Plan du cours Une (courte) introduction au Génie des Procédés

Plan du cours Une (courte) introduction au Génie des Procédés
Le reste du cours : 4 leçons Comment produire de l’eau potable à partir d’eau de mer : l’opération d’osmose inverse (2h) Comment produire du whisky : l’opération de distillation (2h) Comment traiter les boues des stations d’épuration : les opérations de filtration et de fluidisation (2h) Comment traiter un gaz pollué avant son rejet à l’environnement : les cyclones et l’opération d’absorption gaz – liquide (3h) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Plan du cours Leçon 1 : Comment produire de l’eau potable à partir d’eau de mer : l’opération d’osmose inverse Introduction (principe, applications, …) Bilans de matière sur un module d’osmose inverse Equation constitutive Conception d’un module d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Osmose inverse :
Traitement d’une solution liquide (solvant = H2O) par filtrage très fin, ne laisse passer que H2O (et OH-, H+, …) Ce n’est évidemment que théorique!! La solution à filtrer est comprimée et passe au travers d’une membrane Taille des mailles : entre 4 et 8 Angström Nécessaire pour être uniquement perméable à H2O Ce qui est passé : perméat Ce qui n’est pas passé : rétentat L’osmose inverse est un système de traitement d’une solution liquide dont le solvant est l’eau, par un système de filtrage très fin qui ne laisse passer que les molécules d’eau. C’est une hyperfiltration. Sous l’action de la pression, la solution à traiter passe au travers d’une membrane, une sorte de toile filtrante avec de très petites mailles (d’une taille inférieure à 10 Angström). Comme nous les verrons pas la suite, cette opération de filtration n’est jamais conduite jusqu’à la récupération de la totalité de l’eau comprise dans la solution a traiter. Le fluide qui est passé au travers de la membrane est appelé le perméat. Le fluide qui n’est pas passé au travers de la membrane est appelé le rétentat. Pourquoi est ce que cette opération s’appelle l’osmose inverse? Et bien nous le verrons plus tard. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

