des fonctions à des nombres réels sont appelés des fonctionnelles. Un petit changement dans une fonctionnelle est dénoté par un petit delta () pas un d comme pour les fonctions ordinaires. S=0 L’opérateur de variation peut être mis à l’intérieur du signe intégral : Le Lagrangien ne dépends que de la position et de la vitesse de la particule et pas du temps. Donc la variation dans le Lagrangien peut être écrite comme un terme du à la variation dans la position plus un terme dû à la variation dans la vitesse : Il faut noter que nous sommes en train d’écrire un petit changement dans la position et dans la vitesse avec un delta  et pas un d. ça c’est pour nous rappeler que nous sommes en train de faire varier les trajectoires x(t) et les vitesses puisqu’elles sont les variables indépendantes de l’action.

8 Equations de Lagrange (2)
Nous montrerons à la fin de cette démonstration que : C’est-à-dire que la variation dans la vitesse est égale à la dérivée par rapport au temps de cette variation dans la position. On peut donc écrire : Nous montrerons aussi après cette démonstration que nous pouvons intégrer le deuxième terme par partie pour faire bouger la dérivée par rapport au temps, et on aura par la même l’introduction d’un signe moins(-) : La seule manière pour que cette intégrale sont nulle est de forcer de terme entre parenthèses à être égal à zéro, parce que la variation dans la positions est arbitraire. On trouve l’équation : que l’on réécrit sous la forme Ceci est l’équation de Lagrange.

9 Deuxième loi de Newton à partir de l’équation de Lagrange
Mettre : Dans : On obtient : Si on remplace le lagrangien par sa valeur, c’est-à-dire l’énergie cinétique moins l’énergie potentille dans l’équation d’Euler-Lagrange que nous venons de trouver, on obtient la deuxième loi de Newton.

10 Démonstration de Maintenant on doit prouver que la variation de vitesse est la dérivée par rapport au temps de la variation de la position. On écrit la variation de comme la variation de la dérivée par rapport au temps de x. on suppose que la variation par rapport au temps de x dépend d’un paramètre a. Alors, la variation de la dérivée par rapport au temps de x peut être écrite comme la dérivée par rapport à a fois la dérivée par rapport au temps de x fois la variation en a. on combine les dérivées, on change les ordres de différentiation, on sort la dérivée par rapport au temps. On note que la dérivée par rapport à a de x fois la variation en a est la variation en x; et on a prouvé que la variation de vitesse est la dérivée par rapport au temps de la variation en x.

11 Démonstration de : Nous allons maintenant explicitement intégrer par parties le deuxième terme dans la variation de l’action. Nous savons dans ce cas que l’intégrale de udv est égale à uv moins l’intégrale de vdu. Nous allons prendre u égale à la dérivée de L par rapport à , dv égale à la dérivée par rapport au temps de , égal à , du égal la dérivée par rapport au temps de la dérivée de L par rapport à On met ces expressions dans la formule à intégrer par parties. Le premier terme sur la droite est zéro parce que la variation dans la position est égale à zéro au point initial et au point final. C’est-à-dire que toutes les trajectoires ont la même position initiale et finale

12 Ecriture pour N degrés de liberté
En général : Dans le cas d’un système forcé et amorti où FM(t)= Forces motrices, FR(t)=forces résistantes En général, Il faut noter que les équations d’Euler-Lagrange sont valides pour n’importe quel système à N degrés de liberté où chaque degré de liberté et décrit par la coordonnée qi. Si le Lagrangien peut être écrit en termes de ces coordonnées généralisées, alors les équations du mouvement pour le système sont trouvés en remplaçant le Lagrangien, c’est à dire L=T-V dans les équations générales d’Euler-Lagrange. Nous n’avons jusqu’ici considéré que les forces dérivant d’un potentiel. En général, il peut y’avoir des forces extérieures au système, on écrit : Où les forces Fi sont de deux types : Les forces FiM fournissent de l’énergie au système, elles fournissent un travail moteur et sont à l’origine des vibration forcées. Les forces FiR dissipent de l’énergie, elles fournissent un travail résistant. C’est le cas des forces de frottement en mécanique. Dans le cas des forces de frottement proportionnel à la vitesse, on introduit souvent la fonction de dissipation Di :

