Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 1 Implémentation en précision finie modélisation et recherche de réalisations optimales.

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1 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 1 Implémentation en précision finie modélisation et recherche de réalisations optimales Thibault HILAIRE 1,3 - Philippe CHEVREL 1,2 Yvon TRINQUET 1 - Jean Philippe CLAUZEL 3 1 IRCCyN, 2 École des Mines de Nantes, 3 PSA Peugeot Citro ë n GdR MACS : GT MOSAR et GT SAR Lille, le 10 juin 2005

2 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 2 Plan général I. Contexte II. Problématique FWL III. Forme implicite spécialisée IV.Mesure de sensibilité V. Exemples VI. Conclusion

3 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 3 I. Contexte Thèse Th. HILAIRE financée par PSA Lois de contrôle/commande LTI implémentées (mises en œuvre numériquement) dans un calculateur numériquement contraint –Calculs en précision finie (virgule fixe) –Problématique venant du domaine automobile (PSA) Problématique "temps réel" Problématique numérique –Dégradation de la loi lors de l'implémentation Modification des caractéristiques Modification des performances  Comment ma î triser et minimiser cette dégradation ?

4 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 4 Plan général I. Contexte II. Problématique FWL –1. Présentation générale –2. Méthodologie "logicielle" –3. Méthodologie "automatique" –4. Exemples d'implémentation III. Forme implicite spécialisée IV.Mesure de sensibilité V. Exemples VI. Conclusion

5 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 5 II.1 Présentation générale Calculs en précision finie (Finite Word Length) –On considère principalement la représentation des nombres en virgule fixe (par opposition à la virgule flottante) –Le pas de quantification est fixé –La dynamique des variables est limitée et figée nombre entier (signé ou non) sur b bits entier représentant le facteur d'échelle 11001100110100010…10110……, 819,26562.… approximé par 819,25 (4 bits derrière la virgule)

6 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 6 II.1 Présentation générale La dégradation FWL a deux origines 1.Quantification des coefficients mis en jeu 2.Bruits de quantification qui apparaissent dans les calculs (dus aux arrondis)

7 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 7 II.1 Présentation générale Deux points de vue –Point de vue "logiciel" Choix d'un code logiciel permettant de réaliser au mieux un ensemble d'équations mathématiques (augmenter la précision, diminuer le coût de calcul) –Point de vue "automatique" Choix des équations mathématiques les mieux adaptées pour l'implémentation Ces points de vue sont complémentaires, mais peu confrontés

8 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 8 II.2 Techniques du logiciel Consiste principalement –À traduire en code un ensemble d'équations mathématiques, en prenant en compte les contraintes de précision Méthodologie de conversion automatique de code en virgule flottante vers du code en virgule fixe[Kedi98],[Kim98] Choix du positionnement de la virgule, gestion des overflow, underflow –À évaluer la dégradation due à la virgule fixe Evaluation du Rapport Signal à Bruit de Quantification Analytiquement (dans certains cas) ou par la simulation[Mena02] –À choisir la forme du calcul Il est possible d'émuler un calcul à une précision supérieure, au détriment du temps de calcul –(Ex: calculs 32 bits sur un calculateur 16 bits) Utilisation de techniques logicielles pour diminuer la dégradation

9 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 9 Plan général I. Contexte II. Problématique FWL –1. Présentation générale –2. Méthodologie "logicielle" –3. Méthodologie "automatique" Modélisation Analyse : mesures de sensibilité et du bruit de quantification Opérateur  –4. Exemples d'implémentation III. Forme implicite spécialisée IV.Mesure de sensibilité V. Exemples VI. Conclusion

10 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 10 II.3 Modélisation Lois de contrôle/commande : Filtres / Régulateurs LTI Cartographies Régulateurs LPV Etc. –Lois caractérisées par leur relation entrée(s)/sortie(s) (avec calcul d'un état) On ne s'intéressera ici qu'au cas LTI

11 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 11 II.3 Modélisation Cas LTI : Pour une loi donnée, il existe une infinité de réalisations équivalentes (par exemple, par changement de base). En précision finie, ces réalisations ne sont plus équivalentes La dégradation dépend de la réalisation choisie Il convient donc de rechercher, parmi les réalisations possibles, celles qui minimisent un critère caractérisant la dégradation FWL

12 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 12 II.3 Sensibilité de la fonction de transfert vis à vis des coefficients On ne considère que la quantification des coefficients (les calculs sont supposés exacts) Pour un système (A,B,C,D) de fonction de transfert H(z) [Geve93] propose une mesure de sensibilité Le problème de recherche de réalisation "optimale" s'écrit

