1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités

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1 1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités

2 1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités

3 2 - Échantillons 2.1 - Définitions
Quand on doit décrire une population comportant un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on ne veut pas, en général pour des raisons économiques, en faire une étude exhaustive. Les observations ne portent alors que sur un nombre restreint d'individus à sélectionner selon un protocole expérimental. Les individus sélectionnés et leur ordre de sélection constituent un échantillon, leur nombre est la taille de l'échantillon. Quand on doit décrire une population comportant un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on ne veut pas, en général pour des raisons économiques, en faire une étude exhaustive. Les observations ne portent alors que sur un nombre restreint d'individus à sélectionner selon un protocole expérimental. Les individus sélectionnés et leur ordre de sélection constituent un échantillon, leur nombre est la taille de l'échantillon.

4 2 - Échantillons 2.2 - Comment prélever un échantillon ?
Lors d’une prise de décision à partir d‘un échantillon, pour que les résultats de la théorie des probabilités s'appliquent, il est important que l'échantillon soit prélevé au hasard. Chaque individu de la population doit avoir la même probabilité d'être sélectionné.  échantillon aléatoire.

5 2 - Échantillons 2.2 - Comment prélever un échantillon ?
Deux types d'échantillons : Échantillons exhaustifs ou constitués sans remise Échantillons non exhaustifs ou constitués avec remise Le programme de Seconde 2009 ne retient que ce type d'échantillons : "Un échantillon est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience".

6 2 - Échantillons 2.3 - Échantillonnage
L'échantillonnage est l'étude des distributions de fréquences de variables définies sur l’ensemble des échantillons (proportion, moyenne, variance…).

7 On constitue (avec remise) des échantillons de taille 3.
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Un premier exemple 3.1 - Un premier exemple On considère une population de 4 enfants : Adeline, Benjamin, Clara et David, d'âges respectifs 12, 13, 14 et 15 ans et on s'intéresse aux enfants de plus de 14 ans et demi. Il y en a une proportion p = 1/4 dans la population-mère. On constitue (avec remise) des échantillons de taille 3. On peut ainsi constituer 43=64 échantillons.

8 3.2 – Des situations similaires
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.2 – D’autres situations similaires 3.2 – Des situations similaires Tirage d’une boule dans une urne contenant 1 boule blanche et 3 rouges Tirage d’une boule dans une urne contenant 100 boules blanches et 300 rouges Lancer d’un dé tétraédrique équilibré et obtention d'une des faces Roue de loterie dont un quart est peint en rouge et le reste en bleu et obtention du rouge …

9 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage. 3
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Exemples

10 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage. 3
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Exemples

11 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage. 3
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Exemples

12 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage. 3
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Exemples

13 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage. 3
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.4 – Quand n augmente Résultat 1 : Les proportions observées sont de plus en plus souvent proches de la proportion du caractère dans la population-mère lorsque la taille de l'échantillon n augmente. Résultat 2 : Lorsque n est grand la distribution de fréquence de la proportion d’échantillonnage s'approche d'une "distribution en cloche".

14 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage. 3
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.4 – Quand n augmente

15 4 - Intervalles de fluctuation 4.1 - Définition
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence ou proportion à 95%, pour des échantillons de taille n, est l’intervalle : d'amplitude minimale, centré autour de p, proportion du caractère dans la population, contenant la proportion observée sur un échantillon aléatoire de taille n, avec une probabilité au moins égale à 0,95.

16 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/10 5,6 % 1/10 18,8 % 2/10 28,2 % 3/10 25,0 % 4/10 14,6 % 5/10 5,8 % 6/10 1,6 % 7/30 0,3 % 8/10 0,0 % 9/10 10/10 p = 25 % Distribution des fréquences

17 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/10 5,6 % 1/10 18,8 % 2/10 28,2 % 3/10 25,0 % 4/10 14,6 % 5/10 5,8 % 6/10 1,6 % 7/30 0,3 % 8/10 0,0 % 9/10 10/10 86,6 % p = 25 % Distribution des fréquences

18 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/10 5,6 % 1/10 18,8 % 2/10 28,2 % 3/10 25,0 % 4/10 14,6 % 5/10 5,8 % 6/10 1,6 % 7/30 0,3 % 8/10 0,0 % 9/10 10/10 98 % p = 25 % Distribution des fréquences L'intervalle de fluctuation est [0 ; 0,5].

19 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/30 0,0% 11/30 5,5% 21/30 1/30 0,2% 12/30 2,9% 22/30 2/30 0,9% 13/30 1,3% 23/30 3/30 2,7% 14/30 0,5% 24/30 4/30 6,0% 15/30 25/30 5/30 10,5% 16/30 0,1% 26/30 6/30 14,5% 17/30 27/30 7/30 16,6% 18/30 28/30 8/30 15,9% 19/30 29/30 9/30 13,0% 20/30 30/30 10/30 9,1% p = 25 %

20 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/30 0,0% 11/30 5,5% 21/30 1/30 0,2% 12/30 2,9% 22/30 2/30 0,9% 13/30 1,3% 23/30 3/30 2,7% 14/30 0,5% 24/30 4/30 6,0% 15/30 25/30 5/30 10,5% 16/30 0,1% 26/30 6/30 14,5% 17/30 27/30 7/30 16,6% 18/30 28/30 8/30 15,9% 19/30 29/30 9/30 13,0% 20/30 30/30 10/30 9,1% 96,7 % p = 25 %

21 L'intervalle de fluctuation est [0,1 ; 0,4].
4 - Intervalles de fluctuation Détermination L'intervalle de fluctuation est [0,1 ; 0,4].

