PRINCIPE DES TESTS D’HYPOTHÈSE

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1 PRINCIPE DES TESTS D’HYPOTHÈSE
1. Notion de test 2. Notion d’hypothèse 3. Choix d’une statistique 4. Définir une règle de décision 5. Choix du risque 6. Types de test

2 Notion de test statistique
Un test statistique sert à répondre à une question Un exemple Masse corporelle à la naissance = trait d’histoire de vie, lié à d’autres traits démographiques. La masse corporelle des chevreuils à la naissance est-elle influencée par l’habitat ? X = masse corporelle de chevreuils X1 : en forêt de feuillus : n1 = 50 X2 : en forêt de résineux : n2 = 50 Les différence observée est-elle réelle ou liée au hasard? Pour le savoir on estime la probabilité que les résultats obtenus soient dus au hasard.

3 Etapes de la création d’un test
Notion de test statistique Etapes de la création d’un test A priori 1. choix des hypothèses de travail 2. choix d’une statistique S = variable de décision 3. définition d’une règle de décision = zone de rejet A posteriori 4. calcul de s, valeur de S dans l’échantillon 5. décision 6. commentaire (risques) 7. interprétation

4 Notion d’hypothèse Deux types d’hypothèses H0 : hypothèse nulle
Ha : hypothèse alternative C’est l’hypothèse qu’on veut tester il n’y a pas d ’influence de l’environnement: μ1 = μ2 C’est l’hypothèse qu’on retient si H0 est rejetée il existe une influence de l’environnement: μ1 ≠ μ2

5 Choix d’une statistique
Une statistique est une variable aléatoire S = variable de décision Choix en fonction de : * la question posée * la nature des données : type de variable, effectif de l’échantillon * la puissance des tests disponibles

6 Définir une règle de décision
Zone de la statistique où on décide de rejeter Ho car P(observer les données)/Ho est faible On acceptera H0 si Sobs est supérieur à Smin et inférieur à Smax Sobs S Smin Smax E(S) On rejetera H0 si Sobs est inférieur à Smin ou supérieur à Smax Sobs zone de rejet : |S | > 3

7 Choix du risque Risque de première espèce supposons :
 = P(rejeter Ho / Ho vraie) Nécessite de connaître la distribution de S sous Ho supposons : Alors, sous Ho :

8 Choix du risque Risque de première espèce Smin Smax E(S)
P(Smin<S<Smax) = 1 -  et donc  = P(S>Smax)+ P(S<Smin) = P(rejeter H0/H0 vraie)  = P (|S | >3 / S ~ N(0,2) )

9 Choix du risque  = 0,0668 Risque de première espèce
Exemple de calcul  = 0,0668 En pratique on prend un risque  = 0,05

10 Choix du risque Risque de deuxième espèce β = P(accepter H0/H1 vraie)
Smax vraie distribution sous H0 Smin 1-β est la puissance du test

11 Choix du risque Risque de deuxième espèce Exemple de calcul
Supposons : m1 - m2 =5 Sous H0 En réalité

12 Choix du risque Risque de deuxième espèce
Exemple de calcul b = P (S ≤ 3 / S ~ N(5,2) ) = 0,1949 : c’est beaucoup! b = P (ε ≤ -1) = 1- P (ε ≤ 1) = 1- 0,8051 En pratique on ne connaît pas 

13 Choix du risque b varie en fonction de a - 4 3 2 H a H o b a - 1 1 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9

14 b varie en fonction de Ha
Choix du risque b varie en fonction de Ha - 4 3 2 1 a 5 6 7 8 9 b H o Le risque de ne pas détecter une hypothèse alternative augmente lorsque Ha est proche de Ho.

15 Choix du risque b varie en fonction de n
Lorsque n augmente, la variance de S diminue :  et  diminuent

16 Test unilatéral / bilatéral
Types de test Test unilatéral / bilatéral  = 0,05 a/2 a/2 a u’’ u’

17 Conclusion décision Ho acceptée Ho rejetée réel Ho vraie 1-a a 1-b
(puissance) Ho fausse b - a : fixé - b : non connu explicitement (Ha non explicite) b augmente lorsque a diminue b augmente lorsque Ha est proche de Ho a et b diminuent lorsque n augmente