Les fonctions leurs propriétés et.

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1 Les fonctions leurs propriétés et

2 Chaque fonction possède ses propres caractéristiques :
- domaine - codomaine (ou image) - variation - signes - coordonnées à l’origine - extrémums Ainsi, l’analyse de ces propriétés permet de cerner chaque type de fonctions.

3 Il est plus facile de décrire les caractéristiques d’une fonction à partir de sa représentation graphique. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x

4 Le domaine d’une fonction

5 Utilisons quelques couples pour bien comprendre.
Le domaine d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable indépendante de la fonction. Nous nous intéressons donc aux valeurs de x (variable indépendante) dans la fonction. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ( -1 , ) ( -3 , ) ( -5 , ) ( -6 , ) 2 4 6 7 ( 3 , ) ( 4 , ) ( 6 , ) ( 8 , ) -2 -3 -5 -7 Utilisons quelques couples pour bien comprendre. Il faut donc lire sur l’axe des x. Dans cet exemple, dom f : [ -6 , 8 ] signifie le domaine de la fonction.

6 Donne le domaine des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -5 , 8 ]

7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -9 , 3 ]

8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -5 , 5 ]

9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -7 , 7 ]

10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -7 , 9 ]

11 Le codomaine d’une fonction
ou l’image d’une fonction

12 Nous nous intéressons donc aux valeurs que prend f(x) (variable
Le codomaine ou l’image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs que prend la variable dépendante de la fonction. Nous nous intéressons donc aux valeurs que prend f(x) (variable dépendante) dans la fonction. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ( -1 , ) ( -3 , ) ( -5 , ) ( -6 , ) 2 4 6 7 ( 3 , ) ( 4 , ) ( 6 , ) ( 8 , ) -2 -3 -5 -7 Utilisons quelques couples pour bien comprendre. Il faut donc lire sur l’axe des y. Dans cet exemple, ima f : [ -7 , 7 ] signifie l’image de la fonction. Nous pourrions aussi écrire : codom f : [ -7 , 7 ]

13 Donne le codomaine des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ima f : [ -8 , 8 ]

14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ima f : [ -3 , 4 ]

15 Remarque : Pour exprimer un intervalle, il faut toujours le faire de la plus petite valeur à la plus grande. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ima f : [ -3 , 4 ] ima f : [ 4 , -3 ] Correct. Incorrect.

16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ima f : [ 0 , 7 ]

17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x ima f : [ 1 , 8 ]

18 Le domaine et le codomaine (l’image) sont les deux caractéristiques les plus importantes.
Elles permettent de décrire les autres propriétés, comme : - variation; - signes; - coordonnées à l’origine; - extrémums.

19 Donne le domaine et le codomaine des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -5 , 8 ] ima f : [ -8 , 8 ]

20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -9 , 3 ] ima f : [ -3 , 4 ]

21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x dom f : [ -7 , 9 ] ima f : [ -4 , 3 ]

22 Variation d’une fonction
- Croissance - Décroissance - Constance

23 Dans cet exemple, la fonction est croissante sur [ 0 , 10 ].
Une fonction est croissante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) augmentent. La courbe monte. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La croissance s’analyse toujours sur l’axe des abscisses (l’axe des x). Dans cet exemple, la fonction est croissante sur [ 0 , 10 ].

24 Dans cet exemple, la fonction est décroissante sur [ 0 , 10 ].
Une fonction est décroissante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) diminuent. La courbe descend. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La décroissance s’analyse toujours sur l’axe des abscisses (l’axe des x). Dans cet exemple, la fonction est décroissante sur [ 0 , 10 ].

25 Nous dirons que la fonction est croissante sur l’intervalle
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Exemple Lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x de -6 à -1, les valeurs de f(x) augmentent. Nous dirons que la fonction est croissante sur l’intervalle [ -6 , -1].

26 Nous dirons que la fonction est décroissante sur l’intervalle
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Exemple Lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x de -1 à 4, les valeurs de f(x) diminuent. Nous dirons que la fonction est décroissante sur l’intervalle [ -1 , 4 ]. Remarque : Les valeurs de f(x) augmentent ou diminuent, mais l’analyse se fait toujours sur l’axe des x.

