Théorie de l'Échantillonnage

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1 Théorie de l'Échantillonnage
Numérisation du signal Michel Fiocchi Novenbre 2003

2 Numérisation Acquisition
Du signal analogique, continu dans le temps et continu en amplitude... ... à un signal définit ponctuellement et quantifié.

3 Numérisation Restitution Du signal numérique, discret et quantifié...
... à un signal continu dans le temps et quantifié en amplitude.

4 Numérisation Échantillonnage s(t) {s(nT)} Quantification s(nT) mq
Codage mq i

5 Échantillonnage s(t) {s(nT)} Dans l'espace des temps le signal est remplacé par ces valeurs à des instants multiples entiers de la période d'échantillonnage T.

6 Échantillonnage Modèle mathématique

7 Échantillonnage Dans le plan des fréquences

8 Périodisation du spectre
Échantillonnage Périodisation du spectre

9 Échantillonnage Périodisation du spectre
+fe -fe

10 Échantillonnage Périodisation du spectre
Pour une fréquence d'échantillonnage trop petite, le phénomène de recouvrement de spectre (ou de repliement ) modifie le signal.

11 Échantillonnage Théorème de Shannon
soit fm la fréquence telle que fe=2 fm est la fréquence critique d'échantillonnage (fréquence de Shannon ou de Nyquist)

12 Échantillonnage Théorème de Shannon
Un signal qui ne contient pas de fréquences supérieures à fmest entièrement déterminé par la suite de ses valeurs prises à des instants régulièrement espacés de la durée

13 Échantillonnage Exemple:acquisition d’un signal sonore
Le son s(t) est supposé être composé de l’alternance de deux tonnalités placées à 1280 hz et 1620 hz;

14 Échantillonnage Exemple
Application du théorème de Shanon: fe >3240 hz fréquence d’échantillonnage 3675 hz

15 Échantillonnage Exemple: spectre du signal physique
………Mais des harmoniques hautes fréquences ne sont pas négligeables……

16 Échantillonnage Exemple
Le son se(t) est plus grave que le son réel bien que le chronogramme soit quasiment identique.

17 Échantillonnage Exemple
K=-2 …….. K=2 K=-1 K=1 Périodisation du spectre à 3675 hz

18 Échantillonnage Exemple
Des raies apparaissent en basse fréquence

19 Échantillonnage Exemple:limite de la bande passante par filtrage
Des raies hautes fréquences sont atténuées,…. ….et plus audibles après repliement

20 Échantillonnage Reconstruction

21 Échantillonnage Reconstruction

22 Échantillonnage Reconstruction

23 Échantillonnage Reconstruction

24 Échantillonnage Reconstruction

25 Quantification  s(nT) mq Dans l’espace des Amplitudes, chaque valeur de s(nTe) est approchée par un multiple entier d’une quantité élémentaire q

26 Quantification  s(nT) mq

27 Bruit de Quantification
puissance du bruit si p(e) est uniforme

28 Quantification Dynamique de codage
2 N valeurs sur la dynamique totale du codeur soit: En exprimant la puissance du signal:

29 Numérisation des signaux réels
Signaux de durée limitée Echantillonnage de durée finie Nombre fini de points

30 Signaux de durée limitée Domaine temporel

31 Signaux de durée limitée Domaine fréquentiel

32 Signaux de durée limitée Cas Général
N’est pas à support borné

33 Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur

34 Echantillonnage de durée finie Echantillonneur moyenneur

35 Nombre fini de points Soit N le nombre de points régulièrement espacés sur la période d’observation T . Le signal est défini par une suite de N valeurs sk . Le spectre du signal est estimé par une suite de N valeurs Sk .

36 Nombre fini de points

37 Nombre fini de points TDF
Sk et sk sont N périodiques

38 Echantillonnage du spectre
Sinus à 25 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points Sinus à 25,5 hz échantillonné à 100 hz sur 100 points