13 Liaisons, degrés de liberté et coordonnées généralisées
On appelle liaisons, les contraintes imposées au mouvement d’un système Le nombre de degrés de liberté est le nombre total de coordonnées diminué du nombre de liaisons. Les coordonnées généralisées sont les coordonnées nécessaires pour décrire le système. Exemple : pour un pendule simple en mouvement dans un plan : - z = constante, x²+y²=ℓ² donc deux contraintes. - nombre de degrés total (x, y, z)=3, nombre de degrés de liberté =3-2=1 - Coordonnée généralisée  Maintenant que nous avons écrit l’équation de Lagrange pouvant nous donner les N équations différentielles du mouvement d’un système à N degrés de liberté, il est utile de savoir lorsque nous sommes en présence d’un problème, avec combien de coordonnées nous pouvons le traiter, et quels sont ces coordonnées. Pour cela, il faut d’abord connaître les liaisons du système. On appelle liaison les contraintes imposées au mouvement. Par exemple, si la masse se déplace dans un plan, nous avons une liaison, donc le mouvement est à deux degrés de liberté au lieu de trois. Le nombre de degrés de liberté est donc le nombre total de coordonnées diminué du nombre de liaisons. Les coordonnées généralisées sont les coordonnées nécessaires pour décrire le système. On peut prendre l’exemple d’un pendule simple en mouvement dans un plan. Nous avons alors deux liaisons : z= constante et x²+y²=ℓ². C’est donc un mouvement à un degré de liberté que nous pouvons exprimer à l’aide de la coordonnée x ou y. La coordonnée généralisée  est la mieux indiquée.

14 Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté
Donner dans chacun des cas suivants, les liaisons, le nombre de degrés de liberté et les coordonnées que et les coordonnées que l’on peut utiliser pour définir le système. Nous avons vu que les liaisons étaient les contraintes imposées au mouvement d’un système, que le nombre de degrés de liberté est le nombre total de coordonnées diminué du nombre de liaisons et que les coordonnées généralisées sont les coordonnées nécessaires pour décrire le système. Dans cet exercice, on nous demande de donner les liaisons, les degrés de liberté et les coordonnées généralisées dans les 2 cas des figures : (a) deux particules séparées par une distance d constante, (b) une particule se déplaçant sur un cercle. Deux particules séparées par une distance d constante Particule se déplaçant sur un cercle

15 Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté (2)
Coordonnées généralisées (a) (xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)² = d² N=6-1=5 xB, xA, yB, yA, zB, zA (b) z=cste (x-a)²+(y-b)²=R² N=3-2=1  x=a + R cos  y=b + R sin  (a) Nous avons une liaison : (xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)² = d² pour qui est des degrés de liberté, il y a 6 coordonnées (xA,, yA, zA, xB, yB, zB) et une liaison donc N=6-1=5 degrés de liberté. Les coordonnées pour définir le système sont 5 des 6 coordonnées possibles, (xB, xA, yB, yA, zA, par exemple). (b) Pour le premier système, nous avons deux liaisons car le problème est plan (z=constante) et les coordonnées sont reliées par l’équation (x-a)²+(y-b)²=R² Pour ce qui est des degrés de liberté, c’est le nombre de coordonnées possibles moins le nombre de liaisons : N=3-2=1 degré de liberté. La coordonnée pour définir le système est l’angle  qui est reliée à x et y par : x=a + R cos  ; y=b+R sin 

16 Exemple 2 : Équation de Lagrange de Systèmes Simples à un Degré de Liberté
Énoncé : On considère les quatre systèmes à un degré de liberté représentés sur les figures ci après. On se propose d’étudier les mouvements de faible amplitude. Déterminer pour chaque système : l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, le Lagrangien, l’équation différentielle du mouvement, la période T des petits oscillations. Pour nous entraîner à utiliser l’équation de Lagrange, nous allons commencer par trouver les équations différentielles du mouvement des systèmes les plus simples. Dans cet exemple, on considère quatre systèmes à un degrés de liberté, pour lesquels on demande l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, le Lagrangien, l’équation différentielle du mouvement et la période T des petites oscillations. Système n° Système n° Système n° Système n°4