? Introduction Ca passe ! Ca ne passe pas ! Na+ Na+ d+ d- 2.75 10-10 m
On considère une membrane dont les mailles ont une taille de 5 Angström. Même un ion comme Na+ ne peut pas passer au travers de la membrane, bien qu’il soit plus petit que la molécule d’eau. En effet, de part la polarité des molécules d’eau, les ions en solution sont accompagnés d’une couche d’hydratation (attention, le schéma est purement illustratif, je n’ai aucune idée du nombre exact de molécules d’eau dans la couche d’hydratation de Na+). L’ensemble ion + couche d’hydratation est forcément plus gros qu’une molécule d’eau. De plus, la couche d’hydratation est attachée à l’ion par une liaison électrostatique, très difficile à briser. Attention, le rendement d’une opération d’osmose inverse n’est jamais de 100 % (les mailles des membranes n’ont pas toutes la même taille, les membranes s’usent, …). En règle générale, lorsque l’osmose inverse est utilisée pour la production d’eau potable, on réalise deux opérations en série. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Service TIPs
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Introduction Applications de l’osmose inverse :
Dessalement d’eau de mer Irrigation Consommation humaine Traitement des eaux usées Saumures résiduelles de l’industrie Dialyse Filtration du sang Industrie agroalimentaire Concentration de jus de fruit, du lait et du vin Les reins filtrent le sang, le débarrassant de ses impuretés (comme l’urée par exemple). Certaines personnes ayant un disfonctionnement des reins doivent subir une dialyse. Un appareil de dialyse reproduit le fonctionnement des reins. Le sang passe du corps du patient vers l’appareil de dialyse par un cathéter. Au sein de cet appareil, le sang passe au travers d’une membrane d’osmose inverse (spécialement conçue à cet effet, avec des mailles plus grandes). Il est ainsi filtré avant de retourner dans le corps du patient. Dans l’industrie agroalimentaire, l’osmose inverse est largement utilisée pour concentrer différents produits liquides (vin, lait, jus de fruit), en vue d’une réduction des coûts de transport. Ce n’est donc pas le perméat qui est d’intérêt ici, mais bien le rétentat. Cette méthode de concentration est aujourd'hui moins coûteuse que l’évaporation du solvant. Dans le cadre de ce cours, on va se focaliser sur la première application de l’osmose inverse, le dessalement d’eau de mer. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Dessalement d’eau de mer : quelques chiffres
Eau de mer : 35 g/l de NaCl Deux méthodes principales : Osmose inverse (47 % de la production, 4.5 kWh/m3, 1 à 2 euros le m3 produit, incluant l’amortissement de l’installation) Distillation multi – effets (36 % de la production, 15 kWh/m3) Exemple d’usines (osmose inverse) : Ashkelon (Israël) : m3/jour Barcelone (en construction) : m3/jour 25 % de la production mondiale en Arabie Saoudite Iles Canaries : 100 % de leur production d’eau potable par dessalement d’eau de mer Le dessalement de l'eau de mer (également appelé dessalage) est un processus qui permet de retirer le sel de l’eau de mer pour la rendre potable ou pour l’utiliser pour l’irrigation. Généralement, il est plus simple et plus rentable de rechercher des sources d’eau douce à traiter (eaux de surface telles que rivières, eaux souterraines), plutôt que de dessaler de l'eau de mer. Cependant dans de nombreuses régions du monde, les sources d'eau douces sont inexistantes ou deviennent insuffisantes au regard de la croissance démographique ou de la production industrielle. Les deux techniques principales pour le dessalement d’eau de mer sont l’osmose inverse et la distillation dite multi-effets (qui ne sera pas étudiée ici). Le dessalement de l’eau de la mer est nécessaire pour rendre l’eau potable, mais ce n’est évidemment pas la seule opération à effectuer. En Belgique, le prix du m3 d’eau potable est de 3 euros. On voit donc que, dans l’état actuel des technologies, l’osmose inverse est une méthode de production d’eau potable qui devient rentable. Cela permet d’envisager un futur prometteur pour cette opération dans les pays en voie de développement (ayant un accès à la mer). Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Fibre de filtration Sortie du perméat
Solution à traiter, sous pression (50 à 80 bars) L’unité fondamentale d’un procédé de dessalement d’eau de mer par osmose inverse est la fibre de filtration. Une fibre de filtration est un cylindre creux, fermé à un bout et ouvert à l’autre, dont la paroi est une membrane d’osmose inverse. La solution à traiter s’écoule le long de la fibre, à l’extérieur de celle-ci, sous pression (entre 50 et 80 bars, nous verrons plus tard pourquoi des valeurs aussi élevées). L’eau pénètre progressivement à l’intérieur de la fibre, généralement à pression atmosphérique, et le perméat est récolté au bout de la fibre qui est ouvert. Membrane d’osmose inverse de 100 µm à 1 mm de 30 cm à plusieurs m Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Perméat Rétentat Liquide à traiter Rétentat Perméat
Les usines d’osmose inverse sont principalement constituées de grands tubes, en acier inoxydables, tels que ceux représentés sur cette photo. Ces tubes sont appelés des modules d’osmose inverse. Au sein de ces modules, de nombreuses fibres de filtration sont montées en parallèle. L’objectif d’un tel agencement est évidemment de maximiser la surface de filtration. A l’intérieur de ces fibres on retrouve donc le perméat, et entre ces fibres on trouve le rétentat. Au bout du module, les fibres sont connectées afin de récolter l’ensemble du perméat. Le rétentat est également collecté au bout du module. Le rétentat quittant le module représente généralement entre 60 et 80 % du liquide à traiter. Généralement, ces modules ont un diamètre entre 10 et 20 cm et une longueur entre 0.5 et 5 m. Jusque la moitié de la section d’un module peut être occupée par des fibres. Pour des modules d’un diamètre de 10 cm et des fibres d’un diamètre de 100 microns, on peut donc avoir un nombre de fibre par module égal à (modules les plus modernes)! Perméat Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Pompes Service TIPs
On voit ici une installation complète d’osmose inverse. On observe les modules contenant les fibres de filtration. On observe aussi les pompes nécessaires à la compression du liquide à traiter. L’installation fait environ 1 mètre de haut pour 5 mètres de long. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Introduction Service TIPs
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La logique du Génie des Procédés
Un très grand nombre de procédés (centaines de milliers) Un petit nombre d’opérations unitaires (quelques dizaines) La conception de ces opérations via un très petit nombre de concepts : Les bilans de matière, d’énergie et de quantité de mouvement Les équations constitutives … Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Formulation générale d’un bilan de matière
