1 CSI 4506: Introduction à l’Intelligence Artificielle Representation et Logique II.

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1 1 CSI 4506: Introduction à l’Intelligence Artificielle Representation et Logique II

2 2 Partie II Le Calcul avec Predicats, PC

3 3 Plan du Cours Survol Syntaxe Semantique Traduction de phrases de langage naturel en Logique Lois d’equivalence Preuve de theoremes automatisee: 1. Conversion en forme clausale 2. Unification 3. Resolution par Refutation Strategies de controle pour methodes de Resolution: – Breadth-First – Set-of-Support – Linear-Input Form Extraire des reponses de la Resolution par Refutation

4 4 Survol (1) Un predicat est utilise pour decrire les proprietes et les relations d’objets arbitraires Examples: block17 et table45 sont un bloc particulier et une table particuliere red(block17): Le predicat “red” indique que block17 a la propriete d’etre rouge. on(block17, table45): le predicat “on” indique que block17 et table45 sont dans une relation telle que le block17 est sur la table45.

5 5 Survol (2) Une assertion quantifiee est une assertion qui s’applique a une classe d’objets. –   Quantificateur Universel –   Quantificateur Exsistentiel Examples: –  x on(x, table45)  red(x) –  x on(x, table45)  red(x)

6 6 Syntaxe pour PC (1) Objets = termes Les termes sont construits a partir de fonctions (f,g,…), constantes (A, B,C…) et variables (x,y,z,…) wffs sont construits a partir de termes, predicats et quantificateurs. Entites de base: – Pour tout entier n>0, un ensemble de predicats d’arrite n – Pour tout entier n>0, un ensemble de fonctions d’arrite n – Un ensemble de termes constants – Un ensemble de termes variables

7 7 Syntaxe pour PC (2) Tous les termes: – Les constantes et les variables sont des termes – F(t1, t2,…tn) est un terme si f est une fonction d’arrite n et les ti’s sont des termes Tous les wffs: – Les assertions atomiques – A1  A2,…  An ou les Ai’s sont des wffs – A1  A2, …  An ou les Ai’s sont des wffs –  A ou A est une wff – A  B et A  B ou A et B sont des wffs –  x1, … xn A ou A est une wff –  x1, … xn A ou A est une wff

8 8 Definitions La portee d’un quantificateur dans une formule est la portion de la formule a laquelle le quantificateur s’applique Une variable est libre si elle n’est pas dans la portee d’un quantificateur. Une wff est fermee si elle ne contient pas de variable libre Un terme ou un wff sur terre (ground term) ne contiennent pas de variable du tout (Voir exemples en classe)

9 9 Semantique pour PC (1) Entailment: Si un wff a la valeur T(rue) sous toutes les interpretations dans lesquelles chacun des wffs d’un ensemble  a la valeur T, alors on dit que  entaille w logiquement et que w derive logiquement de  et que w est une consequence logique de . Notation:  |= w (Voir Example en Classe)

10 10 Semantique pour PC (2) I est un model d’une wff  ( I |=  ) sous les conditions suivantes: – I |= p(t1,…, tn) ssi  M2(p) – I |= (  1   2) ssi I |=  1 et I |=  2 – I |= (  1   2) ssi I |=  1 ou I |=  2 – I |=   ssi I |   M1 assigne des valeurs du domaine, D, aux termes, ti’s, et M2 assigne a tout symbole de predicat d’arrite n un ensemble de n-tuples. L’interpretation de formules quantifiee se fait en substituant les variables quantifiees par les elements du domaines (Voir Exemple en Classe)

11 11 Traduction de Phrases en langage naturel en Logique All purple mushrooms are poisonous No purple mushroom is poisonous All mushrooms are either purple or poisonous All mushrooms are either purple or poisonous but not both All purple mushrooms except one are poisonous (Voir les traductions en Classe)

12 12 Lois d’Equivalence en PC  Meme Lois que pour P  +   x A   (  x  A)   x A   (  x  A) (Voir exemple en classe)

13 13 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (1) Il y a trois etapes pour la preuve de theoreme automatisee en PC : – La Conversion des formules en forme clausale – L’Unification – La resolution par Refutation Nous allons discuter de chacunes de ces etapes separement

14 14 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (2) Conversion en forme Clausale: Algorithme en 9 Etapes: 1. Eliminer les symboles d’implication 2. Reduire les portees des symboles de negation 3. Standardiser les variables de maniere a ce que chaque quantificateur ne s’attache qu’a une seule variable 4. Eliminer les quantificateurs existentiels en utilisant une fonction Skolem. Note Importante: Si le quantificateur existentiel de y est a l’interieur de la portee d’un quantificateur universel sur x, il faut permettre la possibilite que l’existence de y depend de la valeur de x.