17 Exemple 2 : Solution (1) Système n°1 : Système n°1
Pour ce qui concerne le système n°1 : Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent : Ce qui donne le Lagrangien L’application de l’équation de Lagrange donne Ce qui peut se mettre sous la forme avec

18 Exemple 2 : Solution (2) Système n° 2 : Pour le pendule, nous avons :
Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent : Ce qui donne le Lagrangien L’application de l’équation de Lagrange donne Ce qui peut se mettre sous la forme avec Système n° 2

19 Exemple 2 : Solution (3) Système n° 3 :
Pour ce qui est du disque de torsion : Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent : Ce qui donne le Lagrangien L’application de l’équation de Lagrange donne Ce qui peut se mettre sous la forme Système n° 3

20 Exemple 2 : Solution (4) Système n°4 : Système n° 4
Pour ce qui est du système poutre–masse-ressort : Les énergies cinétiques et potentielles s’écrivent : Le Lagrangien et l’équation du mouvement à partir de l’équation de Lagrange sont facilement déduits : Système n° 4

21 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre
Définir pour chacun des systèmes des quatre figures : 1- Les énergies cinétiques, potentielle et le Lagrangien 2- L’équation du mouvement linéarisée au voisinage de la position d’équilibre stable (c’est-à-dire l’équation des petites oscillations). Figure 1 : bras de longueur ℓ d’un cylindre qui roule sans glisser Figure 2 :cylindre M oscillant autour de O fixe, attaché à un ressort k. le fil s’enroule sans glisser Pour être encore mieux entrainés à trouver les équations différentielles de mouvements, nous allons essayer d’appliquer l’équation de Lagrange pour des cas plus complexes. Nous sommes ici en face de quatre mouvements libres, c’est-à-dire sans amortissement et sans force extérieure. Pour le premier cas, nous avons un bras de longueur ℓ auquel est attaché une masse m solidaire d’un cylindre M qui roule sans glisser. Le deuxième dessin représente un cylindre M oscillant autour du point O fixe et attaché par un ressort k. Le fil qui relie les masses m1 et m2 s’enroule sans glisser sur M. Le troisième schéma représente un fléau portant les masses m et M oscillant autour du point O. A l’équilibre la barre est horizontale et =0. La quatrième figure représente un système de bras rigidement liés et tournant dans le plan de la figure autour du point fixe O. A l’équilibre le bras de longueur ℓ2 est verticale et =0. Figure 3 : Fléau portant les masses M et m oscillant autour du point fixe O A l’équilibre, =0 Figure 4 : Système de bras rigides tournent autour du point fixe O. A l’équilibre =0

22 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Energie potentielle : Epm=mgl (1-cos) Lagrangien : La position d’équilibre pour le premier exercice, la tige est solidaire du disque et à : =0 L‘Energie cinétique totale : Ec=EcM+Ecm Roulement sans glissement du cylindre M nous donne  EcM= EcM translation+ EcM rotation Qu’on écrit Pour la masse m, nous avons On obtient alors d’où Pour l’énergie potentielle on a : Epm=mgl (1-cos) Le Lagrangien s’écrit :

23 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Equation du mouvement :   cos1, sin, on néglige les termes de puissance supérieure ou égale à 2. L’équation du mouvement provient de l’équation de Lagrange : pour les petites oscillations   cos1 et sin au voisinage de =0) de plus, on néglige les termes de puissance supérieure ou égale à 2. on obtient alors l’équation différentielle du mouvement régissant les oscillations du systèmes les oscillations du système mécanique : En posant : qui est la pulsation propre du système, on trouve :

24 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Position d’équilibre (=0), m1m2 le ressort est soit comprimé, soit allongé. Energie cinétique : Energie potentielle : ; x0 = allongement à l’équilibre La condition d’équilibre (=0) impose que La position d’équilibre (=0), m1m2 le ressort est soit comprimé, soit allongé. L’énergie cinétique est : Energie potentielle est : On prend x0 = allongement à l’équilibre étant donné que le fil s’enroule sans glisser sur le cylindre, alors y=R La condition d’équilibre (=0) impose que

