1 – Stratégie pure Céline Jullien et Bernard Ruffieux

1 – Stratégie pure Céline Jullien et Bernard Ruffieux
ENSGI – 1° année Décision Individuelle et Comportement Collectif 1 – Stratégie pure Céline Jullien et Bernard Ruffieux

Notions à retenir Par ordre d’utilisation dans l’enseignement
Interactions stratégiques Jeu non coopératif Dilemme du prisonnier Bataille des sexes Jeu du rendez-vous Jeu du débarquement Chasse au cerf Jeu de la poule mouillée Jeu de l’ascenseur Meilleure riposte Stratégie dominée Équilibre par élimination des stratégies dominées Équilibre par élimination itérée des stratégies dominées Équilibre de Nash Optimum de Pareto Main tremblante Connaissance commune Dominance parétienne Perfection en sous jeu Induction à rebours Méta jeu Leader de Stackelberg Menace crédible

Situations Stratégiques
La théorie des jeux va nous servir à : Identifier les différents types d’interactions stratégiques. Formaliser ces situations. Analyser ces situations. Décider des stratégies à adopter si tous les acteurs sont rationnels.

Les objectifs du cours Les objectifs pour vous sont les suivants :
Assimiler le vocabulaire de base (les notions seront toujours soulignées et données aussi en anglais). Assimiler les représentations de base (matrice, arbres de jeu) et le mode de raisonnement (équilibre stratégique). Découvrir une typologie des situations stratégiques fondamentales, les problèmes qu’elles posent, les comportements à adopter. Comprendre la puissance et l’universalité de l’outil. Se préparer à découvrir ensuite les applications à la concurrence et à la stratégie des entreprises.

La théorie des jeux non coopératifs
Tous les jeux qui seront présentés et étudiés dans ce cours sont des jeux ‘non coopératifs’. Un jeu non oopératif est un jeu dans lequel les joueurs ne peuvent, préalablement à leurs décisions : ni discuter, ni négocier, ni passer des accords, ni proférer des menaces ou des promesses. Les situations qui intègrent ces dimensions sont décrites dans la théorie des jeux coopérative. On ne l’étudiera pas ici.

Plan général du cours Introduction …
… qu’est-ce que la théorie des jeux, pourquoi est-il intéressant de la connaître ? 1. Où l’on racontera des histoires … … afin d’identifier des situations stratégiques intéressantes 2. Où l’on dessinera des arbres et des matrices … … afin de formaliser les jeux et d’en préciser les règles 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres … … afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels 4. Où l’on généralisera les histoires … afin de définir des problèmes fondamentaux d’interactions stratégiques Conclusion … … la théorie des jeux pour comprendre la concurrence et la management stratégique

Des histoires 1. Où l’on racontera des histoires afin d’identifier des situations stratégiques intéressantes. 1.1. Dilemme du prisonnier 1.2. Conduite automobile 1.3. D Day 1.4. Chasse au cerf 1.5. Bataille des sexes 1.6. Poule mouillée 1.7. Renvoi d’ascenseur Chaque histoire va être racontée dans deux versions : une version « business » pour vous faire comprendre l’intérêt pour vous. une version de référence, faisant allusion à des situations pédagogiquement fortes et simples, connues de tous et qui donnent leur nom aux histoires. Essayez de les mémoriser dès ce début de cours : on va les utiliser jusqu’à la fin.

Des histoires 1.1. Le dilemme du prisonnier Version pédagogique
Vous êtes enfant, vous êtes à la cantine. Vous être assis à un table de huit enfants. On apporte un plat de frites pour tous. Il est mis au milieu de la table. On apporte aussi pour chacun, un steak dans une assiette individuelle. Chacun aimerait bien avoir tranquillement des frites pendant qu’il mange son steak, mais chacun pense que, s’il attend, il n’y en aura plus parce que les autres les auront mangées ! Du coup, en quelques secondes… il n’y a plus de frites et il ne reste plus que les steaks. Chacun avait raison. Ce problème est classique, les économistes le nomment le problème du « bien collectif ». Ce problème est un cas, parmi beaucoup d’autres, que la théorie des jeux range dans la catégorie générale de « dilemme du prisonnier ».

Des histoires 1.1. Le dilemme du prisonnier Version Business
Deux entreprises A et B se partagent en exclusivité les importations d’une pierre précieuse d’un pays. Elles sont en concurrence. A et B contrôlent chacune les volumes qu’elles importent. Le prix intérieur est unique. Il déterminé par l’offre globale des deux entreprises en fonction de la demande intérieure. Durant une période donnée chaque entreprise a le choix d’importer et de vendre 2 ou 4 tonnes de pierres. Ainsi, dans ce période, il y aura sur le marché : 4, 6 ou 8 tonnes de pierres offertes. A et B disposent de la même étude de marché : elles savent que le prix est fonction de l’offre et de la demande. Pratiquement : si l’offre globale est de 4 tonnes le prix sera de 25M€/tonne, si l’offre est de 6 tonnes la le prix sera de 15M€/tonne, si l’offre est de 8 tonnes, le prix sera de 10M€/tonne. Les coûts à la tonne sont de 4M€ pour A et de 2M€ pour B.