Bilan d’un composé A sur un système : Quantité de A entrant dans le système par unité de temps + Quantité de A produite, par unité de temps, à l'intérieur du système par des réactions chimiques = Variation, par unité de temps, de la quantité de A à l'intérieur du système (accumulation) Quantité de A sortant du système par unité de temps Quantité de A consommée, par unité de temps, à l'intérieur du système par des réactions chimiques Le terme « système » peut référer à beaucoup de choses différentes, même pour un appareillage donné. Il peut y avoir plusieurs entrées de A au sein d’un système (c’est souvent vrai lorsqu’il y a des changements de phases, et que le terme « système » réfère à une phase au sein d’un appareillage). Les termes écrits en noir sont nuls dans le cas d’un système fermé. Les termes écrits en rouge sont nuls dans le cas d’un système au sein duquel aucune réaction chimique ne se déroule. Le terme écrit en bleu est nul lorsque le système est à l’état stationnaire. Tous les termes de ce bilan sont en kg/s, en moles/s ou, plus rare, en m3/s Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Schéma de principe et notations
patm Perméat F0, C0 FR(z) CR(z) FR(z+Dz) CR(z+Dz) FR, CR J(z) Liquide à traiter Rétentat Perméat Membrane Surface totale des fibres : W Z Z+DZ A On considère un module d’osmose inverse. Pour la simplicité, seules deux fibres ont été représentées. La surface totale des fibres dans le module est notée . Le débit du liquide à traiter entrant dans le module est noté F0 (m3/s). La concentration totale des ions en solution dans ce liquide est notée C0 (moles/m3). On introduit une coordonnée z. z = 0 à l’entrée dans le module et z = A à la sortie du module. Le débit de rétentat à la position z dans le module est noté FR(z), tandis que la concentration totale des ions en solution dans le rétentat à la position z dans le module est notée CR(z). A la position z, la densité de flux d’eau transférée au travers de la paroi des fibres est notée J(z). J(z) est exprimé en m3 d’eau par seconde et par m2 de surface de fibre. La concentration totale des ions en solution dans le rétentat varie le long du module. La pression à l’intérieur des fibres est la pression atmosphérique, notée patm, la pression du liquide à traiter est notée p. Nous allons exprimer les bilans de matière sur ce module. F : débit de liquide (m3/s) C : concentration totale des ions en solution (moles/m3) J : densité de flux d’eau à travers la surface des fibres (m3 d’eau/(s.m2 de fibre)) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Bilans de matière sur la tranche [z, z + z]
Bilan pour le rétentat : Bilan pour les ions en solution : Passage à la limite pour Dz tendant vers 0 : (2) (1) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Sauf en de rares exceptions, l’expression des bilans ne nous permet pas de solutionner un problème traité par le Génie des Procédés. Ces bilans doivent être complétés par une ou plusieurs relations constitutives, décrivant le jeu de restructuration de la matière au sein du système considéré Les bilans de matière ne représentent en rien la « chimie » ou la « physique » de ce qui se passe au sein d’un système. Afin de solutionner un problème traité par le Génie des Procédés (comme la conception d’un appareillage), il faut compléter les bilans par une ou des équations traduisant mathématiquement ce qui se « passe » au sein du système étudié. Ces équations portent le nom d’équations constitutives. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Trois types d’équations constitutives
Equation décrivant un équilibre Equilibre thermodynamique Equation décrivant l’équilibre d’une réaction chimique Equation décrivant l’équilibre entre phases (lois de Raoult, de van’t Hoff, de Henry, de Clapeyron, …) Equilibre de force Equation donnant la vitesse de dérive d’une particule sous l’effet d’un champ de force centrifuge Equation décrivant une cinétique chimique Equation donnant la vitesse d’une réaction qui n’est pas à l’équilibre Exemple : r = k C (cinétique du premier ordre) Pas d’exemple dans ce cours (le réacteur n’occupe souvent pas une place dominante dans un procédé) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Equation décrivant une cinétique physique Equation décrivant un phénomène qui n’est pas à l’équilibre et qui n’est pas une réaction chimique Exemples de phénomènes : Transfert de fluide au travers d’un milieu poreux suite à une différence de pression à ses bornes (percolation) Transfert de chaleur entre deux fluides à des températures différentes Transfert de matière entre deux compartiments d’un module d’osmose inverse car la différence de pression entre les compartiments est supérieure à la pression osmotique … Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Formalisme général d’une cinétique physique : Analogie avec I = U/R en électricité Un flux de matière s’exprime en kg/s, moles/s ou m3/s Un flux d’énergie s’exprime en J/s (W) Une densité de flux est un flux rapporté à une surface (comme une vitesse superficielle par exemple, voir filtration et fluidisation) (Densité de) Flux transféré = Coefficient de transfert x Écart à l’équilibre Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Développons maintenant une équation constitutive pour un module d’osmose inverse…
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Equation constitutive
x : fraction molaire totale des ions Système isotherme, température T Eau + sels dissous Eau pure x0 pg,0 = pd,0 On considère un système composé de deux compartiments séparés par une membrane d’osmose inverse. Chacun de ces compartiments est surplombé par un tube. Le compartiment de gauche contient de l’eau et des sels dissous, tandis que le compartiment de droite ne contient que de l’eau. La fraction molaire totale des ions en solution dans le compartiment de gauche est notée x0. La pression dans le compartiment de gauche est notée pg,0 et la pression dans le compartiment de droite est notée pd,0. La pression est initialement la même dans les deux compartiment. Au cause la différence de concentration en sels dissous de part et d’autre de la membrane, un transfert d’eau (le seul composant à même de traverser la membrane) du compartiment de droite vers le compartiment de gauche va se produire. L’objectif de ce transfert est de rééquilibrer les concentrations en sels dissous des deux côtés de la membrane. Ce phénomène s’appelle l’osmose. Il découle de ce phénomène d’osmose que l’eau, pour être potable, doit contenir une certaine quantité de sels dissous. En effet, dans le cas contraire, l’eau ingérée pénètrerait dans les cellules du corps humain par osmose (les cellules du corps contiennent une solution chargée en ions), jusqu’à les faire exploser. pd,0 Membrane d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

