Mécanique du point Introduction Cinématique: études de trajectoires

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1 Mécanique du point Introduction Cinématique: études de trajectoires Dynamique Les lois de Newton Des forces aux trajectoires Cinématique : bases locales et systèmes de coordonnées 4. Dynamique : Lois de conservation Travail, forces conservatives, énergie Application : l’oscillateur harmonique

2 Introduction : la mécanique du point
Cinématique : l ’étude des trajectoires, vitesses et accélérations Les corps sont idéalisés par des points matériels Force de rappel Poids Dynamique : l ’étude des causes du mouvement des corps Exemples : oscillations d ’une masse attachée à un ressort - mouvement des planètes : le potentiel de gravitation Soleil Terre

3 Postulats de la mécanique classique
L’espace physique est de dimension 3 ; le temps est un paramètre L’espace est isotrope et euclidien Les lois régissant le mouvement des corps matériels sont déterministes Développements de la physique moderne Proche de la vitesse de la lumière, l’espace-temps est de D 4  relativité restreinte (Einstein 1905) A proximité d ’un corps très massif, l’univers est courbe (étoiles à neutrons, trous noirs, …),  relativité générale (Einstein 1915) A l ’échelle atomique les lois sont probabilistes  mécanique quantique (Heisenberg, de Broglie 1925) Albert Einstein ( )

4 Cinématique : bases locales et systèmes de coordonnées
Chapitre 3 Cinématique : bases locales et systèmes de coordonnées Repérage du point matériel dans l ’espace Un repère en 3D est défini par son point d’origine O et 3 vecteurs de base orthonormés dans le sens direct O x y z M 3.1 Base locale cartésiennes Repère : Vecteur position Notation simplifiée pour le repère cartésien Repère local :

5 Repères adaptés à la symétrie d’un problème donné
x y   M Coordonnées polaires en deux dimensions M(,) 0    ; 0    2   z x y Coordonnées cylindriques en 3D M(,,z) 0    ; 0    2 ; -  z  

6 Chapitre 1: Cinématique du point matériel
1.2 Trajectoire - vitesse - accélération Soit M(x(t),y(t),z(t)) un point matériel de masse m en mouvement. Sa trajectoire est la courbe  décrite par le vecteur t t+Dt Le vecteur vitesse est donné par la dérivée temporelle où on utilise etc. La vitesse est tangente à la trajectoire La norme Vecteur de déplacement infinitésimal 1.3 L’abscisse curviligne s(t) mesure la longueur du chemin parcouru:

7 1.4 Exemple : mouvement rectiligne uniforme
L ’accélération décrit la variation de la vitesse en fonction du temps, en coordonnées cartésiennes avec la norme x z y trajectoire vitesse 1.4 Exemple : mouvement rectiligne uniforme x = a; y = bt; z = ct. On obtient : C ’est un mouvement rectiligne dans plan x=a avec vitesse linéaire et l ’abscisse curviligne

8 3.2 Coordonnées polaires en deux dimensions M(,)
0    ; 0    2 Repère où 𝑒 ρ = 𝑂𝑀 ρ = 𝑂𝑀 𝑂𝑀 Vecteur position x y   M Relations avec les coordonnées cartésiennes : O Les vecteurs de base dépendent de l ’angle  : Repère local attaché au point M D’où :

9 Le vecteur vitesse devient
Dérivées temporelles des vecteurs de base D ’où la vitesse (Composantes radiale et orthoradiale) L’accélération (Composantes radiale gr et orthoradiale gq) 1.6 Exemple : Mouvement circulaire  = 0 = const.; (t) = t;  = const On calcule Accélération centripète

10 z y  x  +𝑧 𝑒 𝑧 + 𝑧 𝑒 𝑧 +𝑑𝑧 𝑒 𝑧 + 𝑧 𝑒 𝑧
1.7 Coordonnées cylindriques M(,,z) 0    ; 0    2; -  z     z x y Repère local Repère Vecteur de déplacement +𝑧 𝑒 𝑧 Vitesse Avec la norme + 𝑧 𝑒 𝑧 Vecteur de déplacement infinitésimal L’accélération +𝑑𝑧 𝑒 𝑧 + 𝑧 𝑒 𝑧

11 P 1.8 Repère de Frenet gn= ρw2= ρ𝜔 2 ρ = 𝑣2 ρ
A chaque point M, vitesse 𝑣 et accélération γ définissent un plan P Dans P, on choisit les vecteurs de base est tangent à la trajectoire La normale est dirigée vers l’intérieur de la courbe. P Dans ce repère, la vitesse est 𝑣 =v τ et l’accélération est la somme des composantes tangentielle et normale = 𝑑 𝑑𝑡 𝑣 = 𝑣 τ +𝑣 𝑑 𝑑𝑡 τ γ τ = 𝑣 = 𝑠 Si le mouvement est circulaire uniforme Si le mouvement est uniforme, alors gt =0 gn= ρw2= ρ𝜔 2 ρ = 𝑣2 ρ avec ρ c le rayon de courbure Accélération centripète donc normale

12   Coordonnées cylindriques (t), (t), z(t) z y x
Vecteur position : La vitesse Avec la norme L’accélération  z x y  Coordonnées sphériques r(t), (t), (t) Vecteur position : La vitesse (sans démonstration)