Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels

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1 Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels
Diviseur d’un nombre entier naturel Rappel : Un nombre entier naturel est un nombre entier positif Division euclidienne : division d’un entier naturel par un entier naturel Si le reste de la division euclidienne (division d’un entier naturel par un entier naturel) d’un entier a par un entier d est zéro alors d est un diviseur de a. Il existe ainsi un entier k tel que a = d x k

2 2. Diviseurs communs deux entiers naturels
Recherche de diviseurs Exemple : 30 = 1 x 30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30 24 = 1 x 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 Pour chercher les diviseurs d’un nombre on recherche toutes les façons possibles d’écrire l’entier a sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers naturels

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4 b) Recherche de diviseurs communs

5 c) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
a et b désignant deux nombres entiers. On note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs communs à a et b. Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession de divisions euclidiennes de l’Algorithme d’Euclide. Ex : PGCD (252 ; 360) 360 : 252 = 1 reste 108 252 : 108 = 2 reste 36 108 : 36 = 3 reste 0 Le PGCD (252 ; 360) = 36 Le PGCD peut se calculer en décomposant les nombres sous forme de facteurs premiers.

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7 d) Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Ne pas confondre : Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par 1 et lui-même. Ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; … e) Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels. Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b non nuls est un diviseur de leur somme, de leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b.

8 2. Simplification de l’écriture d’un rationnel (fraction irréductible)
On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Ex : PGCD (10 ; 7) = 1 donc fraction irréductible PGCD ( 221 ; 69) = 1 donc fraction irréductible Lorsque l’on veut simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par le PGCD de ces deux nombres. Ex : simplifier PGCD (360 ; 252) = 36

9 3. Quelques rappels Division euclidienne b) Multiples
C’est la division de deux nombres entiers naturels a b a = b x q + r r q r < b b) Multiples Le naturel a est multiple de b signifie qu’il existe un nombre entier k tel que: a = b x k a est un multiple de b et b est un diviseur de a. ex : 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12 Propriétés Si les naturels a et b sont multiples de c alors a + b aussi. a > b; si a est multiple de b et si b est multiple de c alors a est multiple de c.