x : fraction molaire totale des ions Système isotherme, température T d1 Eau + sels dissous Eau pure x1 < x0 pg,1 = pd,1 + rl g d1 De part le transfert d’eau du compartiment de droite vers le compartiment de gauche, la hauteur d’eau dans le tube surplombant le compartiment de gauche va augmenter, tandis que la hauteur d’eau dans le tube surplombant le compartiment de droite va diminuer. Il en résulte une différence de pression entre les deux compartiments. Dans l’état représenté sur le schéma, la pression dans le compartiment de droite est notée pd,1, tandis que la pression dans le compartiment de gauche est notée pg,1. pg,1 est supérieur à pd,1, et la différence entre les deux est la pression d’une colonne d’eau de hauteur d1. Cette différence de pression freine le transfert d’eau, ce transfert se ralentit donc au fur et à mesure. Dans l’état représenté sur le schéma, la fraction molaire totale des ions en solution dans le compartiment de gauche, notée x1, est inférieure à x0, étant donnée que les ions ont été dilués. Cette dilution accentue encore le phénomène de freinage du transfert d’eau entre les compartiments. pd,1 Membrane d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

x : fraction molaire totale des ions Système isotherme, température T d Eau + sels dissous Eau pure x < x1 pg = pd + rl g d On arrive finalement à un état, représenté sur le schéma, où la différence de pression entre les deux compartiments bloque complètement le transfert d’eau. Un état d’équilibre est donc atteint. Dans cet état, la fraction molaire totale des ions en solution dans le compartiment de gauche est notée x. La pression dans le compartiment de gauche est notée pg, tandis que la pression dans le compartiment de droite est notée pd. Dans cet état d’équilibre, pg est différent de pd, la différence entre les deux est appelée la pression osmotique de la solution contenue dans le compartiment de gauche. pd Membrane d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

A l’équilibre, la pression dans le compartiment de gauche est supérieure à la pression dans le compartiment de droite pg - pd = rl g d = P (notation) P est appelée la pression osmotique Nous allons voir que cette pression osmotique est fonction de la température et de la fraction molaire totale des ions dans le compartiment de gauche. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Que vaut P ? Potentiel chimique de l’eau dans le compartiment de gauche : Potentiel chimique de l’eau dans le compartiment de droite : Equilibre : md = mg On suppose idéale la solution dans le compartiment de gauche. Dès lors, le potentiel chimique de l’eau dans le compartiment de gauche est la somme de deux termes : une partie de mélange égale à RT fois le logarithme de la fraction molaire en eau dans la solution, c’est-à-dire 1-x, et une partie « propre », qui est le potentiel chimique de l’eau pure à la température T et à la pression pg. Le potentiel chimique de l’eau dans le compartiment de droite est le potentiel chimique de l’eau pure à la température T et à la pression pd. (3) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

