Les machines de Turing Lionel Blavy Sébastien Giraud Fabien Tricoire

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1 Les machines de Turing Lionel Blavy Sébastien Giraud Fabien Tricoire
Page de Titre Lionel Blavy

2 Plan Introduction Définition et description Un exemple (simple)
Variations sur les MT Conclusion

3 Introduction Historique Situation par rapport aux automates

4 Un peu d’histoire 1900 : Hilbert pose 23 problèmes
intérêt de Turing pour celui de la décidabilité 1936 : sa fameuse machine clôt ce problème

5 MT vs Automates automate fini grammaire régulière
automate à pile grammaire algébrique Turing va plus loin

6 Définition/description
Qu’est-ce qu’une machine de Turing ? Description formelle Terminologie

7 Description d’une MT (1) machine abstraite, théorique
ruban tableau infini une case un symbole une tête de lecture/écriture

8 Description d’une MT (2)
Une MT peut : lire/écrire un symbole sur le ruban déplacer sa tête à gauche ou à droite, une case à la fois changer d’état s’arrêter

9 Schéma d’une MT tête de lecture/écriture ruban

10 Description formelle Une machine de Turing : M = ( Q, , , , s, B, F )
Q ensemble fini d’états alphabet fini de ruban alphabet d’entrée s Q état initial F Q ensemble des états accepteurs B « symbole blanc » ( souvent noté # ) : Q x Q x x {L,R} fonction de transition

11 Quelques définitions (1)
Un mot est accepté si la MT s’arrête avec oui comme résultat Un langage est accepté si tous ses mots sont acceptés Un langage L est décidé par une MT M si M accepte L M refuse tous les mots qui ne sont pas dans L L’exécution de M se fait donc toujours en un nombre fini d’étapes

12 Quelques définitions (2)
Une configuration est un triplet comportant l’état de la machine le mot apparaissant avant la tête le mot se trouvant entre la tête et le dernier symbole non blanc

13 Utilisation d’une MT sur un exemple
Codage données/résultat Formalisation du problème Fonction de transition Diagramme espace/temps

14 Machine de Turing reconnaissant
Codage données/résultat : Entrée : le mot à tester Sortie : 1 si le mot appartient au langage, 0 sinon. Par exemple :

15 Formalisation Q = {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9, q10}
= {a,b,c,X,Y,Z} = {a,b,c} s = q0 F = {q7, q10} B = #

16 La fonction de Transition
Pour chaque a, il doit y avoir un b et un c. Règles : (q0, a) ® (q1, X, D) (q1, a) ® (q1, a, D) (q1, b) ® (q2, Y, D) (q2, b) ® (q2, b, D) (q2, c) ® (q3, Z, L) …

17 Exécution de la MT temps espace

18 Variations sur les MT MT à 2 bandes vers MT à 1 bande
Composition de MT Simuler un automate fini déterministe

19 Les MT à 2 rubans Une telle machine possède une tête par bande ainsi que la possibilité pour elles de ne pas se déplacer à un moment donné Par exemple : reconnaître

20 Simulation d’une MT 2 rubans par une MT classique
Il suffit alors de faire des recherches de têtes pour faire les opérations

21 Composition de MT Envoyer le résultat d’une MT sur une seconde MT
Mise en œuvre simple : on « concatène » les fonctions de transition

22 Simuler un automate fini
Un ruban pour le mot d ’entrée Un ruban pour les états Un ruban pour les transitions

23 En conclusion Un outil puissant A montré les limites de l’informatique
Débouché sur la thèse de Turing-Church La MT n’est pas dédiée à des résultats booléens