pour préparer la conférence, ouvrir dans Cabri 2+ = pajerond

Présentation au sujet: "pour préparer la conférence, ouvrir dans Cabri 2+ = pajerond"— Transcription de la présentation:

1 « La géométrie dynamique à l'école primaire, pourquoi faire bouger les points ? »
pour préparer la conférence, ouvrir dans Cabri 2+ = pajerond losange dans rectangle bateau sans mât patrouille patrouille 1 Dans cabrielem = patrons à compléter Dans 123… Cabri : le sommaire : CP ( pavé sous toutes ses faces et la roue des 10) CE2 (le solide caché) En vidéo : celle de René à Soleymieux Sophie Soury-Lavergne

2 Qu’est-ce que la géométrie dynamique ?
Un exemple pour commencer : Un exemple pour commencer ? Losange dans rectangle, avec extrait vidéo plus tard sur les stratégies ? Faire la construction du rectangle avec segment, perpendiculaires puis milieu. Dire : la géométrie dynamique désigne des environnements dans lesquels on peut construire des figures géométriques en agissant directement sur ces objets et en utilisant les relations/ propriétés géométriques. Les figures obtenues sont dynamiques au sens où elles peuvent être déplacées, déformées, manipulées tout en conservant les propriétés mathématiques qui ont permis leur construction ainsi que toutes celles qui s’en déduisent. Les objets sont variables mais les relations mathématiques qui les relient sont stables. J’ai construit un rectangle en utilisant simplement 3 droites perpendicualires, les droites restent perpendiculaires quelque soit la position de la figure et les déformations que je lui ferai subir. Faire l’exemple d’une construction au jugée : si j’ai construis perceptivement la perpendiculaire, elle ne le restera pas au cours du déplacement

3 Qu’est-ce que la géométrie dynamique ?
Une technologie qui a maintenant 25 ans, Cabri-géomètre Utilisée « massivement » dans l’enseignement secondaire, requise par les programmes Depuis les années 2000, des usages innovants dans le primaire et des projets de recherche pour identifier les apports de la géométrie dynamique à l’enseignement et à l’apprentissage des mathématiques En 2006, introduction dans les concours PE Dans les programmes de collège depuis 2001 Vérifier pour le socle de compétences

4 Une vidéo de classe Soleymieux Classe de CM1-CM2 6ème séance
Choix de la vidéo, c’est un principe de réalité, on voit déjà bcp d’éléments très intéressants car caractéristiques de l’usage de la GD par les élèves. Ce n’est pas non plus un exemple de ce qu’il faut faire.

5 Une « boîte noire » Le problème proposé aux élèves est une « boîte noire », un problème propre à la géométrie dynamique La première analyse de la figure par les élèves porte sur des caractéristiques telles que s’agrandir, rapetisser, qui n’en permettent pas la reconstruction Les élèves se focalisent sur la présence ou l’absence d’objets La reconstruction nécessite l’explicitation, pour le logiciel, de relations géométriques entre objets La mise en commun en classe nécessite l’explicitation du processus de construction et des objets en jeu éléments à retenir analyse de la figure initiale : analyse en terme de s’agrandir, rapetisser qui ne permettra pas de reconstruire la figure Cette tâche proposée aux élèves est une « boîte noire »

6 Le milieu, différence entre papier crayon et géométrie dynamique
En papier-crayon, le milieu s’obtient en traçant avec le crayon un point à l’endroit justement du milieu En géométrie dynamique, le milieu s’obtient en choisissant l’outil « milieu » puis en cliquant sur le segment ou bien successivement sur les deux extrémités du segment

7 Les connaissances mathématiques comme outils de résolution de problème

8 Le bateau dans la tempête
Dans l’apprentissage les connaissances fonctionnent : d’abord comme un outil implicite, utilisé dans la résolution de problème : construction à vue de la droite perpendiculaire, la perpendicularité est présente puis en voie d’explicitation : à l’interface du logiciel, certains items permettent d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu enfin il devient un objet dont on peut étudier les propriétés

9 Le bateau dans la tempête
Dans l’apprentissage les connaissances fonctionnent : d’abord comme un outil implicite, utilisé dans la résolution de problème : construction à vue de la droite perpendiculaire, la perpendicularité est présente puis en voie d’explicitation : à l’interface du logiciel, certains items permettent d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu enfin il devient un objet dont on peut étudier les propriétés

10 Le bateau dans la tempête
Dans l’apprentissage les connaissances fonctionnent : d’abord comme un outil implicite, utilisé dans la résolution de problème : construction à vue de la droite perpendiculaire, la perpendicularité est présente puis en voie d’explicitation : à l’interface du logiciel, certains items permettent d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu enfin il devient un objet dont on peut étudier les propriétés

