Chapitre I Modélisation optimisation I- Optimisation de fonctions d’une seule variable 1 Introduction En gestion, on est souvent confronté à des situations.

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1 Chapitre I Modélisation optimisation I- Optimisation de fonctions d’une seule variable 1 Introduction En gestion, on est souvent confronté à des situations complexes devant lesquelles des décisions doivent être prises. On utilise alors des modèles pour représenter la réalité, ce qui est appelé de la modélisation mathématique. Définition L’optimisation est l'étude des minima et maxima d’une fonction.

2 Graphe de domaine A de. f atteint un maximum absolu en x = 8 et un maximum local en x = -4. f atteint un minimum local en x = - 6 et un minimum absolu en x = 2.

3 Exemple 1 Considérons la fonction suivante définie sur l’intervalle [1,20] :

4 On voit qu’aux points x = 1 et x = 20 (qui sont les bornes du domaine de f ), la fonction f atteint des optima locaux (f(1) = 8 et f(20) = 11). De plus, comme les valeurs de f au voisinage (inclus dans l’intervalle) du point x = 1 sont inférieures à la valeur de f au point x = 1 (f(1) = 8), on conclut qu’en x = 1, f atteint un maximum local. On peut appliquer le même raisonnement au point x = 20 pour conclure que f atteint un maximum local en ce point. Au point x = 5, la valeur de f est f(5) = 1. Les valeurs de f dans le voisinage gauche de

5 Au point x = 14, la valeur de f est 8. Comme les valeurs de f au voisinage gauche de x = 14 sont inférieures à 8, et que les valeurs de f au voisinage droit de x = 14 sont aussi inférieures à 8, on en conclut que c’est un maximum local. x = 5 sont supérieures à 1, et les valeurs de f au voisinage droit de x = 5 sont aussi supérieures à 1, on en conclut donc que c’est un minimum local. On applique un raisonnement semblable pour conclure que le point x = 16 est aussi un minimum local. En résumé, les maxima locaux sont situés aux points x = 1, x = 14 et x = 20, avec des valeurs respectives de 8, 8 et 11. Le maximum absolu est donc situé au point x = 20 avec une valeur de f(20) = 11. Les minima locaux sont situés aux points x = 5 et x = 16, avec des valeurs respectives de f(5) = 1 et f(16) = 2. Le minimum absolu est donc situé au point x = 5 avec une valeur de 1.

6 Supposons maintenant que l’intervalle sur lequel est définie la fonction f est réduit à [1, 18]. Alors, le point x = 20 n’est plus admis dans l’analyse. On doit donc vérifier le comportement de la fonction à la nouvelle borne x = 18. Dans le voisinage (inclus dans l’intervalle) de ce point, les valeurs de f sont inférieures à f(18) = 6, la fonction atteint donc un maximum local de 6 au point x = 18. Comparons les valeurs des différents maxima locaux afin de trouver le maximum absolu. Aux points x = 1, x = 14 et x = 18, la fonction prend les valeurs respectives f(1) = 8, f(14) = 8 et f(18) = 6. Le maximum absolu de la fonction est 8 et est atteint aux points x = 1 et x = 14.

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11 4 Conditions d’optimum d’ordre supérieur Un optimum local pour lequel la dérivée existe est nécessairement un point stationnaire, mais la réciproque n’est pas toujours vraie. Définition Un point stationnaire qui n’est pas un optimum local est un point singulier.

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17 et est un minimum local. Ainsi x = 1/e est un minimum local

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41 3- 0ptimisation en présence d’une contrainte

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57 Exercices d’application

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59 Corrigé des exercices

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65 Chapitre II Suites numériques

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70 Exercices d’application

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72 Corrigé des exercices

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