1. Des histoires 1.1. Le dilemme du prisonnier
Les deux entreprises ne peuvent pas communiquer entre elles et, rappelons-le, elles sont en concurrence. Quel va être leur choix ? 2 ou 4 tonnes ?

1. Des histoires 1.1. Le dilemme du prisonnier
Ces problèmes de frites ou de concurrence sont semblable à toute une série de problèmes d’interactions stratégiques. La formalisation scientifique de ces problèmes a été faite à partir de l’exemple d’un juge qui donne le choix à des prisonniers suspectés d’avoir commis un délit de concert. Le juge établit des peines pour chacun qui dépendent des aveux de l’un ET de l’autre. C’est pourquoi ce jeu est connu sous le nom de Dilemme du prisonnier.

Des histoires 1.1. Le dilemme du prisonnier L’histoire classique
Un juge doit décider du sort de deux malfaiteurs. Il sont suspectés d’avoir commis un crime de concert. Mais le juge n’a pas assez de preuve pour les condamner sans aveux de leur part. Le juge annonce alors les peines suivantes aux deux prisonniers, séparés dans des cellules isolées. Si les deux avouent, ils auront des peines raisonnables de deux ans chacun. Si l’un avoue et l’autre non, celui qui a avoué sera relaxé, mais l’autre écopera d’une lourde peine de quatre ans de prison. Si aucun n’avoue, faute de preuve, la peine ne pourra être que minimale : un an de prison.

Des histoires 1.2. Le choix du conducteur version business
En concurrence sur le même marché, deux entreprises ont le choix entre un standard A et un standard B. Elles sont indifférentes à choisir l’un ou l’autre de ces standard mais, en revanche, elles ont toutes les deux intérêt à ce que le standard soit unique. Quel standard vont-elles choisir si les entreprises ne peuvent communiquer ?

1. Des histoires 1.2. Le choix du conducteur
Ce jeu est semblable à un autre, qui lui donne son nom, qui consiste à savoir de quel coté de la route conduire : droite ou gauche. Chacun est indifférent, à condition bien entendu que tout le monde choisisse le même coté ! On appelle parfois ce jeu le ‘jeu du rendez-vous’ : le problème est celui d’un groupe de personnes qui se sont perdues dans une ville et cherchent chacune séparément un lieu où elles pourraient bien se retrouver.

Des histoires 1.3. D Day Nous sommes en 1944 et les alliés se préparent au Débarquement. Les Allemands savent que le Débarquement est imminent, mais ils ne savent pas s’il aura lieu dans le Pas-de-Calais ou en Normandie. Les alliés ont effectivement le choix entre la Normandie et le Pas-de-Calais. Quelle plage vont choisir les alliés d’attaquer et quelle plage les Allemands vont-ils défendre si on suppose pour simplifier que chacun doit choisir un site et un seul.

Des histoires 1.3. D Day Version business
Ce jeu est semblable à des situations de management classiques. Supposez par exemple qu’une entreprise est leader sur le marché d’un produit alimentaire. Un entrant potentiel cherche à pénétrer ce marché. Il a deux moyens : la promotion publicitaire ou l’innovation technologique. … l’histoire est ensuite la même que pour D Day.

Des histoires 1.3. D Day Dans la théorie des jeux, ce jeu s’appelle ‘apparier les sous’, en anglais ‘matching pennies’. Plusieurs variantes de ce jeu existent, dans tous les cas, il y a un gagnant et un perdant. Par exemple : un joueur a une pièce dans un main, l’autre doit deviner laquelle.

1. Des histoires 1.4. La chasse au cerf
Ce problème classique est présenté par Jean-Jacques Rousseau dans son ouvrage de 1762 : Du Contrat Social. Deux chasseurs ont le choix entre aller à la chasse au cerf ou à la chasse au lapin. Les deux chasseurs, en tant que consommateurs, préfèrent le cerf au lapin. Ils peuvent chasser le lapin seuls mais, pour le cerf, ils faut qu’ils chassent à deux. Que vont-ils faire ? Ce jeu peut être étendu à un village entier : un groupe de chasseurs sont concernés, un nombre minimum de chasseurs est requis pour chasser le cerf…

Des histoires 1.4. La chasse au cerf Version business
Deux entreprises informatiques sont intéressées par le développement d’un nouveau logiciel. Il y a deux lignes de développement possibles : la ligne ‘isolée’ qui consiste pour chaque entreprise à modifier un de ses logiciels existants et la ligne ‘ensemble’ qui consiste à développer un tout nouveau produit. Le problème en effet est que aucun des deux entreprises n’a la capacité de développer le produit nouveau seule. Pour les deux entreprises, le produit traditionnel amélioré est moins profitable qu’un produit nouveau développé ensemble. Que va faire chacune des deux entreprises ? Travailler isolément au développement d’un produit ancien amélioré ou choisir de travailler ensemble ?

1. Des histoires 1.5. La bataille des sexes
L’histoire qui donne son nom à ce jeu est la suivante. Une adolescente et un adolescent sont amoureux. Ils peuvent sortir le vendredi soir ensemble au spectacle, mais, le reste du temps, ils ne peuvent pas se voir. Nous sommes vendredi après-midi et ils savent tous les deux qu’il y a en ville un ballet et un match de boxe. Il savent aussi que la fille préfère le ballet et le garçon préfère la boxe. Où vont-ils aller ?

