Mécanique du point Introduction Cinématique: études de trajectoires

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1 Mécanique du point Introduction Cinématique: études de trajectoires Dynamique Les lois de Newton Des forces aux trajectoires Cinématique : bases locales et systèmes de coordonnées 4. Dynamique : Lois de conservation Travail, forces conservatives, énergie Application : l’oscillateur harmonique

2 Chapitre 2 : Les lois de Newton – Forces et trajectoires
2.1.1 Principe d’inertie (1ère loi de Newton) En l’absence de forces extérieures, un point matériel est animé d’un mouvement rectiligne uniforme Si le point est immobile à t = 0, il le restera. Si la vitesse est constante, l’accélération est nulle : Isaac Newton ( ) Conséquence du Principe d’inertie En l’absence de forces extérieures, l’accélération d’un point matériel est nulle

3 Analyse dimensionnelle [F]=MLT-2
2.1.2 Principe fondamental de la dynamique (2ème loi de Newton) Si un point matériel est soumis à une force extérieure, son mouvement est accéléré de sorte que Analyse dimensionnelle [F]=MLT-2 L’unité dans le système international : 1 Newton = 1 kg m s-2 m1 m2 m3 m4 m Les forces exercées par les masses mi sur m sont additives La résultante est la somme vectorielle. Ceci s’applique à toutes les forces, quelle que soit leur nature (élastique, électromagnétique, de gravitation, …) m 𝛾 = 𝐹 𝑖

4 2.1.2. Conservation de la quantité de mouvement
Le PFD en fonction de la quantité de mouvement En l’absence de forces, la quantité de mouvement est conservée (C’est la 1ère loi de Newton, ou principe d’inertie.) L’origine de cette loi est l’invariance par translation dans l’espace.

5 Analyse dimensionnelle
Exemple : Trajectoire dans un champ de pesanteur Un point matériel m est soumis à la force 𝑃 =𝑚 𝑔 où 𝑔 =9,81 ms-2 Analyse dimensionnelle Nous pouvons écrire l’équation de la trajectoire en éliminant le temps dans les équations horaires. On obtient alors l’équation d’une parabole La flèche correspond au sommet de la trajectoire quand la vitesse ascensionnelle est nulle ( 𝑧 (t)=0):on en déduit La portée correspond à z²(tp)=0  : on en déduit On remarque que tp=2tf ( la trajectoire est symétrique par rapport au sommet) et que la portée est maximale pour une vitesse initiale donnée lorsque a=45°. flèche = (𝑉 0 𝑠𝑖𝑛𝑎) 2𝑔 2 tf = 𝑉 0 sin 𝑎 𝑔 portée= 𝑉 0 2 sin2𝑎 𝑔 tp =2 𝑉 0 sin 𝑎 𝑔

6 2.5.2 Loi de l’attraction universelle (Newton 1667)
Tout point matériel m1 exerce sur tout autre point m2 la force d’attraction Constante universelle de gravitation G = 6.67 x N m2 kg-2 2.5.3 Champ de gravitation terrestre L’attraction d’un corps de masse m par la masse centrale M peut s’écrire (comme si toute la masse M était concentrée à l’origine : théorème de Gauss) où on a défini le champ de gravitation R La valeur au niveau du sol du champ de gravitation terrestre est (h=0, R rayon de la terre=6371 km, M= kg) le poids devient alors 𝑃 =m 𝑔 .

7 2.1.3 Principe de l’action et de la réaction (3ème loi de Newton)
Si un point matériel m1 exerce sur le point m2 la force , alors réciproquement, m2 exerce sur m1 la force inverse telle que m1 m2 Loi de l’attraction universelle (Newton 1667) Tout point matériel m1 exerce sur tout autre point m2 la force d’attraction Constante universelle de gravitation G = 6.67 x N m2 kg-2

8 + 𝑂𝑂′ 2.2 Invariance Galiléenne M t=0 R=R’ R’ R t>0
L’étude d’un mouvement nécessite un point de repère ou « référentiel » R. Selon le référentiel choisi, le même mouvement peut prendre une forme différente Soit R’ animé d’une vitesse constante V par rapport à R. Un point M immobile dans R’ se déplace dans R selon R=R’ M t=0 + 𝑂𝑂′ R R’ t>0 La vitesse du point M est différente dans R et R’, étant constant, l’accélération est la même, Et les lois de la Physique seront les mêmes : R et R’ sont des référentiels galiléens (lois de Newton)

9 2.5 Forces usuelles en Mécanique- Forces Fondamentales
Autres forces agissant à distance Force de Coulomb : une charge q1 exerce sur tout autre charge q2 la force (attractive ou répulsive) R Force de Lorentz

10 2.5.4. Forces de réaction Réaction du support
Un corps de masse m exerce sur le support le poids Le support oppose une force de réaction de signe opposé Donc la somme des forces agissant sur le corps s’annule, et il n’y a pas d’accélération.