27 La courbe est horizontale.
Une fonction est constante sur un intervalle donné si les valeurs de f(x) ne changent pas. La courbe est horizontale. y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 La constance s’analyse toujours sur l’axe des abscisses (l’axe des x). Dans cet exemple, la fonction est constante sur [ 0 , 10 ].

28 Nous dirons alors que la fonction est constante sur l’intervalle
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Exemple Lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x , les valeurs de f(x) ne changent pas. Nous dirons alors que la fonction est constante sur l’intervalle [ -6 , 5 ]. Attention : La croissance, la décroissance et la constance d’une fonction s’analysent toujours par rapport au domaine, donc toujours sur l’axe des x.

29 - L’intervalle de croissance est :
Dans cet exemple : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x - L’intervalle de croissance est : [ -8 , -5 ]. - L’intervalle de décroissance est : [ 2 , 9]. - L’intervalle de constance est : [ -5 , 2 ].

30 Étudie la variation des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Fonction croissante sur : [ 0 , 4 ]

31 Fonction croissante sur : [ -5 , 8 ]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Fonction croissante sur : [ -5 , 8 ]

32 Fonction décroissante sur : [ -9 , 3 ]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Fonction décroissante sur : [ -9 , 3 ]

33 Fonction décroissante sur : [ -7 , 0 ] Fonction croissante sur :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Fonction décroissante sur : [ -7 , 0 ] Fonction croissante sur : [ 0 , 7 ]

34 Fonction croissante sur : [ -7 , 1 ] Fonction décroissante sur :
2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Fonction croissante sur : [ -7 , 1 ] Fonction décroissante sur : [ 1 , 9 ]

35 Les signes d’une fonction

36 Une fonction est positive lorsque les valeurs de f(x) (les valeurs de y) sont positives.
Une fonction est négative lorsque les valeurs de f(x) (les valeurs de y) sont négatives.

37 Au-dessus de l’axe des x, les valeurs de f(x) sont positives. ( -5 , )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Explication ( -6 , ) 2 4 6 7 Au-dessus de l’axe des x, les valeurs de f(x) sont positives. ( -5 , ) ( -3 , ) Donc, les signes de la fonction sont positifs. ( -1 , ) ( 3 , ) -2 -3 -5 -7 Au-dessous de l’axe des x, les valeurs de f(x) sont négatives. ( 4 , ) ( 6 , ) Donc, les signes de la fonction sont négatifs. ( 8 , ) Attention : Les signes d’une fonction (les valeurs de f(x)) s’analysent toujours par rapport au domaine, donc toujours sur l’axe des x.

38 - lorsque nous nous déplaçons sur l’axe
Exemple 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Dans cette fonction : - lorsque nous nous déplaçons sur l’axe des x de -5 jusqu’à 2, les valeurs de f(x) sont négatives. Donc, les signes de la fonction sont négatifs sur : [ -5 , 2 ]. - lorsqu’on se déplace sur l’axe des x de 2 jusqu’à 8, les valeurs de f(x) sont positives. Donc, les signes de la fonction sont positifs sur : [ 2 , 8 ].

39 Analyse les signes des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Positifs sur : [ -9 , -2 ] Négatifs sur : [ -2 , 3 ] Remarque : 0 étant considéré à la fois, comme positif et négatif, cette valeur particulière de f(x) doit être considérée sur les deux intervalles; les intervalles sont donc fermés.

40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 - Signes positifs sur :
y x - Signes positifs sur : [ -5 , 5 ]

41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x [ -7 , -4 ] [ 6 , 9 ]  - Signes négatifs sur : - Signes positifs sur : [ -4 , 6 ]

42 Les coordonnées à l’origine d’une fonction
L’ordonnée à l’origine ou valeur initiale - L’abscisse à l’origine ou zéro(s) de fonction

43 L’ordonnée à l’origine
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x L’ordonnée à l’origine Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées (axe des y). Dans cet exemple, l’ordonnée à l’origine est 3.

