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Publié parJérémie Pollet Modifié depuis plus de 10 années
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DEA Perception et Traitement de l’Information
Reconnaissance des formes Apprentissage linéaire S. Canu
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RdF et apprentissage 2 D(x) =signe(w’x+b) 1 Les problèmes
Ensemble d’apprentissage (échantillon) 3 A priori sur la nature de la solution 2 A : Algorithme d’apprentissage D(x) =signe(w’x+b) D : Algorithme de Reconnaissance des Formes Une forme x (vecteur forme des caractéristiques) C’est la forme « y=D(x) »
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Discrimination Linéaire
+ + + + + + + + + Codage {-1,1}, fonction de décision de type « heaviside »
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Estimation... et rêve
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Stratégies d’estimation
Minimiser les erreurs moindres carrées adaline perceptron le neurone formel estimer les paramètres max de vraisemblance, puis règle de Bayes minimiser un autre critère analyse discriminante de Fisher
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Moindres carrés X = [x1 ; x2]; X = [X ones(length(X),1)];
yi = [ones(length(x1),1) ; -ones(length(x2),1)]; W = (X'*X)\(X'*yi); west = W(1:2); best = W(3);
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Résistance aux « outliers »
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Moindre carrés « stochastiques » ADALINE (Widrow Hoff 1960)
Algorithme itératif de gradient
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Algorithme de gradient : illustration dans le plan w1,w2
Lignes d ’iso-coût : J(W) = constante Minimum du coût w2 + Direction du gradient J’(W) Le gradient est orthogonal aux lignes d ’iso coût : argument à la « Taylor » w1
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3 solutions LE NEURONE FORMEL
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Algorithme itératif Stabilisation du coût (erreur relative)
nbitemax = 50; k=0; while ((cout > 0) & (k<nbitemax)) K=K+1; ind = randperm(length(X)); for i=1:length(X) Dir = (sign(X(ind(i),:)*W)-yi(ind(i)))*X(ind(i),:); W = W - pas*Dir'; end cout = sum(abs(sign(X*W)-yi)); disp([k cout]); Stabilisation du coût (erreur relative) Randomisation (ok si n grand) Évaluation du coût : n opérations
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ADALINE, Ça marche...
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ADALINE des fois ça ne marche pas…
Solution au sens des moindres carrés
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Le Perceptron, des fois ça ne marche pas...
...Quand les exemples ne sont pas linéairement séparables
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Règle du perceptron (Rosenblatt 1958)
codage
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Règle du perceptron (Rosenblatt 1958)
Pas de fonction coût minimisée preuve de convergence (dans le cas linéairement séparable)
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Règle du perceptron (Rosenblatt 1958)
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Convergence des algorithmes de gradient
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Performances des algorithmes linéaires
Théorème (Vapnik & Chervonenkis, 1974)
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Performances des algorithmes linéaires
Théorème (Vapnik & Chervonenkis, 1974) borne Probabilité d’erreur précision risque empirique Asymptotiquement « jouable » Malédiction de la dimensionnalité
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Maximum de vraisemblance
Distance de Mahalanobis
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Analyse discriminante de Fisher 2 classes
Quelle est la direction de l’espace des caractéristiques qui sépare le mieux les deux classes ? Voilà la critère !
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Analyse discriminante de Fisher multi classes
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Analyse discriminante de Fisher multi classes
On recherche les vecteurs propres de la matrice
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AD en matlab ind1=find(yi==1); X1=Xi(ind1,:);
n1=length(ind1); n2=length(ind2); n3=length(ind3); n = n1+n2+n3; Sw = (n1*cov(X1)+n2*cov(X2)+n2*cov(X3))/n; %AD m1 = mean(X1); m2 = mean(X2); m3 = mean(X3); mm = mean(Xi); Sb = (n1*(m1-mm)'*(m1-mm)+n2*(m2-mm)'*(m2-mm)+n3*(m3-mm)'*(m3-mm))/n; % L = chol(Sw); % Linv = inv(L); % [v l]=eig(Linv*Sb*Linv'); % AD % v = Linv'*v; [v l]=eig(inv(Sw)*Sb); % AD [val ind] = sort(-abs(diag(l))); P = [v(:,ind(1)) v(:,ind(2))]; xi = Xn*P;
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Conclusion : discrimination linéaire
Minimiser les erreurs moindres carrées : erreur quadratique adaline : erreur quadratique perceptron : le nombre de mal classé le neurone formel : les formes frontière nombre d’erreur : le simplex -> les SVM estimer les paramètres max de vraisemblance, puis règle de Bayes minimiser un autre critère analyse discriminante de Fisher : REPRESENTATION
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Apprentissage bayésien
Dudda et Hart pp75 chapitre 3
28
Malédiction de la dimensionalité
Un problème inatendu estimation de la matrice de covariance capacité d’un classifieur linéaire le problème de l’erreur moyenne !
29
Estimation du taux d’erreur
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