SUR LE ROLE DES CIRCUITS DANS LES RESEAUX DE GENES Christophe Soulé IHES, 18 Mars 2010.

Présentation au sujet: "SUR LE ROLE DES CIRCUITS DANS LES RESEAUX DE GENES Christophe Soulé IHES, 18 Mars 2010."— Transcription de la présentation:

1 SUR LE ROLE DES CIRCUITS DANS LES RESEAUX DE GENES Christophe Soulé IHES, 18 Mars 2010

2

3

4

5 Problème : Quelles propriétés dynamiques d’un réseau de gènes peut-on inférer de la topologie du graphe d’interactions associé (en l’absence de données quantitatives sur ces interactions)?

6

7

8 Modèle différentiel Soit n un entier et = { suites de n nombres réels}. Fixons une application différentiable, et considérons le système d’équations différentielles [[ Pour tout est la concentration de la protéine au temps.]]

9 On s’intéresse aux états stationnaires de ce système, c’est-à-dire aux zéros de la fonction F. Un zéro x de F est dit non-dégénéré si la matrice jacobienne JF(x) est inversible.

10 Soit G(x) le graphe à n sommets possédant une arête positive (resp. négative) de i vers k si la dérivée partielle est positive (resp. négative).

11 Théorème : Supposons que F possède deux zéros non dégénérés. Alors il existe un point x tel que le graphe G(x) contienne un circuit positif.

12 Conjecture (Thomas) : La présence d’un circuit négatif de longueur au moins deux est une condition nécessaire à la stabilité périodique.

13 Théorème (Richard-Comet) : Si le système dx/dt = F(x) possède une solution périodique stable, le graphe G contient un circuit négatif de longueur au moins deux. Soit G la réunion des graphes G(x).

14

15 Modèle Booléen Soit  = {0,1} n et F :  une application quelconque. Un état stationnaire est un point fixe de F. [[ Un point de  indique quels gènes sont actifs au temps t, et son image par F indique quels gènes sont actifs au temps t+1]]

16 Si x est un point de  et i un entier entre 1 et n, on note y le point de  qui a les mêmes coordonnées que x sauf sa i-ème coordonnée. Le graphe G(x) possède une arête positive (resp. négative) de i vers k si F(x) k est différent de F(y) k et x i égale (resp. diffère de) F(x) k. Le graphe d’interaction G(x) est défini comme suit: il a n sommets.

17 Théorème (Rémy-Ruet-Thieffry) : Si F possède plusieurs états stationnaires il existe un point x dans  tel que G(x) contienne un circuit positif.

18 Théorème (Richard) : Si F possède un attracteur cyclique, le graphe G contient un circuit négatif.