44 L’ordonnée à l’origine
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 x L’ordonnée à l’origine Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées (axe des y). L’ordonnée à l’origine est aussi appelée la valeur initiale, car généralement elle correspond à la première valeur de la fonction.

45 L’ordonnée à l’origine
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’ordonnée à l’origine 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Graphiquement, l’ordonnée à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des ordonnées (axe des y). À cet endroit, x = 0. Donc, algébriquement, l’ordonnée à l’origine est la valeur de f(x) quand x = 0 ou f(0). Les coordonnées de ce point sont : ( 0 , 3) x = 0 f(0) = 3

46 L’abscisse à l’origine
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x L’abscisse à l’origine Graphiquement, l’abscisse à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses (axe des x). Dans cet exemple, l’abscisse à l’origine est -6.

47 L’abscisse à l’origine
Les coordonnées à l’origine d’une fonction sont les coordonnées des points d’intersection de la fonction avec les axes. L’abscisse à l’origine 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Graphiquement, l’abscisse à l’origine d’une fonction est le point de rencontre de la courbe avec l’axe des abscisses (axe des x). À cet endroit, f(x) = 0. Donc, algébriquement, l’abscisse à l’origine est la valeur de x quand f(x) = 0. Les coordonnées de ce point sont : ( -6 , 0) x = -6 f(x) = 0

48 Attention : abscisse à l’origine = zéro de fonction. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Remarque L’abscisse à l’origine est la valeur de x quand la fonction est égale à zéro. C’est pourquoi, on appelle aussi l’abscisse à l’origine, le zéro de fonction, car à ce point précis, f(x) = 0. Attention : abscisse à l’origine = zéro de fonction.

49 Symbole Ordonnée à l’origine : f(0) Abscisse à l’origine : f(x) = 0

50 Donne l’ordonnée à l’origine et l’abscisse à l’origine des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Ordonnée à l’origine : 4 Abscisse à l’origine : 2

51 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Ordonnée à l’origine : -3
y x Ordonnée à l’origine : -3 Abscisse à l’origine : -4

52 Une fonction peut avoir plus d’une abscisse à l’origine.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Ordonnée à l’origine : 3 Abscisse à l’origine : -6 et 4 Remarque : Une fonction peut avoir plus d’une abscisse à l’origine.

53 Une fonction peut ne pas avoir d’abscisse à l’origine.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Ordonnée à l’origine : 5 Abscisse à l’origine : aucune Remarque : Une fonction peut ne pas avoir d’abscisse à l’origine.

54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Ordonnée à l’origine :
y x Ordonnée à l’origine : Abscisse à l’origine :

55 Les extrémums d’une fonction
- Maximum - Minimum

56 Le maximum d’une fonction est la plus grande valeur de f(x).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Exemple - Maximum : 4 Remarque : Les extrémums se lisent sur l’axe des ordonnées.

57 Le minimum d’une fonction est la plus petite valeur de f(x).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Exemple - Minimum : -9

58 Détermine les extrémums des fonctions suivantes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 y x Maximum : 7 Minimum :

59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Maximum : 9 Minimum : 2 y

60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Maximum : 3 Minimum : - 4
y x Maximum : 3 Minimum : - 4

61 y x 1 1 Maximum : 1 Minimum : - 1

62 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 Maximum : 4 Minimum : - 8
y x Maximum : 4 Minimum : - 8

63 Remarques 1. L’axe des abscisses sert de référence pour analyser :
- le domaine; - la variation (croissance, décroissance et constance); - les signes (signes positifs ou négatifs); - le(s) abscisse(s) à l’origine ou zéro(s) de fonction. 2. L’axe des ordonnées sert de référence pour analyser : - le codomaine ou l’image; - les extrémums; - l’ordonnée à l’origine.

