Cours #2 – Transformée de Laplace

Cours #2 – Transformée de Laplace
Guy Gauthier 19 janvier 2015 GPA-535

(c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)
Objectifs du cours Solution d’équations différentielles Revoir les nombres complexes et le théorème d’Euler Revoir la transformée de Laplace Détermination de la fonction de transfert Décomposition de la réponse en fractions partielles Introduction à la modélisation GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Introduction Pour effectuer l’analyse et la synthèse d’un système dynamique, il est nécessaire de connaître les relations entre ses grandeurs d’entrées et ses grandeurs de sorties. L’ensemble de ces relations constituent le modèle mathématique du système. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Introduction La mise en équations d’un système consiste, après avoir considéré que le système est linéaire et invariant dans le temps, à lui appliquer les lois qui le régissent. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Introduction des lois de la mécanique pour les mouvements des corps solides en translations et/ou en rotation des lois de l’électricité pour les circuits électriques (Les systèmes à composants passifs et actifs) des lois magnétiques (moteur à courant continu,…) des lois de l’écoulement des fluides des lois de la thermodynamique… GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Mécanique – loi de Newton
En translation : somme des forces agissant sur un corps = accélération linéaire du centre de gravité du corps fois la masse du corps En rotation : somme des moments de forces agissant sur un corps solide = accélération angulaire du corps fois le moment d’inertie par rapport au centre de gravité GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Loi de l’électricité (loi de Kirchhoff)
Somme des tensions dans une maille est nulle Somme des courants traversant un nœud est nulle GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

En appliquant ces lois, Il s’agit de trouver un formalisme qui permet de relier l’entrée de référence r(t) à la sortie contrôlée c(t) et ce au travers d’un système ou plusieurs sous-systèmes mis en cascade. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Ce formalisme mène à… Un système linéaire invariant dans le temps (SLIT). Représenté par: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemple - système mécanique
r(t) : force externe; c(t) : déplacement de la masse. Équation différentielle ordinaire (SLIT): GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Système mécanique Si r(t) est un échelon unitaire u(t), quelle sera la sortie c(t). Cela implique de résoudre l’équation différentielle. Il nous faut un outil pour résoudre cette équation. Cet outil, ce sera la transformée de Laplace. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

La transformée de Laplace
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Le marquis Pierre-Simon de Laplace
23 mars 1749 – 5 mars 1827. La transformée de Laplace, bien qu’elle soit appelée ainsi en son honneur parce qu’il l’utilisa dans son travail sur la théorie des probabilités, fut découverte à l’origine par Leonhard Euler. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Transformée de Laplace
C’est une méthode opérationnelle pour la résolution des équations différentielles. Conversion de fonctions sinusoïdales et exponentielles sous forme de fonctions algébriques à variable complexe. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

L’intégration et la dérivation peuvent être remplacées par une opération algébrique dans le plan complexe. La transformée de Laplace permet l’utilisation de techniques graphiques pour prédire la performance d’un système sans résoudre le système. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

La transformée de Laplace permet la détermination simultanée du régime transitoire et du régime permanent. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Les variables complexes
Un nombre complexe est un nombre qui possède une partie réelle et une partie imaginaire constante. Si la partie réelle ou imaginaire sont variables alors le nombre complexe est dit une variable complexe. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Les variables complexes
Pour la transformée de Laplace on utilise la notation suivante: Complexe Complexe conjugué GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Représentation géométrique

On définit Module de s Phase de s GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Opérations dans l’ensemble des nombre complexes
Addition Les parties réelles s’additionnent entre elles; De même pour les parties imaginaires. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Multiplication Produit des amplitudes; Somme des phases. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Division GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemples Déterminer le module et l’argument des complexes suivants: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Fonctions sur la TI GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Fonctions sur la TI Mêmes fonctions sur Matlab® GPA-535 : #2
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Théorème d’Euler Ce théorème est basé sur le développement en séries de puissances des fonctions circulaires sinus et cosinus: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Théorème d’Euler Combinons les deux séries comme suit: Comparons avec l’exponentielle: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Théorème d’Euler Alors le théorème est: Et ainsi: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Ou cela mène-t-il ? A ceci: Tout nombre complexe peut s’écrire sous forme exponentielle. Comment ? GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Forme exponentielle d’un nombre complexe
Que l’on réécrit: Cette représentation est utilisée en génie électrique. Phaseurs. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