15 15 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (3) Conversion en forme Clausale: Algorithme en 9 Etapes: 5. Conversion en format Prenex i.e., tous les quantificateurs universels doivent aller au debut de la wff et la portee de chaque quantificateur doit s’appliquer a la wff toute entiere. 6. Metter la matrice en CNF (Forme Normale Conjonctive) (en utilisant la loi de distributivie de maniere repetee) 7. Laisser tomber les quantificateurs universels (juste pour clarifier les expressions. En fait, ils sont toujours la) 8. Eliminer les symboles: , en coupant les expressions 9. Renommer les variables pour avoir des noms differents d’une clause a l’autre.

16 16 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (4) Unification Lorsque l’on prouve des theoremes qui incluent des formules quantifiees, il est souven necessaire de creer une correspondence entre des sous-expressions Exemple: Afin d’appliquer une combinaison du Modus Ponent et de las Specialisation/Instatiation Universelle (voir diapo suivante) a la base de donnees: Il est necessaire de trouver la substitution “A pour x” qui rend W1(x) et W1(A) identiques. Ce processus s’appelle l’Unification

17 17 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (5) Unification: L’instantiation Universelle est une regle d’inference qui nous permet de substituer n’importe quel terme a toute apparition de variable quantifiee: 1. (  x) A 2. A’ dans lequel toutes les apparitions de x dans A ont ete remplacees par un terme quelconque, t UI: x  t, 1 Une instance de substitution d’une expression est obtenue en substituant des variables par des termes dans cette expression.

18 18 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (6) Unification: Les substitutions doivent etre telles que: – Chaque apparition de variable est substitue par le meme terme. – Aucune variable ne peut etre remplacee par un terme qui la contient Notation pour les substitutions: {terme substitue/variable a remplacer} Voir les exemples en Classe

19 19 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (7) Unification Definition: Si une substitution s est appliquee a tous les membres d’un ensemble {Ei} d’expressions, on denote l’ensemble des instances de substitutions par {Ei}s. On dit que l’ensemble {Ei} d’expressions est unifiable s’il existe une substitution s telle que E1s=E2s=E3s… Dans un tel cas, on dit que s est un unificateur de {Ei} Definition: L’Unificateur le plus general (mgu) est l’unificateur le plus simple. (Voir exemples en classe)

20 20 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (8) Unification Definition: Soit p et q des expressions representant des arbres. La premiere difference entre p et q correspond aaux premiere sous- expressions qui different lors de recherches DF faites en parallele dans les deux arbres. L’algorithme d’unification est donne p. 71 de Manuel de cours. Avant de l’appliquer, on transforme les deux expressions en arbres (Voir exemple en Classe)

21 21 Preuve de Theoreme Automatisee en PC (9) Resolution Refutation: 1. On prend le negatif du but 2. On utilise les regles d’inference de Resolution et d’Unification de maniere repetitive jusqu’a ce que l’on arrive a une tautologie  Succes! (Voir exemple en classe)

22 22 Strategies de Controle pour les Methodes de Resolution par Refutation (1) Nous allons etudier trois strategies de controle: – Strategie Breadth-First (BF)  Complete mais tres inefficace – Strategie du Set-of-Support  Complete et plus efficace que la strategie BF – Strategie Linear Input Form  Incomplete mais simple et efficace

23 23 Strategies de Controle pour les Methodes de Resolution par Refutation (2) Strategie Breadth First: Toutes les resolutions de premier niveau sont, tout d’abord, calculees; Ensuite, on calcule toutes les resolutions de second niveau, puis celle de troisieme niveau, etc…  Complete mais tres inefficace!!!!! (Voir exemple en Classe)

24 24 Strategies de Controle pour les Methodes de Resolution par Refutation (3) Strategie Set-of-Support: Au moins l’un des parents de chaque resolution est selectionne dans l’ensemble des clauses resultant de la negation du but ou de leurs descendants. Cet ensemble s’appelle l’ensemble de support (Set-of- Support)  Complete et plus efficace que Strategie BF (Voir exemple en Classe)

25 25 Strategies de Controle pour les Methodes de Resolution par Refutation (4) Strategie Linear-Input Form Chaque resolution a au moins un parent appartenant a l’ensemble de depart.  Incomplete mais simple et efficace (Voir exemple en Classe)

26 26 Extraire des Reponses de la Resolution par Refutation (1) Methode: Pn veut convertir un arbre de refutation (don’t la racine a la valeur NIL) en un arbre de preuve contenant une assertion a la racine qui peut etre utilisee comme reponse. Exemple: 1. Pour tout x et y, si x est le parent de y et y le parent de z alors x est le grand-parent de z 2. Tout le monde a un parent Question: Existe-t-il des individus x et y tels que x est le grand-parent de y?

27 27 Extraire des Reponses de la Resolution par Refutation (2) Methode de resolution: 1. Convertir le texte en texte logique 2. Convertir le texte logique en fomat clausal 3. Construire l’arbre de resolution par refutation 4. Rajouter le But a sa negation et modifier l’arbre de refutation (Voir solution de l’exemple en classe)