11 Le bateau dans la tempête
Le contexte donne du sens au concept de perpendicularité et au déplacement Le fait de pouvoir bouger le bateau crée le problème : comment construire le mat ? La perpendicularité fonctionne d’abord comme un outil implicite : construction à vue d’un segment perpendiculaire est explicitée à l’interface du logiciel : l’item droite perpendiculaire permet d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu peut devenir une notion dont on étudie les propriétés Pas clair quel va être le propos à partir de cet exemple Dans l’apprentissage les connaissances fonctionnent : d’abord comme un outil implicite, utilisé dans la résolution de problème : construction à vue de la droite perpendiculaire, la perpendicularité est présente puis en voie d’explicitation : à l’interface du logiciel, certains items permettent d’obtenir le comportement dynamique visuel attendu enfin il devient un objet dont on peut étudier les propriétés

12 Pajerond ou le rôle des rétroactions dans l’évolution des stratégies de résolution
La stratégie du garagiste : on prend une roue, on la Vision mécanique : il faut attacher la roue Passage à une vision géométrique : construire le cercle avec le centre au milieu du diamètre. quelle connaissance mathématique est en jeu : le cercle, pas exactement, c’est la construction d’un cercle étant donné son diamètre, donc c’est le milieu d’un diamètre comme centre du cercle qui va être la clef du travail des élèves.

13 Pajerond ou le rôle des rétroactions dans l’évolution des stratégies de résolution
Le contexte « évoqué » amène la nécessité de déplacer Le déplacement permet des rétroactions indépendantes de l’enseignant une valeur ajoutée de la géométrie dynamique Quelle est la connaissance mathématique en jeu ? le cercle ? le cercle étant donné son diamètre le milieu d’un diamètre comme centre du cercle va être la clef du travail des élèves La connaissance visée est un outil clef de la solution Pajerond

14 La patrouille, travailler l’alignement
Evoquer les procédures papier-crayon

15 La patrouille, travailler l’alignement
difficile de placer le commandant : il faut construire une droite et sortir en quelque sorte du périmètre des points déjà placés

16 La patrouille, travailler l’alignement
A propos des ailiers, l’alignement avec le leader est utilisé mais pas l’alignement avec les autres avions

17 La patrouille, travailler l’alignement
ici, c’est clairement l’impossibilité de sortir du segment qui empêche l’élève d’acceder à la solution.

18 La patrouille, comment bloquer des stratégies et en favoriser d’autres
Les variables de la situation sont : les positions manquantes : celle du leader, celles des « centres » ou celles des « ailiers » les outils disponibles pour résoudre avec la possibilité d’utiliser un menu spécial sans « point », les élèves ne peuvent pas simplement repérer perceptivement les positions sans « segment », les élèves sont obligés d’utiliser « milieu » en sélectionnant les deux points

19 Connaissances spatiales et connaissances géométriques

20 Interaction entre spatial et géométrique
« Connaissances spatiales » Structuration de l’espace dessus-dessous, derrière-devant, à droite, à gauche, entre, rectiligne, rond, en haut-en bas, étroit, allongé, grand-petit, pointu… l’élève contrôle ses rapports usuels à l’espace avec des connaissances spatiales les problèmes concernent l’espace sensible, sont contrôlés par la perception : « utilisation d’un plan en situation réelle » « Connaissances géométriques » Savoir mathématique alignement, parallèle, perpendiculaire, milieu, cercle, triangle, rectangle, angle… l’élève construit des connaissances géométrique en référence à un savoir les problèmes concernent le caractère nécessaire et non contradictoire des propriétés des figures : « montrer qu’un carré est un rectangle » Les problèmes spatiaux : déformation des figures, trouver les formes, portent sur la réalisation d’action ou de communication à propos d’action et de constat Prendre l’exemple de carré-rectangle : connaissances culturelles : forme carré, forme rectangle, on ne qualifie pas une forme carré de rectangulaire, c’est une perte d’information dommageable pour résoudre un problème de l’espace en géométrie, on le fait, cela témoigne de connaissances mathématiques particulières Programme « Passer progressivement d’une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par connaissance et explicitation de propriétés et recours à des instruments » Comment prendre cela en compte ? le spatial est travaillé, le théorique aussi, mais l’articulation entre les deux non. Exemple : : « Recherche de procédés pour obtenir des droites perpendiculaires ou parallèles par pliage d’une feuille de papier » ; « Elèves confrontés à des cas où il est nécessaire de prolonger les traits qui représentent les droites » les connaissances spatiales fondent la construction des connaissances géométriques : - c’est vrai historiquement pour le développement du savoir géométrique, les problèmes spatiaux sont fondateurs c’est vrai individuellement, l’élève construit des connaissances spatiales avant que quiconque n’envisage de les lui enseigner, les connaissances géométriques se développent à partir de celles là. La géométrie comme science des situations spatiales les connaissances géométriques permettent de contrôler efficacement l’espace les activités géométriques contribuent à la construction de l’espace (instructions officielles) les connaissances spatiales fondent la construction des connaissances géométriques

21 Figure et dessins Toute résolution d’un problème de géométrie s’appuie sur une représentation graphique, appelée communément figure La figure est un objet théorique, c’est un ensemble d’objets géométriques liés par des relations ; Le dessin est une représentation matérielle de cet objet théorique, une trace sur un support physique : papier, sol, écran… Les dessins ne sont pas les seules représentations d’une figure qui n’est pas l’articulation précédente entre spatial et géométrique Mettre une figure avec pleins de carrés et des images de carrés sur papier et sur le sol prises dasn magesi