Des histoires 1.5. La bataille des sexes Version business
Sony et Philips développent chacun séparément un nouveau standard de haute-fidélité. Il y a donc deux standard possibles. Le développement une fois achevé, chaque entreprise réalise que le marché serait plus large si un seul standard était adopté. Seulement voilà, les deux entreprises se rendent compte également que chacune a intérêt à ce que se soit son propre standard qui s’impose. Quel standard chaque entreprise va-t-elle adopter ?

1. Des histoires 1.6. La poule mouillée
En Anglais, ce jeu s’appelle ‘chicken game’. On le réfère souvent à une scène du film La Fureur de vivre, avec James Dean, (Rebel Without a Cause de Nicholas Ray, 1955). Ce film raconte la vie des bandes d’adolescents américains dans l’Après guerre. Dans ce film, au cours d’une soirée, sur une falaise dominant l’Océan, deux garçons – Jim et Buzz – se livrent à une course de voiture d’un genre particulier.

Chacun prendra place dans une voiture volée. Ils conduiront leur voiture à toute allure jusqu’à l’extrémité de la falaise. Celui des deux qui aura sauté le premier sera considéré comme un lâche. Dans le film, Jim (James Dean) saute à temps et Buzz chute dans l’Océan.

Des histoires 1.6. La poule mouillée Version business
Deux entreprises pharmaceutiques investissent massivement dans le recherche d’un nouveau vaccin pour la même maladie. A un certain stade, elles se rendent compte qu’elles se rapprochent toutes deux de la découverte. Il faut encore investir 10M€ et le vaccin peut être déposé. Si l’une trouve avant l’autre, elle gagne et l’autre perd. Si les deux firmes abandonnent maintenant, elles sauvent leurs investissements de 10 M€. Si elles trouvent en même temps, le coût du développement, consécutif à la découverte, ne pourra être rentabilité par les deux firmes. Les investisseurs ne suivront pas et les deux firmes devront abandonner.

On retiendra par la suite une version plus simple de ‘course automobile’. Les deux voitures foncent l’une vers l’autre. Le premier qui tourne son volant pour éviter l’autre a perdu.

1. Des histoires 1.7. Le renvoi d’ascenseur
C’est le matin et vous arrivez à votre lieu de travail : une tour administrative de 25 étages. Arrivé à votre étage, sachant que la probabilité est très élevée pour que l’usager suivant parte du rez-de-chaussée, renvoyez-vous l’ascenseur en bas pour réduire le temps d’attente de l’usager suivant ?

Des histoires 1.7. Le renvoi d’ascenseur Version business
Au cours d’une conférence, deux hommes d’affaires se sont mutuellement promis, au cours d’une discussion très informelle dans un cocktail, de s’envoyer de la documentation dont chacun dispose sur l’Égypte, un pays qu’ils ont tous deux le projet de visiter bientôt. Vont-ils le faire en rentrant chez eux ?

2. Des arbres et des matrices
2. Où l’on dessinera des arbres et des matrices afin de formaliser les jeux et de préciser les règles 2.1. Les règles du jeu ordre de décision, information, gains, objectifs 2.2. Approche intuitive du méta jeu les règles comme enjeu stratégique 2.3. Formalisation matricielle du dilemme du prisonnier à l’ascenseur 2.4. Formalisation en arborescente 2.5. Approche intuitive de jeu répété répétition finie et infinie. 2.6. Approche intuitive de jeux multiples l’idée de stratégie mixte

2. Des arbres et des matrices 2.1 Les règles du jeu
Stratégies disponibles par chacun : ici 2 Nombre de joueurs : ici 2 Ordre des séquences de décision : ici simultané Information sur les gains : ici connaissance commune Information durant le jeu : ici non pertinent Objectifs des joueurs : ici gain Comportement des joueurs : ici maximisateur

2. Des arbres et des matrices 2.2. Approche intuitive du méta jeu
Idée générale : dans les jeux de société, les règles sont données, elles sont exogènes. Dans la vie économique, très souvent, les règles du jeu, en partie au moins, peuvent être changées. Même les règles fournies par les pouvoirs publics sont modifiables (lobbying).

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle
Joueur 2 (colonne) …. Stratégie j du joueur 2 … Stratégie i du joueur 1 (Gain de 1, Gain de 2) (Ligne, Colonne) Joueur 1 (Ligne)

Reprenons le cas des importateurs de pierre précieuses.
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier Reprenons le cas des importateurs de pierre précieuses. Rappelons la situation : Stratégies : A et B peuvent produire 2 ou 4 tonnes. Les coûts à la tonne sont de 4 pour A et de 2 pour B. Les prix sont de 25 €, 15 € ou 10€ selon que les quantités de marchés sont de 4, 6 ou 8 tonnes.