pg - pd = P. (3) s’écrit donc : Le membre de gauche de (4) peut s’approximer par (développements en série de Taylor au premier ordre) : Injection de cette approximation dans (4) : (4) Le développement de Taylor de ln(1-x) autour de 0 limité à l’ordre 1 est –x. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Dérivée partielle, à T constant, de z(T,pd) par rapport pd : volume molaire de l’eau (vm). Donc : Où C est la concentration totale des ions dans la solution (moles de sel par m3 de solution) Equation de Van’t Hoff (fonctionne remarquablement bien) (5) L’approximation x/vm = C n’est valable que pour les solutions diluées. L’équation de Van’t Hoff (dont vous remarquerez la similitude avec l’équation d’état des gaz parfaits) fonctionne remarquablement bien, même pour des solutions non-diluées! Démonstration de «Dérivée partielle, à T constant, de (T,pd) (le potentiel chimique de l’eau pure) par rapport pd : volume molaire de l’eau » : Pour un système fermé monophasique : G = U + pV – TS Où : G est l’énergie libre de Gibbs, U est l’énergie interne, p est la pression, V le volume, T la température, S l’entropie Donc : dG = dU + pdV + Vdp – TdS – SdT 1er principe de la thermo : dU = dQ – pdV Où : dQ est l’apport/retrait de chaleur 2ème principe de la thermo : dS = dQ/T Dès lors : dG = dQ – pdV + pdV + Vdp - dQ – SdT = Vdp – SdT Pour un système ouvert monophasique à un composé (nombre de moles : n) : dG = Vdp – SdT + dn car le potentiel chimique d’un composé est la dérivée partielle de l’énergie libre de Gibbs par rapport au nombre de moles de ce composé, à T et p constants. Par la règle des dérivées croisées, on voit directement que la dérivée de  par rapport à p, à T et n constants, est égale à la dérivée de V par rapport à n, à T et p constants, donc au volume molaire du système. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Pression osmotique de l’eau de mer (à 20 °C) : 35 g/l de NaCl MM NaCl = = 58.5 g/moles  1 m3 d’eau de mer contient moles de Na+ et moles de Cl-  P = ( ) = pascal P = 29 bars 29 bars représente le poids d’une colonne d’eau d’environ 290 mètres. On comprend donc que l’expérience représentée schématiquement aux slides précédents est uniquement une vue de l’esprit. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

x : fraction molaire totale des ions Système isotherme, température T d Eau + sels dissous Eau pure x pg = pd + P Reprenons notre expérience virtuelle. A l’équilibre, la différence de pression entre les deux compartiments est égale à la pression osmotique. La hauteur d’eau dans le tube surplombant le compartiment de gauche est supérieure à la hauteur d’eau dans le tube surplombant le compartiment de droite. C’est cette différence de hauteur qui cause la différence de pression. pd Membrane d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

p + P p x : fraction molaire totale en sels dissous Système isotherme, température T Eau + sels dissous Eau pure x pg = p + P Afin d’assurer la différence de pression garantissant l’équilibre, nous pouvons également utiliser des pistons (voir schéma). Le piston de droite exerce une pression p, tandis que le piston de gauche, afin de garantir l’équilibre, exerce une pression égale à p augmentée de la pression osmotique. pd = p Membrane d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

p + P + p* p x : fraction molaire totale en sels dissous Système isotherme, température T Eau + sels dissous Eau pure Osmose inverse x pg = p + P + p* Imaginons maintenant que la pression sur le compartiment de gauche est augmentée d’une quantité p*. Il va en résulter un transfert de l’eau du compartiment de gauche vers le compartiment de droite. Ce phénomène est opposé au phénomène naturel de l’osmose. On l’appelle donc l’osmose inverse. Ce phénomène est forcé par une différence de pression entre le compartiment de gauche et le compartiment de droite supérieure à la pression osmotique. pd = p Membrane d’osmose inverse Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Densité de flux d’eau transférée (m3 d’eau/s/m2 de membrane) Notée J Proportionnelle à p* : K est la perméabilité de la membrane Ordre de grandeur typique : K = m2 s/kg p* = pg – pd – P, on a donc : Voilà, nous avons obtenu notre équation constitutive, qui viendra compléter les bilans de matière sur un module de d’osmose inverse. Pour qu’un transfert de matière au travers de la membrane du compartiment chargé en sel dissous vers le compartiment contenant de l’eau pur puisse se produire, il faut que la pression dans le compartiment chargé en sel soit supérieur à la pression dans le compartiment contenant de l’eau pure, additionnée de la pression osmotique!!!! On voit donc immédiatement que les pressions rencontrées dans les installations d’osmose inverse seront importantes, étant donné que la pression osmotique de l’eau de mer est de 29 bars! En pratique, le liquide à traiter est généralement comprimé jusqu’à une pression comprise entre 50 et 80 bars. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