25 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)
Le Lagrangien : Pour  sin    et cos  =1 Equation du mouvement : avec Le Lagrangien : Pour  sin    et cos  =1 Equation du mouvement : avec

26 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite), exercice 4 Energie potentielle : Position d’équilibre () Energie cinétique : Energie potentielle : Remarque : un calcul analogue à celui effectué pour le cas de la figure 2 montrerait que l’énergie potentielle de M et m est compensée par l’énergie potentielle des ressorts à l’équilibre. Le Lagrangien : En posant Le Lagrangien : En posant

27 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à degré de liberté libres (Suite), exercice 4 Position d’équilibre stable (=0) Energie cinétique : Energie potentielle : Condition d’équilibre Position d’équilibre stable (=0) Energie cinétique : Energie potentielle : Condition d’équilibre

28 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libres (Suite), exercice 4 Lagrangien : Equation du mouvement : Cas des faibles oscillations    sin    et cos   1. avec Lagrangien : Equation du mouvement : Cas des faibles oscillations    sin    et cos   1. avec On obtient des oscillations harmoniques quand  est petit.

29 Exemple 4 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté amortis et forcés Nous allons maintenant appliquer l’équation de Lagrange pour des mouvements à un degré de liberté amorti et forcé. Le premier exercice représente une tige rigide de longueur ℓ, de masse négligeable, articulée à l’une de ses extrémités O et portant à son autre extrémité libre une masse ponctuelle m. A des distances ℓ1 et ℓ2 de O, deux ressorts verticaux de raideur k1 et k2 sont attachés à cette tige. Un amortisseur de coefficient  est également fixé à la masse m et la tige se trouve au repos dans sa position verticale. La masse m du système ainsi constitué est soumise à l’action d’une force verticale et harmonique F(t)=F0cost. On nous demande d’écrire l’expression complète de l’énergie potentielle, et la simplifier en déterminant la condition d’équilibre statique. On nous demande d’écrire le Lagrangien et d’en déduire l’équation différentielle du mouvement. Le deuxième schéma représente un cylindre de masse M et de rayon R qui roule sans glisser sur un plan horizontal. Le bras GC, sans masse, solidaire du cylindre M, porte à son extrémité C une masse m. Deux ressorts de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement visqueux  sont attachés en A et B de sorte que GA=R, GC=ℓ et GB=GC/2. le système se trouve en position d’équilibre statique lorsque la tige est verticale. Ecarté de cette position d’équilibre puis relâché, le système effectue des oscillations de faible amplitude telles qu’on peut supposer les points d’attache A et B de déplacement pratiquement horizontal. On applique sur la masse m une force horizontale et sinusoïdale F(t)=F0cost. On nous demande d’établir l’équation différentielle du mouvement amorti forcé. Pour les deux systèmes montrés dans les figues ci-dessus, écrire les équations différentielles du mouvement dans le cas de petites oscillations. La force appliquée est de la forme :

30 Exercice 1 de la forme : où la force de frottement f est telle que

31 Exercice 2 pour les petits angles L’équation de Lagrange : avec

32 Exemple d’un système à deux degrés de liberté
Si on applique l’équation de Lagrange à un système à deux degrés de liberté, nous aurons deux équations différentielles couplées. Il est clair que le ressort k1 et sous tension pour +x1, le ressort k2 est sous tension pour +(x2-x1) et le ressort k3 est sous compression pour +x2. On a pris pour simplifier nos équations différentielles m1=m21=m et k1=k2=k3=k.

33 Solution des équations différentielles des vibrations, généralités
m et = masse et amortissements équivalents F(t) périodique ou quelconque Equation du deuxième degré à coefficients constants Solution par formation de l’équation caractéristique Nous avons vu que les équations différentielles des vibrations étaient de la forme où m est une masse équivalente du système et  est un coefficient d’amortissement équivalent. F(t) étant la force extérieure à laquelle est soumis notre système. Celle-ci pouvant être périodique ou quelconque. Ces équations du mouvement que nous avons dérivé en appliquant l’équation de Lagrange sont des équations différentielles du deuxième degré à coefficients constants, que vous avez du rencontre en Maths 2, en première année d’université. Nous allons donc revoir le mode de résolution de ces équations en commençant par les solutions des équations homogènes. C’est-à-dire sans second membre. Nous allons utiliser la méthode la plus standard qui est celle de la formation de l’équation caractéristique.