L’entreprise A est en ligne, ses coûts sont de 4 M€/t
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier L’entreprise A est en ligne, ses coûts sont de 4 M€/t 2 4 A Coûts de 4

2. Des arbres et des matrices 2. 3. Formalisation matricielle 1
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier L’entreprise B est en colonne, ses coûts sont de 2 M€/t B coûts de 2 2 4 A Coûts de 4

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier On détermine le total produit pour tous les couples de stratégies. B coûts de 2 2 4 2+2=4 2+4=6 4+2=6 4+4=8 A Coûts de 4

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier On en déduit le prix à la tonne pour chaque issue de jeu. B coûts de 2 2 4 25 15 10 A Coûts de 4

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier En tenant compte des coûts, on en déduit les profits de A. B coûts de 2 2 4 25 42 15 22 44 10 24 A Coûts de 4

… et les profits de B, avec la convention d’écriture. 2 4
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier … et les profits de B, avec la convention d’écriture. B coûts de 2 2 4 25 42, 46 15 22, 52 44, 26 10 24, 32 A Coûts de 4

On obtient la matrice des gains.
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 1. Le dilemme du prisonnier On obtient la matrice des gains. B 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

A deux joueurs, il est facile de construire la matrice suivante.
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 2. La conduite automobile Souvenez-vous : il faut choisir de conduire à gauche ou à droite, ou choisir un standard unique pour lequel chacun est indifférent à condition que ce soit le même pour tous. A deux joueurs, il est facile de construire la matrice suivante.

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 2. La conduite automobile On obtient la matrice des gains. B Gauche Droite 1, 1 0, 0 A

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 3. D Day
Souvenez-vous : les alliés et les Allemands préparent le Débarquement. La matrice suivante est évidente. On choisit des gains de 1 pour le gagnant et de -1 pour le perdant.

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 3. D Day
On obtient la matrice des gains. Allemands Pas-de-Calais Normandie -1, 1 1, -1 Alliés

A deux chasseurs, on propose la matrice suivante.
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 4. La chasse au cerf Rappelez-vous : le chasseur hésite entre aller seul à la chasse au lapin, ou aller avec les autres à la chasse au cerf. A deux chasseurs, on propose la matrice suivante.

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 4. La chasse au cerf On obtient la matrice des gains. B Lapin Cerf 1, 1 1, 0 0, 1 2, 2 A

Souvenez-vous : les amoureux qui doivent aller au ballet ou à la boxe.
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 5. La bataille des sexes Souvenez-vous : les amoureux qui doivent aller au ballet ou à la boxe. Supposons que les gains soit de chacun : 2 si ils sont ensemble 1 s’ils sont à leur spectacle préféré. Sinon rien. Les gains sont additifs.

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 5. La bataille des sexes On obtient la matrice des gains. Lui Ballet Boxe 3, 2 1, 1 0, 0 2, 3 Elle

Ici, les gains sont plus difficiles à calibrer.
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 6. La poule mouillée Souvenez-vous : la route sur laquelle deux voitures foncent l’une vers l’autre. Ici, les gains sont plus difficiles à calibrer.

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 6. La poule mouillée On obtient la matrice des gains. B Fonce Renonce -4, -4 2, -2 -2, 2 1, 1 A

Où à la limite. Fonce Renonce -2, -2 1, -1 -1, 1 0, 0
2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 6. La poule mouillée Où à la limite. B Fonce Renonce -2, -2 1, -1 -1, 1 0, 0 A

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 7. Le renvoi de l’ascenseur Souvenez-vous, l’ascenseur le matin que tout le monde prend au rez-de-chaussée.

2. Des arbres et des matrices 2.3. Formalisation matricielle 7. Le renvoi de l’ascenseur On obtient la matrice des gains. B Renvoie Ne renvoie pas 1, 1 0, 1 1, 0 0, 0 A

2. Des arbres et des matrices 2. 4. Formalisation en arborescence 1
2. Des arbres et des matrices 2.4. Formalisation en arborescence 1. Le dilemme du prisonnier Rappelons la matrice et supposons maintenant que A jour le premier B 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

2. Des arbres et des matrices 2.4. Formalisation en arborescence 1. Le dilemme du prisonnier A 2 4 B B 4 4 2 2 (42, 46) (22, 52) (44, 26) (24, 32)

Rappelons la matrice et supposons maintenant que A jour le premier
2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 2. La conduite automobile Rappelons la matrice et supposons maintenant que A jour le premier B Gauche Droite 1, 1 0, 0 A

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 2. La conduite automobile A gauche Droite B B G D G D (1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 1)

Pas-de-Calais Normandie -1, 1 1, -1
2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 3. D Day Rappelons la matrice et supposons maintenant que les Alliés décident les premiers. Allemands Pas-de-Calais Normandie -1, 1 1, -1 Alliés

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 3. D Day Alliés PdC N Allemands Allemands PdC N PdC N (-1, 1) (1, -1) (1, -1) (-1, 1)

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 4. La chasse au cerf Rappelons la matrice et supposons maintenant que le chasseur A décide le premier. B Lapin Cerf 1, 1 1, 0 0, 1 2, 2 A

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 4. La chasse au cerf A Lapin Cerf B B Lapin Cerf Lapin Cerf (1, 1) (1, 0) (0, 1) (2, 2)

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 5. La bataille des sexes Rappelons la matrice et supposons maintenant que la fille décide la première. Lui Ballet Boxe 3, 2 1, 1 0, 0 2, 3 Elle

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 5. La bataille des sexes Elle Ballet Boxe Lui Lui Ballet Boxe Ballet Boxe (3, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 3)

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 6. La poule mouillée Rappelons la matrice et supposons maintenant que A décide le premier. B Fonce Renonce -4, -4 2, -2 -2, 2 1, 1 A