p patm Perméat F0, C0 FR(z) CR(z) FR(z+Dz) CR(z+Dz) FR, CR J(z) Liquide à traiter Rétentat Perméat Membrane Surface totale des fibres : W Z Z+DZ A (6) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Conception d’un module d’osmose inverse
Exemple de problématique : On désire construire un module d’osmose inverse capable de traiter une fraction f donnée d’un débit d’eau de mer F0 donné en travaillant sous une différence de pression p – patm donnée. Quelle doit être la surface totale des fibres dans le module? Equations de base pour la réponse à ce problème : Bilans : (2) (1) Equation constitutive : (6) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Equation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre
Un petit rappel de math Equation différentielle ordinaire (EDO) du premier ordre Condition aux limites A résoudre : Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

L’utilisation de (2) dans (6) donne : En introduisant cette équation dans (1), on obtient : De cette dernière équation, on tire immédiatement : (7) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

On montre facilement que : On peut donc réécrire (7) de la manière suivante : (8) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

La conversion du module, notée f, est définie par : Si on note : P0 = C0RT et Dp = p – patm, on peut réécrire (8) de la manière suivante (car FR(0) = F0) : L’équation (9) est un lien entre la conversion du module, la surface totale des fibres, le débit de liquide à traiter, la pression osmotique de ce liquide, la différence de pression de part et d’autre de la membrane et la perméabilité de cette membrane. Elle permet donc de répondre à notre problème de conception! (9) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

W (m2) 60 Dp = 50 bars F0 = 2 m3/h P0 = 29 bars K = m2.s/kg Dp = 90 bars 40 Dp = 70 bars 20 On porte ici l’équation (9) en graphique. Comme attendu, on observe que la surface de fibres nécessaire à l’obtention d’une conversion donnée diminue avec une augmentation de p. On observe aussi que, pour un p fixé, il existe une conversion maximale qui ne peut être dépassée. Considérons par exemple un module d’osmose inverse d’une longueur de 3 m et d’un diamètre de 10 cm, contenant des fibres d’un diamètre de 500 microns, occupant le 5ème de la section du module. Ce module possède donc une surface de fibre par unité de longueur égale à 12.6 m2 et donc une surface de fibre totale de 37.8 m2. Si ce module travaille sous une différence de pression de 50 bars, on voit sur le graphe qu’il peut dessaler environ 30 % d’une eau de mer l’alimentant à raison de 2 m3/h. La productivité journalière du module est donc d’environ 14 m3. On voit donc que pour arriver à des productions de plus de m3 d’eau potable par jour, il faut placer en parallèle un nombre important de modules ! 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

D’où ce style de configuration!! Usine de production d’eau potable par osmose inverse en Israël (© Veolia Eau) Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

Conversion maximale à Dp fixé (notée fmax) ? Analyse de l’équation (9) : W(f) possède une asymptote verticale en f = 1 – P0/Dp  fmax = 1 – P0/Dp Raisonnement logique : Si la conversion est f, on a FR(A) = (1-f)F0 et CR(A) = C0/(1-f) Pression osmotique : proportionnelle à la concentration. Donc : pression osmotique à la sortie de l’appareil = P0/(1-f) Conversion limite : pression osmotique à la sortie de l’appareil = Dp  Dp = P0/(1- fmax) Il est impossible de concentrer le liquide jusqu’à une concentration telle que la pression osmotique dans le module devienne supérieure à p. Au plus p est grand, au plus de conversions importantes peuvent être atteintes. Service TIPs Faculté des Sciences Appliquées, Université Libre de Bruxelles

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