34 Solution des équations différentielles de vibration par formation de l’équation caractéristique Les équations homogènes Équation homogène Solution de la forme L’équation caractéristique Les racines de l’équation caractéristique Nous commençons par les équations homogènes, c`est à dire sans second membre. Celle ci sont de la forme : Où a et b sont des constantes .Nous supposons que a et b sont réels. Pour résoudre cette équation, nous supposons que la solution est de la forme : et formons l`équation caractéristique: Les racines de cette équation sont

35 Solution des Équations Différentielles de Vibration (Suite)
Solution Générale : 1 et 2 sont réels et différents  1=2 réels  1,2=   i avec   0  la solution générale est du type: (i) (ii) (iii) suivant que (i) 1 et 2 sont réels et différents (ii) pour 1 =  réels (iii) pour 1,2 =   i avec   0

36 Exemple 5 Trouver les solutions des systèmes
(a) L’équation caractéristique : 2+ -2=0 qui a pour racines 1=1 et 2=-2 La solution générale La dérivée s’écrit Les conditions initiales donnent La réponse Trouver les solutions des systèmes SOLUTION: a)l'équation caractéristique s'écrit: 2 +  - 2 = 0 Qui a pour racine : 1 =1 et 2 = -2   la solution générale est donc qui donne : à partir de ces équations et des conditions initiales, nous avons: Qui donne : C1=2 et C2=1 la réponse est :

37 Exemple 5 : (Suite1) (b) L’équation caractéristique : 2 - 2+10=0
Les racines 1= -1+3i , 2=-1-3i La solution générale Sa dérivée Les conditions initiales donnent La réponse est : b) L'équation caractéristique s'écrit ses racines sont : la solution générale est qui donne : nous avons alors : y(0)=A et y’(0)=A+3B  en utilisant, les conditions initiales, nous avons :   la réponse s’écrit :

38 Exemple 5 : (Suite2) (c) L’équation caractéristique : 2 - 4+4=(-2) 2 La solution générale Sa dérivée Les conditions initiales donnent La réponse est : c) l'équation caractéristique s'écrit la solution générale de l'équation différentielle est donc à partir de ces équation et des conditions initiales, nous obtenons

39 Les Équations Non Homogènes
La solution générale y(t) On utilise la méthode des coefficients indéterminés pour trouver la solution particulière. Les choix pour yp sont résumés dans le tableau suivant, mais peuvent être l’objet d’une règle de modification. Les équations non homogènes ou équations avec second membre sont de la forme la solution générale y(t) est la somme d'une solution particulière yp(t) et de la solution générale y0(t) de l'équation sans second membre une des méthodes les plus utilisées est celle des coefficients indéterminés. Cette méthode est résumée dans le tableau que nous allons voir qui nous donne le choix à prendre pour yp(t) dépendant des termes que nous avons dans F(t).

40 Les Équations Non-Homogènes
Termes dans F(t) Choix pour yp p iq Termes dans F(t) Choix pour yp p iq Règle de modification : Si les valeurs listées dans la dernière colonne sont des racines de l’équation caractéristique de l’équation homogène, la fonction de la seconde colonne du tableau doit être multipliée par xm où m est la multiplicité de la racine de cette équation. M est donc égal à 1 ou à 2 pour une équation du second degré. Si les termes dans F(t) sont de la forme kn(n=0,1,2….), nous choisirons pour yp les termes yp=Knxn+Kn-1xn-1+….+K1x+K0, si les termes dans F(t) sont de la forme Kepx, alors nous choisirons pour yp des termes de la forme Cepx. Si les termes dans F(t) sont de la forme Kcosqx ou Ksinqx, alors on choisira pour yp des termes de la forme Kcosqx+Msinqx. De plus, si les valeurs listées dans la dernière colonne de ce tableau sont des racines de l'équation caractéristique de l’équation homogène, la fonction de la seconde colonne du tableau doit être multipliée par xm ou m est la multiplicité de cette équation. m est donc égale à 1 ou à 2 pour une équation du second degré.

