Prix Marcel Dassault 2001 *** Prix Marcel Dassault 2001.

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1 Prix Marcel Dassault 2001 *** Prix Marcel Dassault 2001

2 Optimisation de forme Méthodes et Algorithmes Olivier Pironneau
Université Paris VI, INRIA & IUF Olivier Pironneau Conférence dédiée à Jacques-Louis Lions Prix Marcel Dassault 2001

3 Applications Diminution du poids Amélioration de la solidité
Diminution de la trainée Diminution de la visibilité radar Manoeuvrabilité (avion déformable?) Avion, bateau, voiture, moteur, électronique Un nombre très varié d’applications: Simulation => Contrôle Références: G. Allaire, Thèse Baron

4 Formulation Sd=ensemble des formes admissibles
Exemple didactique la forme optimale à très petite vitesse Sd=ensemble des formes admissibles u est la fonction « état »

5 Historique Hadamard (1907): 1ère variation / forme
Ph. Morice Hadamard (1907): 1ère variation / forme NASA: une optimisation de tuyère ~ 1970 Autour de J.L. Lions T Cea et al Optimization topologique, ‘’ Chenais Existence S/ Lipschitz uniform ‘’ Dervieux… Vitesse de déformation F. Murat et al Transformation de domaine O. Pironneau Variation normale L. Tartar Fonction caractéristique n a x q q+vt Références: OP: Springer 1982 P. Neittaanmakki, J. Cea, P. Zolezio, M. Delfour… .c=1 .c=0

6 Condition d’optimalité
avec n a x Calcul des variations Théorème => algorithme:

7 Premières solutions Une itération de gradient à la main
Etendu au cas laminaire => adjoint Angles (Lighthill) => sensible / C.L. Cas discret (avec A.Marrocco) Références: O. Pironneau JFM(72 & 73) , Glowinski-OPJFM(75), Marrocco-OP(Num Meth eng(77)

8 Oscillations Le pb du poids minimal est mal posé (L. Tartar)
Les itérations de gradient sortent de l’espace des contraintes défini par F. Murat ou D. Chenais Ref. G. Allaire

9 L’homogénéisation Solution
Murat, Tartar, Lurie, Kikuchi, Bensoe Cioranescu, Sverak La difficulté est elle physique ou algorithmique? Sverak: s’il y a un nombre fini de trous alors l’objet de trainée minimale existe Trouver le bon espace et régulariser le critère Solution Références: Bensoussan-Lions-Papanicolaou C. Conca, Y. Achdou (thèse)

10 Normes / régularisation
x Normes / régularisation Le Problème régularisé Le Problème discrétisé FEM (2D) Convergence: h->0 OK car Références: DiCesaré: Thèse (1999) Gradient Conjugué dans H2 smoother

11 De la théorie aux applications
Solveurs Géométries complexes Equations transsoniques => Euler => N.S. Chimie (Desideri-Rostand) Turbulence (Begue-Chacon) Lois de Parois (Mohammadi) Le Cray Références: B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001

12 Méthodes variationnelles
Navier-Stokes incompressible. Taylor-Hood, par gradient conjugué (+Glowinski), l’élément P1isoP2/P1 (+Bercovier), le décentrage (v.s. R. Lohner, T. Hughes). Euler Compressible Lax-Roe-Van Leer: Vyjayasundaram, Dervieux -Stoufflet v.s. Jameson Navier-Stokes Compressible. Maillage adaptatif (C. Johnson), formulation entropique (T. Hughes, M. Mallet), correction potentielle (+Eldabaghi). Références: OP: Wiley 1989 : Finite element methods for fluids Thanks P. Perrier–J. Periaux

13 Turbulence Homogénéisation (+Mclaughin,
Papanicolaou, Begue, Chacon, Ortegon) K-epsilon (Launder-Spalding): existence de solution (+Bardos-Mohammadi-Lewandowski) Algorithmes positifs (+Coron-Mohammadi) Implémentation implicite des lois de parois (+Mohammadi-Saiac-Hecht) Références: B.Mohammadi ,O.P. Wiley 1997: Analysis of the k-e model

14 CAO et Maillage La CAO est propriété de l’industriel
Le maillage adaptatif est crucial mais module externe => Maillage adaptatif de surfaces par reconstruction de l’objet CAO a partir d’un maillage grossier (Farin) Maillage adaptatif + estimation d’erreur a posteriori Références: M. Gopalsamy, P.L. George, F. Hecht, F. Saltel, P. Frey

