Les mouvements sur la Sphère

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1 Les mouvements sur la Sphère

2 Définitions: le Grand-Cercle
= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

3 Définitions: le Grand-Cercle
= intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

4 Définitions: le Petit-Cercle
= intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...

5 Définitions: le Petit-Cercle
... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

6 Définitions: le Petit-Cercle
... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

7 Définitions: le Repère Géocentrique
La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par: - r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km. - l: la latitude = angle entre le vecteur position du   point et le plan équatorial. - f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S. Pôle Nord (r,l,F) -90° ou 270° 90° (E) 0° f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est l: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud N.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)

8 Quelques outils

9 Trigonométrie Sphérique

10 Trigonométrie Sphérique

11 Trigonométrie Sphérique
Nota: la somme a + b + g est toujours supérieure à 180°

12 Trigonométrie Sphérique
Formule des sinus:

13 Trigonométrie Sphérique
Formule des cosinus:

14 Trigonométrie Sphérique
Aire du triangle sphérique e Soit par les angles au sommet: Soit par les longueurs des côtés: Nota: l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.

15 Trigonométrie Sphérique - Applications
1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ? 2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ? 3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?

16 Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

17 Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

18 Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

19 Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

20 d = 80.6° ≈ 8960 km d Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Formule des cosinus:

21 Trigonométrie Sphérique - Applications
Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Az Az = 41.2° (W) Formule des sinus:

22 Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie
Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie

23 Orthodromie

24 Loxodromie

25 Produit Scalaire r

26 Produit Scalaire Vecteur position a r

27 Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b r

28 r Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b
Produit scalaire a.b d’où:

29 Produit Vectoriel Vecteur position a Vecteur position b
Produit vectoriel a L b (ou a x b)

30 B A Déplacement sur la sphère
Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ? B A

31 ?? B A Déplacement sur la sphère
Ce mouvement peut-il être rectiligne ? ?? B A

32 B B A A Tout déplacement sur une sphère est une rotation
En aucune manière... il s’agit d’une rotation.

33 B A Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler
Angle d’Euler B A C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler ( ), mathématicien suisse.

34 B ?? A Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler
Angle d’Euler B ?? Remarques: la rotation d’Euler est une rotation finie elle décrit le mouvement le plus court de A à B elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B (pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...). A

35 Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

36 Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

37 Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

38 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

39 O x y z x’ l11 l12 l13 Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij O x y z x’ l11 l12 l13 Que l’on peut réécrire:

40 O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 Changement de repère
Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 Que l’on peut réécrire:

41 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 =                 "                  "                "         Y l33 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 z’ l31 l32 l33 Que l’on peut réécrire:

42 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 =                 "                  "                "         Y l33 =                 "                  "                "         Z Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 z’ l31 l32 l33 Que l’on peut réécrire: C’est la matrice de transformation [TM]

43 Changement de repère Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’): ou: ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

44 Changement de repère On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée: et: P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’) À noter:

45 Rotation 2D

46 Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

47 Rotation 3D – règle du trièdre direct
Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

48 Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z

49 Rotation 3D à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) : Rx(q) tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry(q) tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz(q) tourne l'axe X vers l'axe Y.

50 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes q

51 P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)
Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 1: Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec: Z’ aligné sur le Pôle d’Euler X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’ Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’) Dans ce repère, le point P a pour coordonnées: q ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

52 P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)
Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 2: Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant Rz(q): q ou: P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z) à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans le repère (X’,Y’,Z’):

53 P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)
Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 3: Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée: q Soit: P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)

54 Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs: [TM]T Rz(q) [TM]

55 125 Ma Rotation Eulérienne
Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé... 125 Ma ... le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation ... !!