41 Exemple 6 Résoudre les équations différentielles: a) y" + 4y'= 8 x²
b) y" - y' - 2y = 10 cosx c) y" - 2 y'+ y = ex + x (a) Par substitution : Résoudre les équations différentielles:   a) y" + 4y'= 8 x² b) y" - y' - 2y = 10 cosx c) y" - 2 y'+ y = ex + x SOLUTION a) la solution de l'équation homogène est yh = A cos 2x + B sin 2x car l’équation caractéristique est 2+4=0 ce qui donne 1= 2=2i l'équation particulière s'écrit : yp = K2 x²+ K1x + K0 , y"p = 2K2 par substitution, nous avons : 2k2 + 4 ( K2 x² + K1x +K0) = 8 x² en égalant les coefficients de x², x et x0 des deux côtés, nous avons : 4K2 = 8, 4K1=0 , 2K2+4K0=0 ce qui nous donne : K2 = 2, K1 = 0, K0 = -1 d'où : yp = 2x² - 1 la solution générale s'écrit : y = A cos2x + B sin 2x + 2x² - 1 Les constantes A et B sont à trouver à partir des conditions initiales.

42 y = yh + yP = C1 e-x + C2 e2x - 3cos x - sin x
Exemple 6 : (Suite 1) (b) car 2--2=0 =-1 et =2 Par substitution dans l’équation différentielle : En égalant les coefficients des deux cotés : b) la solution particulière a la forme : en insérant ces équations différentielle on trouve: en égalant les coefficients de (cos x) et (sin x) des deux côtes, on obtient: -3K - M = , K - 3 M = 0 d'où : K = -3 , M = - 1 et yp = - 3 cos x - six x la solution de l'équation homogène s'écrit : la solution générale de l'équation différentielle est alors: y = yh + yP = C1 e-x + C2 e2x - 3cos x - sin x où C1 et C2 dépendent des conditions initiales.

43 Exemple 6 : (Suite 2) (c) L’équation caractéristique et la solution de l’équation homogène : La fonction x dans le membre de droite indique une solution de la forme 1 est une racine double de l’équation caractéristique, la fonction ex doit avoir comme solution particulière : La solution générale de l’équation est : c) l'équation caractéristique de l'équation homogène correspondante s'écrit Puisque zéro n'est pas une racine de l'équation, la fonction x dans le membre de droite indique une solution de la forme : puisque 1 est une racine double de l'équation caractéristique, c'est à dire une racine de multiplicité 2, la fonction ex doit avoir comme solution particulière : C x² ex qui nous donne en substituant dans l'équation différentielle, on obtient: d'où : C =1/2 , k1 = 1, k0 = 2 La solution générale de l'équation est : y = yh + yp =( C1 x + C2 )ex + 1/2 x²ex + x + 2

44 Equations des vibrations
Systèmes libres non amortis Systèmes libres amortis Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale Système amorti soumis à une force périodique quelconque Système amorti soumis à une force quelconque non périodique Dans tout le cours de vibrations linéaires, nous n’allons être confronté du point de vue mathématique qu’à quelques types d’équations différentielles. Les systèmes libres non amortis avec la force de frottement Les systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale avec donc F0cost dans le deuxième membre, les systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale, les systèmes amortis soumis à une force périodique quelconque et les systèmes amortis soumis à une force quelconque non périodique. Chacune de ces équations différentielle présente un mode différent de solution.

45 Equations des vibrations (2)
Système libre non amortis Equation Equation caractéristique et racines : Solution C1 et C2 dépendent des conditions initiales du système. Pour les systèmes libres non amortis, la solution est la somme d’un sinus et d’un cosinus Qui peut être aussi écrit sous la forme où les constantes C2 et C1 ou C et  dépendent des conditions initiales.

46 Equations des vibrations (3)
Systèmes libres amortis Equation Equation caractéristique et racines : Solution C1 et C2 sont des constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales du système. Pour qu’il y ait des vibrations, le radical sous la racine doit être négatif Pour les systèmes libres amortis, L’équation caractéristique : nous donne des solutions de la forme avec un radical égal à Pour qu’il y’ait des vibrations, il faut que soit négatif.