15 Differentiation automatique
class ddouble { public: float v[2]; ddouble(double a, double b=0){ v[0] = a; v[1]=b;} friend ddouble operator*(const ddouble& a,const ddouble& b) { ddouble c; c.v[1] = a.v[1] * b.v[0] + a.v[0] * b.v[1]; c.v[0] = a.v[0] * b.v[0]; return c;} friend ddouble sin(const ddouble& a) { ddouble c; c.v[1] = cos(a.v[0])*a.v[1]; c.v[0] = sin(a.v[0]); return c;} }; Références: Masmoudi, Thèse Dicésaré, Griewank (academic press), Odyssee (INRIA)

16 Calcul parallèle Mortar Element Method (Bernardi-Maday-Patera)
Solveur iteratif (+ Achdou-Kuznetsov) Navier-Stokes (+ Achdou, Hontand, Prud’homme) Constructive Solid Geometry (+JL Lions-DelPino) Références: Thèses: Hontand, Prud’homme, DelPino. En cours + JL Lions Etudes faites en liaison avec le Pôle Scientifique

17 Intégration à l’optimum design
Euler/N.S.+ k-e+wall laws Différentiation automatique Adaptation de maillage Algorithmique optimisée Choix des bonnes normes Références: Bijan Mohammadi

18 Optimisation d’un avion d’affaires
Références: B. Mohammadi+OP Oxford U. Press 2001

19 Optimisation d’un ventilateur
at given Q, D P, W 3 paramètres par sections cambrure, torsion, aire 3 parameterizations: Camber, sweep, by-section 10% de gain Références: Mohammadi-Bouigt

20 Evolutions Liens avec la VR Autres Méthodes (domaines fictifs)
border d(t=1,0) { x=0; y=t }; border b(t=0,1) { x=1; y=t }; border a(t=0,1) { x=t; y=0 }; border c(t=0,1) { x=1-t; y=1 }; border e(t=0,2*pi) {x= *cos(t); y= *sin(t)}; E := 21.5; sigma := 0.29; mu := E/(2*(1+sigma)); lambda := E*sigma/((1+sigma)*(1-2*sigma)); mesh Sh = buildmesh( b(30)+c(20)+d(20)+a(20) + e(-50)); for i:=0 to 250 do{ varsolve(Sh,0) bb(uu,w,vv,s) with { e11 = dx(uu); e22 = dy(vv); e12 = (dx(vv)+dy(uu))/2; w11 = dx(w); w22 = dy(s); w12 = (dx(s)+dy(w))/2; bb = int()( 2*mu*(e11*w11+e12*w12+e22*w22) + lambda*(e11+e22)*(w11+w22)/2 -s ) + on(a,c)(w)(uu=0) + on(a,c)(s)(vv=0) }; sigmanx = (2*mu*e11+lambda*(e11+e22)/2)*nrmlx + mu*e12*nrmly; sigmany = (2*mu*e22+lambda*(e11+e22)/2)*nrmly + mu*e12*nrmlx; surf := int(e)(1); sgx := int(e)(sigmanx)/surf; sgy := int(e)(sigmany)/surf; rho:= 1.5e-6*sqrt(int(e)((sigmanx/sgx-1)^2 + (sigmany/sgy- 1)^2))/surf; solve(u,v){ pde(u) -laplace(u)*0.1- dxx(u)-dxy(v)=0; on(a,b,c,d) u= 0; on(e) u= rho*(sigmanx/sgx-1); pde(v) -laplace(v)*0.1- dyy(v)-dxy(u)=0; on(a,b,c,d) v= 0; on(e) v= rho*(sigmany/sgy-1); }; mesh Sh = movemesh(Sh,x+u,y+v);} Evolutions Liens avec la VR Autres Méthodes (domaines fictifs) Automatisation: le projet freefem Hecht,DelPino Références

21 Problèmes ouverts Le contrôle actif
Estimations a posteriori et optimum design Optimisation global, algorithmes génétiques Boîtes-noires: quasi-gradients/algo génétiques Multi-physique (fluides structures…) Multi-critères: Pareto, Nash… Optimum design avec modélisation LES. Références: Bernardi,Girault,Maday,Hecht, Schoenauer, Periaux, Dervieux, Desideri, Lesieur, Candel, Poinsot, Bercovier, Mohammadi…