13 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 13 II.3 Sensibilité vis à vis des coefficients D'autres mesures de sensibilité vis à vis des coefficients sont étudiées : Sensibilité des pôles/zéros [Geve93],… Sensibilité de la stabilité (en boucle fermée)[Iste01] Sensibilité des pôles en boucle fermée[Wu00] Autres mesures dérivées

14 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 14 II.3 Bruits de quantification On ne considère que les bruits de quantifications dus aux calculs (les coefficients sont représentés exactement) Hypothèses de réalisation des calculs –Roundoff Before Multiplication –Roundoff After Multiplication On étudie la variance de l'erreur de sortie (entre réalisation exacte et réalisation implémentée) –Dans le cas RBM, la variance s'exprime en fonction du Grammien d'observabilité

15 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 15 II.3 Bruits de quantification Les hypothèses de calcul sont tout de même réductrices –Pas de prise en compte de la taille des calculs (nb de bits) –Pas de prise en compte de la méthode de représentation des coefficients et du vecteur d'état –Quelques cas spécifiques (réinjection de la partie tronquée Residue Feedback, …) sont traités –Différent types d'arrondis (roundoff, truncate, …)

16 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 16 II.3 Opérateur  On considère d'autres réalisations Opérateur  Réalisations équivalentes avec [Midd90]

17 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 17 II.3 Opérateur  On montre que les réalisations en  sont mieux conditionnées numériquement –Sensibilité de la fonction de transfert et de la stabilité vis à vis des coefficients est meilleure en  qu'en q, dès que ∆<1 –Nouvelles mesures de sensibilité pour les réalisations en  –Études, comparaisons de réalisations en q et en 

18 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 18 II.4 Exemples d'implémentation Par exemple, on considère un système du 2 nd ordre Une 1 ère façon (la plus naturelle) d'implémenter serait : On peut aussi utiliser une représentation dans l'espace d'état minimale. Le choix de l'espace est important (forme canonique, forme équilibrée, …)

19 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 19 II.4 Exemples d'implémentation On peut aussi écrire l'algorithme en utilisant l'opérateur  Ou bien encore avec une forme retour d'état/observateur Pour chaque forme, les coefficients implémentés ne sont pas les mêmes, les effets de la quantification sont diff é rents Choix de la réalisation

20 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 20 II.4 Exemples d'implémentations En plus de la structure, il est aussi possible d'agencer les calculs de différentes façons –Ex: Calcul émulé 32b Une implémentation : des coefficients (paramétrisation) une structure de calculs

21 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 21 II.4 Problèmes ouverts Les travaux théoriques de l'Automatique ne prennent pas en compte les solutions algorithmiques souvent mises en oeuvre –Rapprochement des deux approches automatique/informatique –Savoir qualifier des techniques/algorithmes existants Les coefficients implémentables exactement (0, ±1, puissances de 2, …) ne sont pas pris en compte Cas MIMO Méthodologie d'implémentation

22 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 22 Plan général I. Contexte II. Problématique FWL III. Forme implicite spécialisée –1. Recherche d'un modèle plus réaliste –2. Forme implicite spécialisée –3. Exemples IV.Mesure de sensibilité V. Exemples VI. Conclusion

23 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 23 III.1 Recherche d'un modèle plus réaliste On recherche un modèle macroscopique suffisamment général et davantage représentatif de l'implémentation –Prise en compte des diverses possibilités d'algorithmes et de réalisations (q, , retour d'état observateur, …) : formalisme unificateur –Relation avec le code plus explicite

24 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 24 III.1 Forme implicite spécialisée On propose de décrire les diverses possibilités d'algorithmes Calculs des variables intermédiaires Calculs de l'état Calculs des sorties

25 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 25 III.1 Forme implicite spécialisée Variables intermédiaires –Il est int é ressant de faire appara î tre explicitement tous les calculs r é alis é s, ainsi que les variables interm é diaires utilis é es –Cela permet de distinguer/s é parer des calculs r é alis é s diff é remment, afin de les caract é riser Exemple : r é alisation en 

26 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 26 III.1 Forme implicite spécialisée Forme implicite spécialisée : T k est une variable intermédiaire