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 6. La poule mouillée A Fonce Renonce B B Fonce Renonce Fonce Renonce (-4, -4) (2, -2) (-2, 2) (1, 1)

Rappelons la matrice et supposons maintenant que A décide le premier.
2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 7. Le renvoi de l’ascenseur Rappelons la matrice et supposons maintenant que A décide le premier. B Renvoie Ne renvoie pas 1, 1 0, 1 1, 0 0, 0 A

2. Des arbres et des matrices Formalisation en arborescence 7. Le renvoi de l’ascenseur A Renvoie Ne renvoie pas B B R Nrp R Nrp (1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0)

2. Des arbres et des matrices 2.5. Approche intuitive d’un jeu répété
L’exemple du dilemme du prisonnier. Coopère Trahit 4, 4 1, 5 5, 1 2, 2 Coopère Trahit 4, 4 1, 5 5, 1 2, 2 Coopère Trahit 4, 4 1, 5 5, 1 2, 2 Coopère Trahit 4, 4 1, 5 5, 1 2, 2 Temps

2. Des arbres et des matrices 2. 6
2. Des arbres et des matrices Approche intuitive d’un jeu multiple L’exemple de D Day … transformé en jeu de football ou de tennis. Supposons qu’au football, un gardien de buts soit meilleur pour arrêter les ballons à droite qu’à gauche. Une équipe s’apprête à une série de tirs aux buts. Les buteurs ont à choisir de tirer un certain nombre de fois à gauche et un certain nombre de fois à droite. Mais combien de fois ? L’équipe, si elle réfléchit de la sorte, doit définir des probabilités de jouer une stratégie et une probabilité d’en jouer une autre. C’est ce qu’on appelle une stratégie mixte.

3. Des équilibres 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels 3.1. Élimination des stratégies dominées 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et crédibilité des menaces 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

3. Des équilibres 3.1. élimination des stratégies dominées
Définition : on appelle stratégie dominée une stratégie qui, pour un joueur, lui procure des gains inférieurs à une autre de ses stratégies disponibles et ce quelle que soit la stratégie des autres joueurs. Un concept d’équilibre découle de la règle de comportement selon laquelle un joueur rationnel ne joue pas une stratégie dominée par une autre. Reprenons le cas du dilemme du prisonnier.

Pour le joueur A, on observe que la stratégie « 2 » est dominée par la stratégie « 4 ». B 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

Pour le joueur B, on observe de même que la stratégie « 2 » est dominée par la stratégie « 4 ». B 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

En éliminant de part et d’autre ces stratégies dominées, on obtient l’équilibre (4, 4). B 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

Dans le cas de la conduite automobile, on constate qu’il n’existe pas de stratégie dominée. B Fonce Renonce -4, -4 2, -2 -2, 2 1, 1 A

On vérifie aisément qu’il n’y a pas non plus de stratégie dominée dans les jeux : D Day Chasse au cerf Bataille des sexes Poule mouillée Le cas de l’ascenseur mérite en revanche un peu d’attention.

On remarque dans le jeu de l’ascenseur que chaque joueur est indifférent à sa stratégie s’il ne s’intéresse qu’à ses propres gains, puisque ceux-ce sont identiques quel que soit son choix. On dit qu’une stratégie est faiblement dominée par une autre si les gains sont soit inférieurs soit égaux à cette dernière. B Renvoie Ne renvoie pas 1, 1 0, 1 1, 0 0, 0 A

Ainsi, dans ce jeu de l’ascenseur, l’élimination des stratégies faiblement dominées peut conduire chacun à renvoyer l’ascenseur ou non, indifféremment. B Renvoie Ne renvoie pas 1, 1 0, 1 1, 0 0, 0 A

3. Des équilibres 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels 3.1. Élimination des stratégies dominées 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et crédibilité des menaces 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash
En 1951, John Nash propose un concept d’équilibre plus puissant que celui qui consiste à éliminer les stratégies dominées. Sa définition est la suivante : Un équilibre de Nash dans un jeu à deux joueurs est une paire de stratégies, chacune étant la meilleure riposte (réponse) (best response) à l’autre. Cela signifie que chaque stratégie donne a celui qui l’utilise le meilleur gain possible, étant donné la stratégie de l’autre joueur. Cherchons les équilibres de Nash de nos 7 jeux.

John Nash

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 1. Dilemme du prisonnier
Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * » B 2 4 42, 46 22, 52 44*, 26 24*, 32 A

Les meilleures ripostes des 2 joueurs sont notées avec un « * » B 2 4 42, 46 22, 52* 44*, 26 24*, 32* A

L’équilibre de Nash est au croisement des meilleures ripostes, dans ce jeu, il y a un seul équilibre. Il est identique au précédent. B 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 2. La conduite automobile
Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * » B Gauche Droite 1*, 1 0, 0 A

Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » B Gauche Droite 1*, 1* 0, 0 A

Il y a deux équilibres de Nash B Gauche Droite 1, 1 0, 0 A

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 3. D Day
Les meilleures ripostes des alliés sont notées avec un « * » Allemands Pas-de-Calais Normandie -1, 1 1*, -1 Alliés

Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » Allemands Pas-de-Calais Normandie -1, 1* 1*, -1 Alliés