11 φ Mouvement contraint patin glissant sur une pente.
Composante du poids perpendiculaire à la surface Composante parallèle φ Le support oppose une force de réaction y La composante parallèle accélère le patin : On intègre la composante tangentielle

12 2.5.5 Forces de frottement fluide
Mouvement dans un gaz ou un liquide Chocs avec les molécules de l’air Les chocs étant plus violents en direction du mouvement, l’air freine en permanence le mouvement et exerce une force sur la particule Chute libre En régime stationnaire l’accélération est nulle Le corps atteint alors sa vitesse limite

13 et 𝑇 =𝜇𝑐 𝑁 𝑅 = 𝑁 + 𝑇 tan α=μc 2.5.6 Forces de frottement solide
Cas Dynamique Un corps de masse m exerce sur le support le poids Le support oppose une force de réaction de signe opposé Si l’on tire le corps avec une force 𝐹 , le frottement va s’opposer au mouvement … α 𝑅 = 𝑁 + 𝑇 et 𝑇 =𝜇𝑐 𝑁 Coefficient de frottement cinétique tan α=μc

14 φ Si tan φ>μs Mise en mouvement 2.5.6 Forces de frottement solide
Cas statique Composante du poids perpendiculaire à la surface Composante parallèle φ Les frottement sur le support peuvent opposer une force de réaction qui compense le poids … x …tant que Coefficient de frottement statique Si tan φ>μs Mise en mouvement

15 𝑇 =− 𝐹 et 𝑅 = 𝑁 + 𝑇 Si 𝐹 >μs N= μsmg Mise en mouvement
Réaction du support Un corps de masse m exerce sur le support le poids Le support oppose une force de réaction de signe opposé Si l’on tire le corps avec une force 𝐹 , le frottement va s’opposer à la mise en mouvement … 𝑇 =− 𝐹 et 𝑅 = 𝑁 + 𝑇 …tant que Coefficient de frottement statique Si 𝐹 >μs N= μsmg Mise en mouvement

16 𝑇 =𝜇𝑐 𝑁 et 𝑅 = 𝑁 + 𝑇 tan α=μc Cas Dynamique
Un corps de masse m exerce sur le support le poids Le support oppose une force de réaction de signe opposé Si l’on tire le corps avec une force 𝐹 , le frottement va s’opposer au mouvement … α 𝑇 =𝜇𝑐 𝑁 et 𝑅 = 𝑁 + 𝑇 Coefficient de frottement cinétique (μc<μs) tan α=μc

17 Loi de Hooke force de rappel due à un ressort 𝐹 =−𝑘( 𝑟 − 𝑟 0 ) où 𝑟 0 est la position d’équilibre (stable) Forces de Van der Waals Courte portée = force de contact Longue portée =force électromagnétique attractive mais de courte portée

18 2.5 Théorème du moment cinétique
Moment d’une force Le moment par rapport à A d’une force exercée sur un point M est donnée par 2.5.2 Moment cinétique Soit M un point matériel de masse m et vitesse Le moment cinétique par rapport à un point A est donné par = m 𝐴𝑀 ^ 𝑣 A M A’ M Remarque : ces moments dépendent du point de référence 𝑀 A’ = 𝑀 A + 𝐴’𝐴 ^ 𝐹 Notion de couple : Si la résultante des forces appliquées est nulle, le moment total des forces devient indépendant du point A. On appelle couple ce moment total

19 A M A’ M

20 2.5.3 Théorème du moment cinétique
Calculons la dérivée temporelle PFD ! Avec on trouve

21 Une force centrale avec son centre à l’origine est définie par
Dans ce cas la dérivée du moment cinétique est nulle, et on obtient une loi de conservation importante : Pour un corps soumis à une force centrale, le moment cinétique est conservé. (Symétrie de rotation)