Vecteurs et translations

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1 Vecteurs et translations
I. Notion de vecteur : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : une direction un sens B une longueur A

2 II. Vecteur et translation :
Exercice : Construis l’image du bateau après un glissement qui amène A en A’. Quelle est la nature du quadrilatère DAA’D’ ? Une translation est définie par la donnée d’un sens (ici de A vers A’), d’une direction (ici la droite (AA’)) et d’une longueur (ici AA’). L’image B’ de B par cette translation est telle que BAA’B’ est un parallélogramme. Menu

3 La translation transforme une figure en une figure superposable.
Propriétés : La translation conserve les distances, l’alignement des points, le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, les angles, les milieux de segments. La translation transforme une figure en une figure superposable. Menu

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5 Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ;
Propriété : C Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; D B A Cas où ABCD est un parallélogramme aplati. A D O B C

6 Conséquences : C D O B A B M A

7 III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs :
F2 F3 F1 C B D A

8 Construction de la somme deux vecteurs :
B C D A C A B (On utilise la relation de Chasles) (On utilise la règle du parallélogramme puis la relation de Chasles)

9 IV. Composée de deux symétries centrales :
Propriété : I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur I J

10 Coordonnées d’un vecteur :
V. Dans un repère : Coordonnées d’un vecteur : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le vecteur Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; -2) et B(-5 ; 1). Ces coordonnées correspondent au déplacement à effectuer pour aller de A à B : -8 pour passer de 3 à –5 en abscisse, 3 pour passer de –2 à 1 en ordonnée.

11 Coordonnées du milieu d’un segment :
Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1) . Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont : d’où M(1 ; 2)

12 Distance entre deux points : Propriété :
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule : (attention, aucune simplification n’est possible dans cette formule entre la racine et les carrés ...) Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; -2) et B(-5 ; 1).