MODELE DE VISCOSITE TUBULENTE ET THEORIES DE SIMILITUDES

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1 MODELE DE VISCOSITE TUBULENTE ET THEORIES DE SIMILITUDES

2 Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations Equation de Navier Stokes 4 éq. 4 inconnues

3 Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations Décomposition de Reynolds Il manque une équation pour :

4 Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations à partir de : On peut obtenir une équation pour , mais elle fera intervenir qui nécessite une autre équation (pb sans fin !) Il faut fermer le système à un moment donné

5 Expression empirique des contraintes de Reynolds
Fermeture des équations A l'ordre le plus bas, il suffit de trouver une expression pour les contraintes de Reynolds :

6 Modèle de viscosité turbulente
Une idée (Boussinesq 1890) est "de copier" la contrainte pour un écoulement Newtonien : partie isotrope : partie isotrope :

7 Modèle de viscosité turbulente
L'expérience montre que la viscosité turbulente n'est pas universelle : Il faut donc faire un modèle pour et pour k. Remarque : En posant : : une forme semblable à Navier-Stokes

8 Modèles de viscosité turbulente
Modèle de la longueur de mélange : Modèle à une équation : Modèle à 2 équations : c'est le modèle k-epsilon.

9 Modèle de viscosité turbulente
Longueur de mélange Analogie avec les gaz parfaits Libre parcours moyen Vitesse d'agitation thermique La viscosité augmente avec la température

10 Approximation de couche limite
Ecoulements statistiquement 2D, W=0.

11 Approximation de couche limite
Jet plan et circulaire (axisymétrique) Couche de mélange Sillage plan et axisymétrique Ecoulement de paroi: plaque plane, tuyau, canal....

12 Approximation de couche limite
Les termes entre accolades sont négligeables pour la couche limite laminaire (MF 102)

13 Approximation de couche limite
quand y∞, la pression est p0(x) et le gradient de pression longitudinal: :

14 Approximation de couche limite
Le terme qui dépend de la viscosité sera négligé pour les écoulements turbulents libres (pas de condition d'adhérence) Il sera gardé pour les écoulements turbulents de parois (principe de moindre dégénérescence, MF 102), car c'est ce terme qui permet de réaliser la condition d'adhérence.

15 Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Etalement linéaire : (x)  S x, Vitesse d'entrainement  Le jet entraine le fluide initialement au repos autour de lui : son débit augmente avec x.

16 Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Largeur à mi-vitesse (i.e. (x)) (résultats expé.)  approximation de couche limite

17 Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Equation de l'écoulement moyen (pas de gradients de pression, pas d'adhérence) d'où le flux de quantité de mouvement longitudinal est conservé : = constante

18 Conséquence pour le flux :
Exemple d'écoulement libre : Jet Plan Hypothèse de similitudes Conséquence pour le flux :

19 Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Conséquence sur l'équation de l'écoulement moyen de la forme : (les bi sont indép.)

20 Exemple d'écoulement libre : Jet Plan
Pour avoir la forme du profil des vitesses il faut modéliser le tenseur de Reynolds : L'hypothèse de similitude, rend la viscosité turbulente autosimilaire : (longueur de mélange)

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22 Exemple d'écoulement libre : Jet Plan

23 Equation de l'écoulement moyen
Exemple d'écoulement de paroi: plaque plane Equation de l'écoulement moyen Contrainte à la paroi : y=0 y=0

24 Exemple d'écoulement de paroi: plaque
approximation couche limite s'intègre en :

25 Exemple d'écoulement de paroi: plaque
On définie une vitesse et une taille caractéristiques de la proche paroi :

26 Exemple d'écoulement de paroi: plaque
sans gradient de pression dominé par la turbulence avec : Profil log des vitesses : dominé par la viscosité Profil linéaire des vitesses :

27 Exemple d'écoulement de paroi: plaque

28 Conséquence de la région Log.
Exemple d'écoulement de paroi: plaque Conséquence de la région Log. La couche limite turbulente est moins déficitaire en quantité de mouvement que la couche limite laminaire