Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire d’un ensemble de segments du plan Journées de Géométrie Algorithmique 2007.

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1 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire d’un ensemble de segments du plan Journées de Géométrie Algorithmique 2007

2 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Triangulations d’un ensemble de points et de segments du plan Triangulations contraintes et triangulations de Delaunay contraintes  Lee et Lin, Generalized Delaunay Triangulation for Planar Graphs, 1986  Chew, Constrained Delaunay Triangulations, 1987

3 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Plan Partition élémentaire d’un ensemble de sites Algorithme de construction d’une partition élémentaire Partition élémentaire de Delaunay d’un ensemble de sites Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire

4 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire

5 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire

6 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire

7 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire

8 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire

9 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire

10 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.

11 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.

12 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.

13 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Forme des arêtes

14 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Forme des arêtes

15 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Forme des arêtes

16 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

17 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

18 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

19 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

20 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

21 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

22 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

23 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

24 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

25 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique

26 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nombres de faces et d’arêtes 3n – n’ – 3 arêtes 2n – n’ – 2 faces  n : nombre de sites  n’ : nombre de côtés de conv(S) qui ne sont pas des sites

27 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Algorithme de construction Dans une triangulation contrainte, les faces dont les sommets sont sur trois sites distincts correspondent aux faces d’une partition élémentaire Adaptation d’un algorithme de construction par balayage d’une triangulation contrainte quelconque  Edelsbrunner, Triangulations and Meshes in computational geometry, 2000 L’algorithme construit une partition élémentaire de S en temps O(nlogn) où n est le nombre de sites de S

28 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire de Delaunay

29 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire de Delaunay

30 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

31 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

32 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

33 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

34 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

35 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

36 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

37 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

38 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

39 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

40 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

41 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

42 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

43 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

44 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

45 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

46 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

47 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

48 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

49 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay

50 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Unicité d’une partition élémentaire de Delaunay Si les sites sont en position générale, c’est-à- dire s’il n’existe pas de cercle tangent à plus de trois sites

51 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

52 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

53 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

54 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

55 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

56 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

57 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

58 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

59 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay

60 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï

61 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï

62 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï

63 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï

64 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï La partition élémentaire de Delaunay correspond exactement à la « triangulation de Delaunay de segments » qui a été définie par dualité  Chew et Kedem, Placing the Largest Similar Copy of a Convex Polygon Among Polygonal Obstacles, 1989

65 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une triangulation d’un ensemble de points Arête légale:Arête illégale:

66 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Sous ensemble E de partitions élémentaires de S Les cercles circonscrits aux faces sont tangents aux sites qui définissent les faces.

67 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E

68 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E

69 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E

70 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E Arête légaleArête illégale

71 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales

72 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales

73 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales

74 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

75 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

76 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

77 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

78 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

79 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

80 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

81 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

82 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale

83 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque Pour une arête topologique donnée, on calcule la représentation géométrique de l’arête et des deux faces adjacentes telle que les cercles circonscrits aux faces soient tangents aux sites. Une arête topologique est illégale si la représentation géométrique calculée satisfait l’une des deux conditions suivantes :

84 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale

85 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

86 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

87 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

88 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

89 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale

90 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

91 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

92 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

93 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée

94 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire sans arête illégale Preuve  Devillers et al., Checking the convexity of polytopes and the planarity of subdivisions, 1998 Algorithme qui vérifie si une partition élémentaire quelconque a la même topologie que la partition élémentaire de Delaunay, en temps O(n).  Si on dispose d’un algorithme qui est censé calculer la partition élémentaire de Delaunay, cela permet de vérifier en temps linéaire que la partition élémentaire calculée est bien celle de Delaunay.

95 Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Conclusions et perspectives Généralisation de la notion de triangulation à un ensemble de points et de segments:  Partition élémentaire  Partition élémentaire de Delaunay  Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire Algorithme de flip Propriété équivalente à l’équiangularité Extension aux segments non disjoints et à la dimension 3