Il n’y a pas d’équilibre de Nash Allemands Pas-de-Calais Normandie -1, 1 1, -1 Alliés

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 4. La chasse au cerf
Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * » B Lapin Cerf 1*, 1 1, 0 0, 1 2*, 2 A

Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » B Lapin Cerf 1*, 1* 1, 0 0, 1 2*, 2* A

Il y a deux équilibres de Nash B Lapin Cerf 1, 1 1, 0 0, 1 2, 2 A

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 5. La bataille des sexes
Les meilleures ripostes pour Elle sont notées avec un « * » Lui Ballet Boxe 3*, 2 1, 1 0, 0 2*, 3 Elle

Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » Lui Ballet Boxe 3*, 2* 1, 1 0, 0 2*, 3* Elle

Il y a deux équilibres de Nash Lui Ballet Boxe 3, 2 1, 1 0, 0 2, 3 Elle

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 6. La poule mouillée
Les meilleures ripostes pour A sont notées avec un « * » B Fonce Renonce -4, -4 2*, -2 -2*, 2 1, 1 A

Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » B Fonce Renonce -4, -4 2*, -2* -2*, 2* 1, 1 A

Il y a deux équilibres de Nash B Fonce Renonce -4, -4 2, -2 -2, 2 1, 1 A

3. Des équilibres 3.2. équilibre de Nash 7. L’ascenseur
Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * » B Renvoie Ne renvoie pas 1*, 1 0*, 1 1*, 0 0*, 0 A

Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » B Renvoie Ne renvoie pas 1*, 1* 0*, 1* 1*, 0* 0*, 0* A

Il y a quatre équilibres de Nash B Renvoie Ne renvoie pas 1, 1 0, 1 1, 0 0, 0 A

3. Des équilibres 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels 3.1. Élimination des stratégies dominées : DP 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et crédibilité des menaces 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

3. Des équilibres 3.3. Perfection en sous jeux
Lorsque le jeu est séquentiel, l’équilibre de Nash doit être complété par une séquence d’identification des meilleures ripostes. Cette dernière s’appelle « perfection en sous jeux ». Elle garantit qu’aucune menace non crédible n’est proférée par le joueur qui joue en second. Pour trouver les équilibres de Nash parfaits en sous jeu, il faut partir de la fin et remonter l’arbre de jeu.

3. Des équilibres 3. 3. Perfection en sous jeux 1
3. Des équilibres Perfection en sous jeux 1. Dilemme du prisonnier Les meilleures ripostes sont notées avec un « * » A 2 4 B B 4 4 2 2 (42, 46) (22, 52*) (44, 26) (24, 32*)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 1. Dilemme du prisonnier En remontant l’arbre, seules les issues entourées sont disponibles pour A. A 2 4 B B 4 4 2 2 (42, 46) (22, 52*) (44, 26) (24, 32*)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 1. Dilemme du prisonnier L’équilibre de Nash parfait en sous jeu est unique. A 2 4 B B 4 4 2 2 (42, 46) (22, 52) (44, 26) (24, 32)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 2. La conduite automobile Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * » A Droite Gauche B B D G D G (1, 1*) (0, 0) (0, 0) (1, 1*)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 2. La conduite automobile Seules les issues entourées sont disponibles pour A. A A Droite Gauche B B D G D G (1, 1*) (0, 0) (0, 0) (1, 1*)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 2. La conduite automobile Il y a deux équilibres de Nash A Droite Gauche B B D G D G (1, 1) (0, 0) (0, 0) (1, 1)

3. Des équilibres 3.3. Perfection en sous jeux 3. D Day
Les meilleures ripostes des Allemands sont notées avec un « * » Alliés PdC N Allemands Allemands PdC N PdC N (-1, 1*) (1, -1) (1, -1) (-1, 1*)

Seules les issues entourées sont disponibles pour A. Alliés PdC N Allemands Allemands PdC N PdC N (-1, 1*) (1, -1) (1, -1) (-1, 1*)

Il y a deux équilibres de Nash Alliés PdC N Allemands Allemands PdC N PdC N (-1, 1) (1, -1) (1, -1) (-1, 1)

3. Des équilibres 3.3. Perfection en sous jeux 4. La chasse au cerf
Les meilleures ripostes de A sont notées avec un « * » A Lapin Cerf B B Lapin Cerf Lapin Cerf (1, 1*) (1, 0) (0, 1) (2, 2*)

Seules les issues entourées sont disponibles pour A. A Lapin Cerf B B Lapin Cerf Lapin Cerf (1, 1*) (1, 0) (0, 1) (2, 2*)

Il y a un équilibre de Nash A Lapin Cerf B B Lapin Cerf Lapin Cerf (1, 1) (1, 0) (0, 1) (2, 2)

Les meilleures ripostes pour Lui sont notées avec un « * »
3. Des équilibres Perfection en sous jeux 5. La bataille des sexes Les meilleures ripostes pour Lui sont notées avec un « * » Elle Ballet Boxe Lui Lui Ballet Boxe Ballet Boxe (3, 2*) (1, 1) (0, 0) (2, 3*)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 5. La bataille des sexes Seules les issues entourées sont disponibles pour A. Elle Ballet Boxe Lui Lui Ballet Boxe Ballet Boxe (3, 2*) (1, 1) (0, 0) (2, 3*)