47 Equations des vibrations (4)
Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale Equation Solution de l’équation homogène et forme de la solution particulière. On pose solution Générale C1 et C2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales du système. Pour les systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale, nous obtenons une solution générale qui est la somme de la solution de l’équation homogène et de la solution particulière Nous avons vu comment obtenir ce résultat. Il ne faut pas confondre dans cette solution la fréquence naturelle du système 0 et la fréquence de la force extérieure .

48 Equations des vibrations (5)
Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale Equation Solution particulière Calcul intermédiaires : On substitut relations trigonométriques On remplace ou on égale les coefficients de cos t et sint : - Solution Quand la force à laquelle est soumis le système amorti est de la forme F0cos t, l’équation s’écrit : La solution particulière est aussi harmonique, on lui donne la forme où X et  sont des constantes à déterminer et sont l’amplitude et l’angle de phase de la réponse. En substituant dans l’équation du mouvement, on trouve : On utilise les relations trigonométrique de cos(t-) et sin(t-) et on égale les coefficients pour trouver les équations que vous voyez ici. On trouve finalement :

49 Equations des vibrations (6)
Systèmes amortis soumis à une force périodique quelconque Equation Développement en série de Fourier : Ce qui revient à résoudre les équations suivantes et utiliser le principe de superposition : Solution : Dans ce cas, le force étant périodique, on fait un développement en série de Fourrier de la force. Ce qui revient à résoudre des équations différentielles avec des seconds membres constants (a0/2) ou périodiques. On utilise le principe de superposition pour trouver la solution particulière globale. Ce cas est fréquent dans les pipelines où la pression à l’intérieur du liquide change de manière périodique et bien dans d’autres exemples.

50 Equations des vibrations (7) Systèmes amortis soumis à une force quelconque non périodique
La réponse à une impulsion dans le sens de la fonction de Dirac est : La réponse à la force F(t) est : Ce cas est beaucoup plus réel que les forces périodiques et nous permet d’anticiper sur les conséquences d’évènements tels que les tremblements de terre ou les explosions. Dans le cas d’une force quelconque non périodique qui est un cas réel lorsque nous avons un choc dû à un tremblement de terre ou à une explosion, ou autre, on calcul d’abord la réponse à une impulsion dans le sens de la fonction de Dirac  et on calcul ensuite la réponse à toute la force en intégrant. Nous résoudrons des exercices dans ce genre plus tard dans ce cours.

51 Conclusion (1) Dans cette troisième leçon intitulé «Dérivation et solution des équations des vibrations», nous avons démontré l’équation de Lagrange à partir du principe de moindre action. Nous avons utilisé cette équation pour trouver les équations différentielles du mouvement de plusieurs systèmes vibratoires partant des plus simples à des systèmes à un degré de liberté plus complexes, nous avons utilisé l’équation de Lagrange pour trouver aussi les équations du mouvement de systèmes amortis et forcés et de systèmes à deux degrés de liberté. Nous avons montré que les équations des vibrations linéaires étaient des équations différentielles du deuxièmes degré à coefficients constants. Des solutions ont été proposées utilisant la méthode de la formation de l’équation caractéristique.

52 Conclusion (2) Différentes solutions ont été proposées suivant que le système est : Libre non amorti Libre amorti Non amorti soumis à une force sinusoïdale Amorti soumis à une force périodique quelconque Amorti soumis à une force quelconque non périodique tel qu’une impulsion ou un choc. C’est la solution de ces équations dans les différents cas qui nous permettra de -Contrôler les fréquences naturelles d’un système en évitant les résonnances sous des excitations extérieures, En prévenir les réponses excessives d’un système même à la résonance en introduisant un amortissement ou un mécanisme de dissipation d’énergie. Réduire la transmission des forces d’excitation d’une partie de la machine à l’autre en utilisant des isolateurs de vibration, Réduire la réponse du système par l’addition d’une masse auxiliaire pour neutraliser ou absorber les vibrations.