27 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 27 III.1 Forme implicite spécialisée Forme implicite –L'état ou la sortie pouvant être calculé à partir des variables intermédiaires, cela implique une forme implicite –Une variable intermédiaire peut être calculée à partir d'une autre variable intermédiaire préalablement calculée, le calcul de T s'écrit –J n'a pas à être inversée avec

28 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 28 III.1 Forme implicite spécialisée Forme implicite spécialisée : Réutilisation des variables intermédiaires Forme implicite classique

29 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 29 III.1 Forme implicite spécialisée On peut la rendre explicite D'où une fonction de transfert H(z) avec

30 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 30 III.4 Exemples Réalisations en  Une réalisation en  s'exprime comme une réalisation implicite non minimale avec l'opérateur q

31 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 31 III.4 Exemples Réalisations cascade

32 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 32 III.4 Exemples Retour d'état observateur Une réalisation possible :

33 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 33 III.4 Exemples La forme implicite spécialisée permet bien –une meilleure représentativité de la mise en œuvre numérique –d'unifier des représentations diverses Il faut ensuite mettre en place des critères génériques de qualité permettant d'évaluer l'impact de l'implémentation –Co û t de calcul –Sensibilit é à la quantification des coefficients –Bruits de quantification –…

34 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 34 Plan général I. Contexte II. Problématique FWL III. Forme implicite spécialisée IV.Mesure de sensibilité V. Exemples VI. Conclusion

35 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 35 IV. Mesure de sensibilité Maintenant que l'on peut exprimer tous les coefficients qui entrent en jeu dans une mise en œuvre numérique, il est intéressant d'exhiber une mesure de sensibilité de la fonction de transfert vis à vis des coefficients mis en jeu Par analogie avec [Geve93], on propose une 1 ère mesure avec est strictement propre est indépendant de toute transformation

36 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 36 IV. Mesure de sensibilité Il faut ensuite prendre en compte les coefficients qui vont être quantifiés pour l'implémentation –Dans la forme implicite spécialisée, de nombreux coefficients sont nuls ou égaux à 1 et n'ont pas à être implémentés –Certains coefficients (puissances de 2, …) peuvent être représentés exactement À une matrice X de coefficients, on associe une matrice de pondération W X

37 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 37 IV. Mesure de sensibilité On pose la matrice des normes des sensibilités par rapport aux éléments de X La précédente mesure s'écrit : On pondère cette mesure : produit direct

38 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 38 IV. Mesure de sensibilité Cette mesure peut aussi s'écrire avec

39 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 39 Plan général I. Contexte II. Problématique FWL III. Forme implicite spécialisée IV.Mesure de sensibilité V. Exemples VI. Conclusion

40 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 40 V.1 Exemples On considère la fonction de transfert suivante –Ce filtre choisi car il possède un triple zéro pour z=-1, et que la position des zéros est donc très sensible par rapports aux coefficients implémentés [Geve93],[Hwan77] Comparaison de différentes réalisations (par rapport à leur sensibilité paramétrique et à leur coût de calcul)

41 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 41 V.1 Exemples réalisation canonique, opérateur q Sensibilité (A,B,C non pondérés)

42 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 42 V.1 Exemples réalisation canonique, opérateur q Sensibilité (A,B,C pondérés)

43 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 43 V.1 Exemples réalisation équilibrée (opérateur q) Sensibilité [Geve93]

44 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 44 V.1 Exemple Réalisations avec l'opérateur  –On choisit ∆=0.5 –On étudie les différentes réalisations, parmi celles équivalentes par changement de base

45 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 45 V.1 Exemple Réalisation avec l'opérateur  –Forme canonique

46 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 46 V.1 Exemple On a vu que, pour les deux structurations (en q et en  ), on pouvait obtenir des réalisations équivalentes par un changement de base sur les matrices systèmes A,B,C,D –Classes et sous-classes de réalisations équivalentes On cherche donc le changement de base qui minimise la mesure de sensibilité –Problème d'optimisation –Utilisation d'un algorithme de recuit simulé adaptatif

47 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 47 V.1 Exemple Réalisation optimale, structuration en q Sensibilité

48 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 48 V.1 Exemple Réalisation optimale avec l'opérateur 

49 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 49 V.1 Exemple Comparaisons RéalisationMesure sensibilité"nb opérations" q canonique93.726x 6+ q équilibrée7.9416x 16+ q optimale7.8716x 16+  canonique 9.019x 9+  optimal 4.5620x 16+ Autres critères pertinents : - taille mémoire utilisée, lisibilité des calculs, flexibilité (face aux changement des paramètres signifiants), généricité

