1 Introduction à la théorie des tests. 2 Plan I- choix entre 2 paramètres de tendance centrale Choix entre 2 proportions pour un caractère qualitatif.

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1 1 Introduction à la théorie des tests

2 2 Plan I- choix entre 2 paramètres de tendance centrale Choix entre 2 proportions pour un caractère qualitatif Choix entre 2 moyennes pour les variables quantitatives II- Comparaison des distributions

3 3 Choix entre deux paramètres de tendance centrale

4 4 Choix entre deux proportions

5 5

6 6

7 7

8 8 Cas N°1 : n et  connus =>  et  à déterminer

9 9 Choix entre deux proportions Cas N°1 : n et  connus =>  et  à déterminer p o = 0.10 p 1 = 0.15 n = 900  = 0.025  = 0.1196  = 0.0054 => Ce qui permet de conclure : p o = 0.10 p 1 > 0.15 n = 900  = 0.025  = 0.1196  < 0.0054 =>

10 10 Choix entre deux proportions Cas n°2  et  connus => n et  à déterminer

11 11 Choix entre deux proportions Cas N°2  et  connus => n et  à déterminer p o = 0.10 p 1 = 0.15  = 0.1196  = 0.025 => n = 900  = 0.0054 p o = 0.10 p 1 > 0.15  = 0.1196  = 0.025 => n = 900  < 0.0054 Ce qui permet de conclure :

12 12 Choix entre deux proportions Cas n° 3  n et  connus =>  et  à déterminer

13 13 Choix entre deux proportions I-2 Résolution simultanée des 2 problèmes de distribution d’échantillonnage (  et  connus)

14 14 Choix entre deux proportions I-3 Décision finale

15 15 Choix entre deux moyennes Exemple : montant moyen des factures H 0 : la population mère suit une loi inconnue de moyenne M 0 = 5 000 et  = 2 000 H 1 : la population mère suit une loi inconnue de moyenne M 0 = 5 500 et  = 2 100 Dans l’hypothèse H 0 Dans l’hypothèse H 1

16 16 Choix entre deux moyennes Dans l’hypothèse H 0 Dans l’hypothèse H 1 Ces 2 pbs d’échantillonnage comportent 2 paramètres communs : n et 

17 17 Choix entre deux moyennes Cas N°1 : n et  connus,  et  à déterminer N =900 et  = 0.01 =>  = 5 155 Le risque de 2 ième espèce se calcule alors facilement : t  = (5155-5500)/70=-4.93 => la table 3.b montre que   < 0.001 On a donc : M 0 = 5000  0 = 2000 M 1 = 5500  1 = 2100 n = 900 =>  = 5155 et  <0.001

18 18 Choix entre deux moyennes Cas N°2 :  et  connus,  et n à déterminer

19 19 Choix entre deux moyennes Cas N°2 :  et  connus,  et n à déterminer - schéma récapitulatif

20 20 II- Comparaison de 2 distributions Problématique : adéquation d’une distribution observée avec une distribution théorique H 0 : l’échantillon est tiré d’une population caractérisée par la distribution théorique Démarche : accepter H 0 ou rejeter H 0 –On calcule un indicateur d’écart –Cette valeur calculée est comparée à une valeur critique lue dans une table=> on accepte ou on rejette H 0

21 21 II- Test du  ² Caractère quantitatif Cas de variables discrètes –Adéquation d’une distribution observée avec une loi de Poisson de paramètre 1.7

22 22 Test du  ²- Caractère quantitatif Calcul de l’indicateur  ² cal –On calcule p(X= x i ) d’après la loi théorique –On calcule n x pi –On regroupe les classes si n x pi <5 –On calcule  ² cal –Nb de degrés de liberté = nb de classes ( après regroupement ) – 1 – nb de param estimés => lecture du  ² théorique

23 23 Test du  ²- Caractère quantitatif Caractère quantitatif Cas de variables continues –Adéquation d’une distribution empirique avec une loi Normale Démarche : –on centre et réduit les variables –On calcule les probabilités théoriques p i d’après la table de la loi normale –On calcule  ² cal –On calcule le nb de degrés de liberté = nb de classes - 1- nb de paramètres estimés

24 24 Test du  ²- Caractère quantitatif Distribution observée des 900 chèques à une loi normale (5232, 1972)