22 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 11/100 0,0% 21/100 6,3% 31/100 3,4% 12/100 0,1% 22/100 7,5% 32/100 2,5% 13/100 23/100 8,5% 33/100 1,7% 14/100 0,3% 24/100 9,1% 34/100 1,1% 15/100 0,6% 25/100 9,2% 35/100 0,7% 16/100 1,0% 26/100 8,8% 36/100 0,4% 17/100 27/30 8,1% 37/100 0,2% 18/100 28/30 7,0% 38/100 19/100 3,7% 29/100 5,8% 39/100 20/100 4,9% 30/100 4,6% 40/100 11/100 0,0% 21/100 6,3% 31/100 3,4% 12/100 0,1% 22/100 7,5% 32/100 2,5% 13/100 23/100 8,5% 33/100 1,7% 14/100 0,3% 24/100 9,1% 34/100 1,1% 15/100 0,6% 25/100 9,2% 35/100 0,7% 16/100 1,0% 26/100 8,8% 36/100 0,4% 17/100 27/30 8,1% 37/100 0,2% 18/100 28/30 7,0% 38/100 19/100 3,7% 29/100 5,8% 39/100 20/100 4,9% 30/100 4,6% 40/100 25 %

23 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination
Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 95,1 % 11/100 0,0% 21/100 6,3% 31/100 3,4% 12/100 0,1% 22/100 7,5% 32/100 2,5% 13/100 23/100 8,5% 33/100 1,7% 14/100 0,3% 24/100 9,1% 34/100 1,1% 15/100 0,6% 25/100 9,2% 35/100 0,7% 16/100 1,0% 26/100 8,8% 36/100 0,4% 17/100 27/30 8,1% 37/100 0,2% 18/100 28/30 7,0% 38/100 19/100 3,7% 29/100 5,8% 39/100 20/100 4,9% 30/100 4,6% 40/100

24 L'intervalle de fluctuation est [0,17 ; 0,33].
4 - Intervalles de fluctuation Détermination L'intervalle de fluctuation est [0,17 ; 0,33].

25 X a pour espérance m et pour écart-type .
5 - Des mathématiques 5.1 – Espérance et variance de la moyenne d’échantillonnage Soit X1, X2,..., Xn une suite de n variables aléatoires indépendantes de même loi de probabilité admettant pour espérance mathématique m et pour écart-type s. On pose : X =    (X1 + X2 + ... + Xn). _ 1 n _ X a pour espérance m et pour écart-type

26 Loi faible des grands nombres : _
5 - Des mathématiques Des théorèmes 5.2 - Des théorèmes Loi faible des grands nombres : Pour tout e > 0, P (|X - m |  e ) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. _ Théorème limite central : Alors pour n grand, la loi de la moyenne X peut être approchée par la loi normale de paramètres m et _

27 5 - Des mathématiques 5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage
Dans une population statistique, on s’intéresse à une propriété A. On tire un échantillon de taille n. Prenons pour variables Xi, les variables qui, à chaque échantillon, associent la valeur 1 si le i-ème individu possède la propriété A et 0 sinon. _ 1 n   (X1 + X2 + ... + Xn) évalue la proportion de la propriété A dans l’échantillon, notons-la F.

28 5 - Des mathématiques 5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage
Comme l’espérance mathématique des variables aléatoires Xi est égale à p, alors d’après la loi des grands nombres Pour tout e > 0, P (|F - p|  e ) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. La probabilité que F prenne une valeur éloignée de p de moins d’un e fixé à l’avance tend vers 1 lorsque n tend vers l’infini.

29 Pour n grand, la loi de F peut être approchée par
5 - Des mathématiques Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage Comme l’espérance mathématique et l'écart-type des variables aléatoires Xi sont respectivement p et , d’après le théorème limite central : Pour n grand, la loi de F peut être approchée par la loi normale de paramètres p et

30 On cherche un réel a tel que P(p  a  F  p + a) = 0,95
5 - Des mathématiques Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage On cherche un réel a tel que P(p  a  F  p + a) = 0,95 D'après le théorème limite central, pour n assez grand (n  25), la loi de la F peut être approchée par la loi normale de paramètres p et Alors la loi de est approchée par la loi normale centrée, réduite.

31 L'équation P(p  a  F  p + a) = 0,95 devient :
5 - Des mathématiques Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage L'équation P(p  a  F  p + a) = 0,95 devient : La table de la loi normale centrée, réduite donne 95 %

32 L'intervalle de fluctuation est approché par :
5 - Des mathématiques Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage L'intervalle de fluctuation est approché par : Or 1,96 < 2 et pour 0,2  p  0,8, on a donc 0,4   0,5 Ainsi 1, est compris entre 0,8 et 1.

33 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
Finalement l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille n, est approché par l’intervalle : Remarque : Cet intervalle contient l'intervalle :

34 6.1 - Construction d'un abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque 6.1 - Construction d'un abaque On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population.

35 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40, est [0,22 ; 0,52].

36 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.

37 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

38 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.

39 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

40 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

41 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

42 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

43 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

44 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

45 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

46 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

47 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

48 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

49 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

50 6.2 - Utilisation de l'abaque
6 - Estimation par intervalle de confiance Utilisation de l'abaque 6.2 - Utilisation de l'abaque On souhaite estimer la proportion p (inconnue) d'individus présentant une propriété donnée dans une population statistique à partir d'un échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans remise. Supposons que la propriété est observée dans l'échantillon avec une fréquence de 60 %. On détermine ensuite les valeurs de p qui font en sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux échantillons de taille 40 associé à p .

51 6 - Estimation par intervalle de confiance. 6
6 - Estimation par intervalle de confiance Utilisation de l'abaque

52 Intervalle à 95 % de confiance de p
6 - Estimation par intervalle de confiance Utilisation de l'abaque Intervalle à 95 % de confiance de p