50 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 50 VI. Conclusion État de l'art –Problèmatique FWL Un résultat clé : la forme implicite spécialisée –Formalisme unificateur –Forme macroscopique plus représentative des calculs mis en œuvre –Cela ouvre le champ de l'analyse et la synthèse d'implémentations Des illustrations

51 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 51 VI. Conclusions Réflexions en cours –Caractérisations de classes d'équivalences élargies –Efficacité de la synthèse d'implémentation optimisée –Outils d'analyse et d'aide à la conception –Prise en compte du bruit de quantification –Extension au cas LPV

52 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 52 VI. Conclusions

53 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 53 VIII. Références [Kedi98]H. Keding, M. Willems, M. Coors, and H. Meyr, "FRIDGE : A fixed-point design and simulation environment", EDAA, 1998 [Kim98]S. Kim, K. Kum, and W. Sung, "Fixed-point optimization utility for C and C++ based digital signal processing programs", IEEE Transactions on Circuits and Systems, vol. 45, pp. 1455-1464, November 1998. [Mena02]D. Ménard, "Méhodologie de compilation d'algorithmes de traitement du signal pour les processeurs en virgule fixe sous contrainte de précision". PhD thesis, ENSSAT, december 2002. [Geve93]M. Gevers and G. Li, "Parametrizations in Control, Estimation and Filtering Probems". Springer- Verlag, 1993. [Iste01]R. Istepanian and F. Whidborne, eds., "Digital Controller implementation and fragility". Springer, 2001. [Wu00]J. Wu, S. Chen, R. Istepanina, and J. Chu, "Shift and delta operator realizations for digital controllers with finite-word-length considerations", IEE Proc. Control Theory and Applications, 2000. [Will92]D. Williamson, "Digital Control and Implementation, Finite Wordlength Considerations". Prentice- Hall International Editions, 1992.

54 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 54 A. Sensibilité vis à vis des coefficients En SISO, on a

55 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 55 B. Sensibilité des pôles/z é ros vis à vis des coefficients Si on note ( ) k et (µ) k les pôles et zéros de H(z), on peut s'intéresser à leur sensibilité face aux coefficients mis en jeu Plusieurs mesures sont proposées[Geve93],… et les mesures dérivées (différentes pondérations)

56 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 56 C. Stabilité boucle fermée Des mesures de stabilité en boucle fermée[Iste01],… plant controller avec i (A) est la i ème valeur propre de A

57 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 57 D. Dérivation matricielle Soient et une fonction différentiable selon tous les éléments de X La sensibilité de f vis à vis de X est définie par peut être vu comme une matrices d'éléments de

58 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 58 D. Dérivée matricielle Pour le calcul de la sensibilité, on utilisera la notation Soit G et H deux matrices (ou fonctions de transfert) de taille m,p et q,n. Soit X une matrice de taille p,q On suppose G et H indépendant vis à vis de X On a alors :

59 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 59 D. Dérivée matricielle On peut montrer que avec

60 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 60 E. Terminologie Réalisation R Valeurs spécifiques des matrices de la forme implicite spécialisée Réalisations R H d'une fonction de transfert H(z) Ensembles de réalisations ayant H(z) pour fonction de transfert Ces fonctions sont dites equivalentes, de part leur même relation entrées/sorties

61 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 61 E. Terminologie Structuration S Ensembles de réalisations qui ont une structure particulière : certains coefficients sont fixés a priori Ex : structuration en  Réalisation structurée Ensemble des réalisations d'une fonction de transfert H(z) sous une même structure

62 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 62 E. Problèmes de réalisations optimales Soit H(z) une fonction de transfert à réaliser et M une mesure de la qualité vis à vis de l'implémentation d'une réalisation (comme la sensibilité de la fonction de transfert vis à vis des coefficients, par exemple) Le problème de recherche de réalisations optimales (optimal design) consiste à trouver la (ou les) réalisations R opt de la fonction de transfert H selon la mesure M Ce problème est difficile, vu la taille de R H

63 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 63 E. Problèmes de réalisations optimales Il peut être alors interessant de considérer un sous-problème : la recherche de réalisations optimales pour une structuration donnée. Pour une structuration donnée (ordre fixé), on peut souvent exprimer à partir d'un élément et de changements de base

64 Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes 64 II.4 Bruits de quantification On définit et Variance d'erreur de sortie [Will92],[Geve93],… Pour l'arrondi avant la multiplication, la variance d'erreur de sortie est donnée par le Grammien d'observabilité