Lien entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc

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1 Lien entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc
Cayphas Aurélie 2ème Math Les angles inscrits Lien entre angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc

2 L’amplitude d’un angle inscrit égale la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc
1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle

3 1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle
Hypothèse: [AC] est un diamètre du cercle centré en 0 Thèse: |Â|= |Ô1| / 2

4 1er cas: l’un des côtés de l’angle inscrit passe par le centre du cercle
Raisonnement : Le triangle AOE est isocèle, donc : |Â|= |Ê1| Déterminons CÂE |Â| + |Ô2| + |Ê1|= 180° ( somme des angles intérieurs d’un triangle ) |Ô1| + |Ô2| = 180° (angle plat) Donc: |Â| + |Ô2| + |Ê1|= |Ô1| + |Ô2| |Â| + |Ê1|= |Ô1| Or |Â|= |Ê1| donc: |Â| + |Â| = |Ô1| 2. |Â|= |Ô1| |Â|= |Ô1| / 2 C.Q.F.D

5 L’amplitude d’un angle inscrit égale la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc
2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit

6 2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit
Hypothèse: [AC] un diamètre du cercle centré en O. Thèse: |Â|= |Ô| / (|Ô|= |Ô1| + |Ô2| ) (|Â|= |Â1| + |Â2| )

7 2ème cas: le centre O est un point intérieur à l’angle inscrit
Raisonnement : - Par le 1er cas on a: |Â1|= |Ô1| / 2 et |Â2|= |Ô2| / 2 - Déterminons IÂE: |Â1|+ |Â2| = |Ô1| / 2 + |Ô2| / 2 - Donc: |Â|= (|Ô1|+|Ô2|) / 2 car |Â1|+|Â2|=|Â| |Â|= |Ô| / 2 car |Ô1|+|Ô2|=|Ô| C.Q.F.D

8 L’amplitude d’un angle inscrit égale la moitié de l’angle au centre interceptant le même arc
3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit

9 3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit
Hypothèse: [AC] un diamètre du cercle centré en O. Thèse: |Â|= |Ô| / (|Ô|= |Ô1| + |Ô2| ) (|Â|= |Â1| + |Â2| )

10 3ème cas: le centre O est un point extérieur à l’angle inscrit
Raisonnement: - Par le 1er cas on a: |Â1|+ |Â2|= (|Ô1|+ |Ô2)|) / 2 et |Â2|= |Ô2| / 2 - Déterminons IÂE: |Â|-|Â2|= (|Â1|+ |Â2|) - |Â2| = (|Ô1|+ |Ô2|) / 2 - |Ô2|/ 2 = |Ô1|/2+ |Ô2| / 2 - |Ô2|/ 2 = |Ô1|/2 C.Q.F.D

11 Conclusion Dans les trois cas possibles, l’angle au centre interceptant le même arc de cercle qu’un angle inscrit, vaut le double de celui-ci.

12 Fin