22 Différents espaces de constructions
Le site MAGESI Citer MAGESI, un site élaboré avec le soutien de l’INRP pour mettre en place en CM1-CM2 des activités Dire que les instruments ne sont pas les mêmes, mêmes s’il y a des transfert d’un environnement à l’autre Les contrôles ne sont pas non plus les mêmes, c’set à dire les moyens utilisables pour savoir que l’on a réussi : contrôle perceptif qui fonctionne toujours, mais quand même plus difficilement dans le meso-espace, contrôle perceptif instrumenté

23 Géométrie dynamique et géométrie dans l’espace
Travail sur les solides Changement de point de vue Travail sur les patrons

24 Travail sur les solides usuels
Les pavés On part d’un contexte dans lequel le mot apparaît et on s’en sépare au fur et à mesure du travail Voir CE1 le pavé sous toutes ses faces, mais seule la rotation possible, classement des solides en pavé ou non pavé Commencer l’analyse du solide par l’une de ses caractéristiques : la hauteur et ce qui est en jeu n’est pas la hauteur au sens spatial, c’est à dire la plus grande dimension, ou la dimension dans le sens vertical, mais la hauteur par rapport à une base définie dans un plan.

25 Analyse d’un solide Ici l’intérêt est le travail sur le solide sans sa reconnaissance perceptive immédiate, il est parfois caché ou présenté uniquement avec des faces

26 Vrai ou faux patrons Le travail sur les patrons de polyèdres
passage continue d’une vue plane à une vue dans l’espace, continuité entre le patron et le solide manipulations concrètes facilitées et reproductibles Savoirs en jeu le nombre de faces du patron est le même que celui du polyèdre les faces du patron sont des polygones identiques aux faces du solide les faces adjacentes sur le patron le sont sur le solide

27 Au delà de la géométrie

28 Une collection de cahiers d’activités

29 Les mêmes principes à l’œuvre
Manipulation directe de représentations d’objets mathématiques Comportement dynamique des objets cohérents avec les mathématiques Des rétroactions qui aident l’élève Des plus une organisation en cahiers qui prend en charge la progression et les changements de stratégie des élèves

30 Un exemple pour le numérique
Démo sur la roue des 10 Montrer l’évolution des stratégies au fils des pages Montrer l’intelligence des cercles : des objets qui savent compter

31 Pour la résolution de problème avec les fractions et les décimaux
Montrer le travail sur les écritures des nombres Montrer le développement des stratégies montrer l’aide qui ne fait pas à la place CM1 la transformation des écritures fractionnaires en écriture le domino permet de manipuler des écritures différentes d’un même nombre en cassant le côté calcul et la vison du signe = comme indiquant qu’il faut effectuer une opération

32 Conclusion possible au delà de la géométrie Distinction dessin/figure
Rôle de la mesure idée de contrôle perceptif simple / perceptif instrumenté Manipulation directe de représentations d’objets géométriques possible au delà de la géométrie

33 Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ?
Un environnement pour manipuler les objets et les relations Les manipulations jouent plusieurs rôles elles servent à produire la solution du problème elles permettent d’obtenir des rétroactions porteuses d’information pour la résolution elles sont l’objet de formulations - pour décrire la construction et permettre à autrui de la refaire - pour justifier par écrit et interpréter géométriquement Avec la géométrie dynamique, les rétroactions apportent des informations sur la validité de la stratégie sont indépendantes de l’enseignant donc elles soutiennent l’autonomie de l’élève dans la prise en charge du problème Retour sur les hypothèses d’apprentissage sous jacentes au développement de ces situations,pour les mathématiques : la notion de situation et milieu la notion de médiation sémiotique L檀ypoth鑚e d誕pprentissage implicite est que ces concepts sont construits comme 駑ergeant d弾xp駻imentations et d弛bservations. Ce point de vue 駱ist駑ologique est nouveau dans le discours institutionnel et contraste fortement avec la position de certains math駑aticiens dans la premi鑽e phase. L弾nseignement de la g駮m騁rie � l帝cole primaire a pour objectif non seulement une meilleure connaissance des objets d置n point de vue de leur forme et de leurs positions spatiales respectives mais aussi une entr馥 dans la mod駘isation de ces objets par des propri騁駸 g駮m騁riques, comme le parall駘isme ou la perpendicularit�.

34 Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ?
L’articulation entre connaissances spatiales et connaissances géométriques : connaissances spatiales pour débuter dans la recherche de solution connaissances géométriques comme clef pour résoudre le problème connaissances spatiales et géométriques pour valider la solution, grâce au déplacement La distinction « en acte » entre dessin, les Cabri-dessins, et figure géométrique L’articulation entre connaissances spatiales et connaissances géométriques

35 Qu’apporte la géométrie dynamique à l’apprentissage et l’enseignement ?
Pas seulement pour faire plus vite, plus de cas, plus « proprement », mais pour proposer de nouveaux problèmes Un environnement pour faire des essais, des erreurs et recommencer : un cahier de brouillon informatique, pour changer la pratique des mathématiques, une pratique plus expérimentale

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