3. Des équilibres Perfection en sous jeux 5. La bataille des sexes Il y a un équilibre de Nash Elle Ballet Boxe Lui Lui Ballet Boxe Ballet Boxe (3, 2) (1, 1) (0, 0) (2, 3)

3. Des équilibres 3.3. Perfection en sous jeux 6. La poule mouillée
Les meilleures ripostes pour B sont notées avec un « * » A Fonce Renonce B B Fonce Renonce Fonce Renonce (-4, -4) (2, -2*) (-2, 2*) (1, 1)

Seules les issues entourées sont disponibles pour A. A Fonce Renonce B B Fonce Renonce Fonce Renonce (-4, -4) (2, -2*) (-2, 2*) (1, 1)

Il y a deux équilibres de Nash A Fonce Renonce B B Fonce Renonce Fonce Renonce (-4, -4) (2, -2) (-2, 2) (1, 1)

3. Des équilibres 3.3. Perfection en sous jeux 7. L’ascenseur
Les meilleures ripostes de B sont notées avec un « * » A Renvoie Ne renvoie pas B B R Nrp R Nrp (1, 1*) (0, 1*) (1, 0*) (0, 0*)

Seules les issues entourées sont disponibles pour A. A Renvoie Ne renvoie pas B B R Nrp R Nrp (1, 1*) (0, 1*) (1, 0*) (0, 0*)

Il y a quatre équilibres de Nash A Renvoie Ne renvoie pas B B R Nrp R Nrp (1, 1) (0, 1) (1, 0) (0, 0)

3. Des équilibres 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels 3.1. Élimination des stratégies dominées : DP 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et crédibilité des menaces 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)

3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive)
Idée qu’on accepte de s’en remettre au hasard pour choisir sa stratégie si et seulement si les gains associés à ses stratégies sont tous égaux.

4. Concepts fondamentaux 4.1. Le dilemme du prisonnier
L’unique équilibre de Nash est « Pareto dominé » : l’issue (2, 2) procure un gain supérieur aux deux protagonistes… mais (2, 2) n’est pas un équilibre. On dit qu’il y a un problème de la coopération 2 4 42, 46 22, 52 44, 26 24, 32 A

4. Concepts fondamentaux 4. 1
4. Concepts fondamentaux Le dilemme du prisonnier Un équilibre de Nash unique mais Pareto dominé : Le problème de la coopération Le jeu séquentiel ne change rien au résultat du jeu simultané : le problème de coopération demeure.

4. Concepts fondamentaux 4.2. Le choix du conducteur
Il y a deux équilibres de Nash, ils sont identiques et symétriques. Les joueurs ne savent pas comment sélectionner un équilibre. On dit qu’il y a un problème de coordination.

4. Concepts fondamentaux Le choix du conducteur Des équilibres de Nash multiples mais identiques symétriques : Le problème de la coordination Le jeu séquentiel permet de résoudre le problème de coordination. Le leader n’a pas pour autant d’avantage sur le suiveur. Les deux joueurs ont donc intérêt à un jeu séquentiel (méta jeu).

4. Concepts fondamentaux 4.3. D Day
Il y a absence d’équilibre de Nash : on dit qu’il y a un problème de compatibilité. Les deux camps sont en « conflit pur »

4. Concepts fondamentaux D Day Une absence d’équilibre de Nash : Le problème de la compatibilité ou du conflit pur Le jeu séquentiel a deux équilibres. Les deux sont équivalents pour le leader (ici les alliés) : il est indifférent. Le leader choisit et perd le jeu : dans un jeu de compatibilité, le leader perd. Dans un méta jeu, celui qui réussit à jouer second gagne (espionnage).

4. Concepts fondamentaux 4.4. La chasse au cerf
Il y a deux équilibres de Nash. L’un est Pareto dominant. Mais l’équilibre dominant est risqué. C’est le problème de la main tremblante.

4. Concepts fondamentaux 4.4. La chasse au cerf
En cas d’équilibre dominant risqué, les joueurs peuvent préférer un équilibre Maximin. Le Maximin consiste à maximiser le gain minimum obtenu pour les stratégies. Ici, la stratégie Maximin conduit à choisir d’aller à la chasse au lapin. Si un joueur doute de la stratégie de l’autre, il va à la chasse au lapin.

4. Concepts fondamentaux La chasse au cerf Des équilibres de Nash multiples dont l’un est Pareto dominant, mais risque dominé : Le problème de la main tremblante Le jeu séquentiel permet de résoudre le problème de la main tremblante. Les deux joueurs ont intérêt à un jeu séquentiel. (méta jeu).

4. Concepts fondamentaux 4.5. La bataille des sexes
Il y a deux équilibres de Nash. Ils sont asymétriques. Chacun est préféré par un des joueurs. Mais les deux joueurs ont intérêt à être sur un des équilibres. C’est un problème de la co-sélection forte. Coordination et compatibilité cohabitent.

4. Concepts fondamentaux La bataille des sexes Des équilibre de Nash asymétriques : Le problème de la co-sélection forte ; coordination et compatibilité cohabitent Les deux joueurs ont intérêt à un jeu séquentiel : le leader choisit un équilibre. Mais le leader a un avantage : il choisit l’équilibre qui est le meilleur pour lui.