64 Analyse les propriétés de la fonction suivante.
- dom f : [ 0 , 9 ] 1 300 1 200 1 100 1 000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y x - ima f : [ 100 , ] - fonction croissante sur : [ 0 , 1 ] [ 3 , 4 ] [ 8 , 9 ] - fonction décroissante sur : [ 1 , 3 ] [ 6 , 8 ] - fonction constante sur : [ 4 , 6 ] - signes positifs sur : [ 0 , 9 ] - signes négatifs sur : aucun intervalle - ordonnée à l’origine : 400 - abscisse à l’origine (zéro de fonction ) : aucune - extrémums : - maximum : 1 100 - minimum : 100

65 Montant dans mon compte pour le mois de novembre
Analyse cette situation. Solde($) Nb de jours - 200 - 100 100 200 300 400 500 600 700 Montant dans mon compte pour le mois de novembre 5 10 15 20 25 30 - dom f : [ 0 , 30 ] jours - ima f : [ , 700 ] dollars - fonction croissante sur : [ 0 , 5 ] [ 25 , 30 ] jours - fonction décroissante sur : [ 10 , 25 ] jours - fonction constante sur : [ 5 , 10 ] jours - signes positifs sur : [ 0 , 20 ] et 30e jours - signes négatifs sur : [ 20 , 30 ] jours - ordonnée à l’origine : 200,00 $ - abscisse à l’origine : 20e et 30e jours - extrémum : - maximum : 700,00 $ - minimum : - 200,00 $

66 x Analyse les propriétés de la fonction suivante :
f(x ) = 2x – 6 sur le domaine [ 0 , 6 ]. Pour t’aider à analyser une fonction à partir de la règle, remplis une table de valeurs et trace son graphique. 3 2 1 4 5 6 -5 -6 -3 -4 -2 -1 y x Cet exemple s’intéresse aux valeurs de x compris entre 0 et 6, car le domaine est [ 0 , 6 ]. Donc, x 1 2 3 4 5 6 y = 2x - 6 -6 -4 -2

67 f( x ) = 2 x – 6 sur le domaine [ 0 , 6 ]
- dom f : [ 0 , 6 ] 3 2 1 4 5 6 -5 -6 -3 -4 -2 -1 y x - ima f : [ - 6 , 6 ] - fonction croissante sur : [ 0 , 6 ] - fonction décroissante sur : aucun intervalle - fonction constante sur : aucun intervalle - signes positifs sur : [ 3 , 6 ] - signes négatifs sur : [ 0 , 3 ] - ordonnée à l’origine : -6 - abscisse à l’origine : 3 - extrémum: maximum : 6 minimum : - 6

68 Depuis 1970, le Québec utilise le Système international d’unités (SI)
Depuis 1970, le Québec utilise le Système international d’unités (SI). Ainsi, pour calculer la vitesse d’une automobile, l’unité de mesure utilisée est le kilomètre à l’heure (km/h). Avant cette date, nous utilisions le Système impérial. Le calcul de la vitesse d’une automobile s’effectuait alors avec l’unité de mesure mille par heure (MPH). Dans les voitures, les odomètres représentent les deux systèmes de mesures.

69 x représente la variable indépendante : km/h
L’équation permettant de passer des km/h aux mph est : f(x) = 0,625 x dans laquelle : x représente la variable indépendante : km/h et f(x) représente la variable dépendante : MPH On voudrait convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160. Détermine le domaine et le codomaine de cette situation.

70 Le domaine est relié à la variable indépendante.
dom f : [ 0 , 160 ] km/h Donc, Le codomaine est relié à la variable dépendante. Pour calculer ce codomaine, la règle est la suivante : f(x) = 0,625 x Le codomaine étant en relation avec le domaine : D’abord, la première valeur de f(x) est calculée en remplaçant x par la première valeur du domaine qui est égale à 0. f(x) = 0,625 x f(0) = 0,625 X 0 = 0 MPH

71 dom f : [ 0 , 160 ] km/h Puis, la dernière valeur du codomaine est calculée en remplaçant x par 160. f(x) = 0,625 x f(160) = 0,625 X = 100 mph codom f : [ 0 , 100 ] mph Pour convertir en MPH, les km/h compris entre 0 et 160, f(x) = 0,625 x la règle est : dom f : [ 0 , 160 ] km/h codom f : [ 0 , 100 ] MPH