De la variable complexe à la fonction complexe
Fonction complexe. Une fonction complexe F(s) possède une partie réelle et une partie imaginaire et s’écrit: Fx et Fy sont des quantités réelles. Les définitions d’amplitude, phase et conjugué s’appliquent. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemples de fonctions complexes

Exemple sur la TI GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Si f(t) est une fonction du temps telle que f(t) =0 pour t<0, et si s désigne la variable complexe et L désigne l’opérateur de la T.L. alors: Condition d’existence = convergence de l’intégrale GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemple Si r(t) est un échelon unitaire u(t): u(t)=0 si t≤0; u(t)=1 si t>0. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Transformée inverse de Laplace
Définie par: Où c est l’abscisse de convergence et choisit plus grand que toutes les valeurs singulières (pôles) de F(s). GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Transformée inverse de Laplace
Définie par: Le chemin de l’intégrale se fait à droite de ces points singuliers. ON N’UTILISERA PAS CETTE FORME GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Signaux de commande GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Fonction sinus amortie: Fonction cosinus amortie: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Propriétés de la transformée de Laplace
Linéarité (items 2 et 3) Décalage fréquentiel (item 4) Décalage temporel (item 5) Modification d’échelle (item 6) Dérivation (items 7, 8 et 9) Intégration (item 10) Théorème de la valeur finale (item 11) Théorème de la valeur initiale (item 12) GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Propriétés des TL GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

A quoi servent les transformées de Laplace ?
Résoudre des équations différentielles (intégrales) comme des équations algébriques. Trouver simultanément la solution complète : homogène et particulière. Plus facile à gérer les conditions initiales lorsque la fonction f(t) est discontinue. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Fonction de transfert Ressemble à: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Étapes à suivre pour déterminer la réponse d’un système
Déterminer par les lois physiques les relations entre les différentes entrées-sorties. Effectuer les transformées de Laplace de ces relations (éq. diff) Identifier la commande (R(s)) et la variable de sortie (C(s)) Établir la fonction de transfert G(s) = C(s)/R(s) GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Étapes à suivre pour déterminer la réponse d’un système
Déterminer la réponse à partir de C(s) C(s) = N(s) / D(s) Décomposer en fractions partielles Identifier les composants et leurs transformées de Laplace inverses (Tables) GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Décomposition en fractions partielles d’une fonction complexe
Il existe 3 cas: Les racines du dénominateur sont réelles et distinctes; Les racines du dénominateur sont réelles et multiples; Les racines du dénominateur sont complexes ou imaginaires pures. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Racines réelles distinctes
Soit: Pour trouver K1: 1) multiplier par (s+1) et simplifier: 2) choisir s, tel que le seul terme de droite soit K1. Ici, s= -1. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Donc: On répète pour K2: Donc finalement: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Transformée de Laplace inverse: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Racines réelles multiples et distinctes
Soit: Pour trouver K3, on fait comme dans l’exemple précédent: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Pour trouver K1, on fait aussi comme dans l’exemple précédent (en multipliant par (s+1)2): Pour trouver K2, il est impossible de faire de même. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Multiplions l’équation par (s+1)2. Ainsi: Dérivons l’équation par rapport à s: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Avec s=-1, on obtient: Donc: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Racines complexes conjuguées
Soit: Dans ce cas, on réécrit le terme de droite comme suit: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Dans un premier temps, obtenir a et ω. Or, en considérant les dénominateurs: Ainsi: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Ce qui donne: Le numérateur ne comportant de termes en s, alors K2 = 0. Donc K1 = ½. GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Alors: GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemples Soit 1) 2) GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemple #1 GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

Exemple #2 GPA-535 : #2 (c) R. Aissaoui (m.a.j. G. Gauthier)

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