4. Concepts fondamentaux 4.6. La poule mouillée
Il y a deux équilibres de Nash asymétriques. C’est encore un problème de la co-sélection forte. Mais les deux équilibres sont risqués. Les joueurs peuvent préférer le choix (Renoncé, Renoncé) dont le montant global est supérieur à toutes les autres issues du jeu.

4. Concepts fondamentaux La poule mouillée Des équilibres de Nash asymétriques : Le problème de la co-sélection forte et risquée Le jeu séquentiel permet la coordination du jeu. Le leader l’emporte. Seul le leader a intérêt à un jeu séquentiel.

4. Concepts fondamentaux 4.7. Le renvoi d’ascenseur
Il y a quatre équilibres de Nash Pareto ordonnés, avec un équilibre Pareto dominant. Le problème naît de l’élimination possibles des stratégies faiblement dominées.

4. Concepts fondamentaux Le renvoi d’ascenseur Des équilibres de Nash Pareto ordonnés : Le problème de l’élimination des stratégies faiblement dominées La jeu séquentiel ne règle pas le problème. Le leader est indifférent à son choix, comme le suiveur.

4. Concepts fondamentaux
4.1. Le dilemme du prisonnier. Équilibre de Nash unique Pareto dominé : problème de coopération 4.2. le choix du conducteur. Équilibre de Nash multiples identiques et symétriques : problème de coordination 4.3. D Day. Absence d’équilibre de Nash : problème de compatibilité (conflit pur) 4.4. La chasse au cerf. Équilibres de Nash multiples, un est Pareto dominant et risque dominé : problème de la main tremblante 4.5. Bataille des sexes. Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort, coordination et compatibilité. 4.6. La poule mouillée. Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort et risqué. 4.7. Renvoyer l’ascenseur. Équilibres de Nash Pareto ordonnés : problème d’élimination des stratégies faiblement dominées

Notions à connaître Arbre de jeu Bataille des sexes Chasse au cerf
Coordination Dilemme du prisonnier Equilibre de Nash Interaction stratégique Matrice de jeu Méta jeu Minimax Stratégie dominée Stratégie mixte Pareto dominé

Plan détaillé du cours Introduction : qu’est-ce que la théorie des jeux et pourquoi est-il intéressant de la connaître ? 1. Où l’on racontera des histoires afin d’identifier des situations stratégiques intéressantes 1.1. Le dilemme du prisonnier 1.2. le choix du conducteur 1.3. D Day 1.4. La chasse au cerf 1.5. Bataille des sexes 1.6. La poule mouillée 1.7. Renvoyer l’ascenseur 2. Où l’on dessinera des arbres et des matrices afin de formaliser les jeux et de préciser les règles 2.1. Les règles du jeu : ordre de décision, information, gains, objectifs 2.2. Approche intuitive du méta jeu : les règles comme enjeu stratégique 2.3. Formalisation matricielle des Fables : du dilemme du prisonnier à l’ascenseur 2.4. Formalisation en arborescente des Fables : du dilemme du prisonnier à l’ascenseur 2.5. Approche intuitive de jeu répété : répétition finie et infinie. 2.6. Approche intuitive de jeux multiples : l’idée de stratégie mixte 3. Où l’on définira et trouvera des équilibres afin d’identifier des comportements stratégiques rationnels 3.1. Élimination des stratégies dominées 3.2. Équilibre de Nash des jeux simultanés 3.3. Perfection en sous jeu des jeux séquentiels et crédibilité des menaces 3.4. Équilibre en stratégie mixte (approche intuitive) 4. Où l’on généralisera les histoires afin de définir des concepts fondamentaux d’interactions stratégiques 4.1. Le dilemme du prisonnier. Équilibre de Nash unique Pareto dominé : problème de coopération 4.2. le choix du conducteur. Équilibre de Nash multiples identiques et symétriques : problème de coordination 4.3. D Day. Absence d’équilibre de Nash : problème de compatibilité (conflit pur) 4.4. La chasse au cerf. Équilibres de Nash multiples, un est Pareto dominant et risque dominé : problème de la main tremblante 4.5. Bataille des sexes. Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort, coordination et compatibilité. 4.6. La poule mouillée. Équilibres de Nash asymétriques : problème de co-sélection fort et risqué. 4.7. Renvoyer l’ascenseur. Équilibres de Nash Pareto ordonnés : problème d’élimination des stratégies faiblement dominées Conclusion : vers une compréhension de la concurrence et du management stratégique par la théorie des jeux

Bibliographie Il existe de nombreux textes excellents couvrant la théorie des jeux (en langue anglaise). Parmi les non techniques : Dixit A., Nalbuff B., Thinking Strategically, The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life, Norton, 1991. Le plus simple et le plus amusant. Gibbons R., Game Theory for Applied Economists, Princeton University Press, 1992. Appliqué à l’économie. Rasmusen E., Games and Information: An Introduction to Game Theory, 2° ed., Cambridge, Blackwell, 1994. Contenant beaucoup de choses sur l’information et les incitations. Gintis H., Game Theory Evolving, A Problem-Centered Introduction to Modeling Strategic Interaction, Princeton University Press, 2000. Plus « hétérodoxe », le plus utilisé en cours et en TD de GI.

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