Potentiel électrostatique

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1 Potentiel électrostatique
CHAPITRE 3 POTENTIEL ELECTROSTATIQUE Notes de cours. Electricité1. Y.OUAZZANY

2 Potentiel électrostatique
 Champ électrostatique  champ de vecteurs  Potentiel électrostatique  champ de scalaires  La fonction potentiel présente un double intérêt:  calcul du champ électrostatique.  elle est directement liée à l'énergie potentielle électrique d'une charge placée dans un champ électrostatique. I- CIRCULATION DU CHAMP ELECTROSTATIQUE r q Q A M B Travail de entre A et B: r + dr dC est la circulation élémentaire de le long de la courbe AB Notes de cours. Electricité1. Y.OUAZZANY

3  Calcul de dC: que l'on peut écrire sous la forme: V0 étant une constante. avec d'où  La circulation élémentaire du champ électrostatique d'une charge ponctuelle est la différentielle totale d'une fonction V(M) appelée potentiel électrostatique de la charge Q au point M.

4  Remarques  En intégrant dC entre A et B, on obtient:   La circulation de est indépendante du trajet suivi entre A et B. Elle ne dépend que des positions A et B.  V(A)  V(B) est la "différence de potentiel entre A et B".  Si A est confondu avec B, on trouve:  La circulation de le long d'une courbe fermée est nulle.  Le champ est à circulation conservative. et est un champ de gradients.

5   Le travail que doit fournir un opérateur pour déplacer une charge q dans un champ électrostatique entre 2 points A et B est conservatif. avec Ee(M)  q V(M) énergie potentielle électrique de la charge q  V(M) est défini à une constante près.  S'il n'y a pas de charges à l'infini, alors V()  0 et V0  0  V(0) n'est pas défini.

6  Unité : Volt (V) Le volt est la ddp entre 2 points tels que pour un déplacement d'une charge de 1 coulomb d'un point à un autre, le travail de la force électrostatique est de 1 joule.  Définition: 1J 1C 1V  Seule la ddp entre 2 points est mesurable et a un sens physique.  Le potentiel de la Terre est la référence des potentiels:

7 II- RELATION ENTRE LE CHAMP ET LE POTENTIEL
 avec et   "dérive" du potentiel V(M)  est toujours dirigé vers les potentiels décroissants    équation de Poisson

8 III- APPLICATIONS 1- Potentiel créé par un ensemble de charges ponctuelles q1, q2, q3, …, qn créent en un point M de l'espace les champs donc et d'où 2- Potentiel créé par une distribution continue de charges  Volume V chargé avec une densité : P point de la distribution, M point de l'espace avec PM  r.

9  Surface S chargée avec une densité :
 Ligne L chargée avec une densité :

10 3- Dipôle électrostatique
 Définition: On appelle dipôle (ou doublet) électrostatique un système de 2 charges ponctuelles opposées (+q) et (q) séparées par une distance l constante et infiniment petite.  Potentiel créé par le dipôle: O r r1 q +q  A r2 M B avec AB  l  r d'où

11  Moment dipolaire: q +q A B  toujours dirigé de (q) vers (+q)  Unité: coulomb.mètre (C.m) ou bien le Debye (D):  caractérise entièrement le dipôle électrostatique.  Le potentiel V(M) s'exprime alors en fonction du moment dipolaire par: avec ou bien avec

12  Champ électrostatique créé par le dipôle:
 En coordonnées polaires, s'écrira:  Positions de Gauss: q +q O q +q M   V  0 sur la médiatrice

13  Action d'un champ uniforme sur un dipôle:
q +q A B O   Dipôle dans uniforme   Couple de forces de moment résultant: de module:  Position d'équilibre:  le dipôle s'oriente parallèlement au champ

14 4- Généralisation: distributions multipolaires
 Potentiel créé grande distance par une distribution de charges O q1 qi q2 M Soit un ensemble de charges qi réparties dans un petit volume autour d'un point O. M point de l'espace tel que V(M) s'écrira alors: On pose: et Alors:

15  Q  0  le 1er terme est prépondérant
 distribution polaire ( charge ponctuelle)  Q  0 et  le 2ème terme est prépondérant  distribution dipolaire (CO, H2O,…)  Q  0 et  le 3ème terme est prépondérant  distribution quadrupolaire (CO2) c-à-d:

16 IV- DIAGRAMME ELECTRIQUE
1- Surface équipotentielle C'est une surface (S) telle qu'en tous ses points le potentiel est le même: V(M)  Cte ,  M  (S). 2- Ligne de champ C'est une courbe (C) tangente en tous ses points au champ électrostatique .  les lignes de champ sont des trajectoires orthogonales aux surfaces équipotentielles.  est dirigé vers les potentiels décroissants: V1 V3 V2 V1 > V2 > V3

17  Si est uniforme alors :
 Une ligne de champ électrostatique ne peut pas être une courbe fermée .  Si est uniforme alors :  les lignes de champ sont des droites parallèles.  les équipotentielles sont des plans parallèles.  exemple: V1 V2 V3

18 3- Diagramme électrique
L'ensemble des lignes de champ et des surfaces équipotentielles forment le diagramme électrique d'une distribution de charges.  Exemple: Dipôle électrostatique:  Equation des lignes de champ:   Equation des équipotentielles: V(M)  Cte 

19 équipotentielles lignes de champ Diagramme électrique d'un dipôle électrostatique

20 4- Continuité du potentiel
 Charge ponctuelle: Le potentiel est continu dans tout l'espace sauf sur la charge elle-même (point singulier).  Distribution volumique: Le potentiel est donc continu dans tout l'espace.

21  Distribution surfacique:
M Disque (M,R) V(M) partout défini  V(M) continu dans tout l'espace.  Distribution linéique: V(M) non défini pour r  0 

22 5- Théorème sur les extrêmums de potentiel
 Dans une région où il n'existe pas de charges, le potentiel ne présente ni maximum ni minimum.  Charge (+) en un point M  V(M) maximum  une ligne de champ ne peut partir que d'un point où il y a une charge positive.  Charge () en un point M  V(M) minimum  une ligne de champ s'arrête là où il y a une charge négative.

23 V- ENERGIE POTENTIELLE ELECTROSTATIQUE
1- Définition  L'énergie potentielle électrostatique Ee d'un système de charges qi est l'énergie qu'il faut fournir pour amener ces charges de l'infini jusqu'aux positions Mi qu'elles occupent. 2- Système de 2 charges ponctuelles q2 M2 r12  pour amener q2 en M2 il faut fournir le travail: q1 M1  pour amener q1 en M1 l'opérateur ne fournit aucun travail. car

24  L'énergie potentielle de la charge q2 dans le champ électrostatique de q1 est alors:
avec  Une charge q placée en un point M où existe un potentiel V(M) aura une énergie potentielle électrostatique égale à:  L'énergie potentielle électrostatique d'un système de 2 charges ponctuelles q1 et q2 est:

25 3- Système de n charges ponctuelles
 q2 q1 M1 M2 r12 r13 M3 q3 r23    D'où:

26  Généralisation:  Système de n charges ponctuelles  Soit Vi le potentiel créé en Mi par toutes les charges sauf qi: L'énergie potentielle électrostatique Ee s'écrit alors:

27  Distribution continue de charges:
 distribution volumique: P  V V(P) est le potentiel total créé par toutes les charges au point P.  distribution surfacique:  distribution linéique:  Densité d’énergie: On montre que d’où