Introduction Les êtres vivants élaborent des réponses adéquates à des situations nouvelles (apprentissage, comportement, évolution des espèces) posant.

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1 Introduction Les êtres vivants élaborent des réponses adéquates à des situations nouvelles (apprentissage, comportement, évolution des espèces) posant ainsi le problème de conception spontanée de programmes faisant des systèmes adaptatifs (propriété d’auto programmation). Cette élaboration spontanée de systèmes adaptatifs opérée par êtres vivants était une énigme qui préoccupait les chercheurs dans les années 1950 (Ashby) et n’est plus un sujet d’intérêt actuel mais reste un problème majeur de biologie théorique. La solution de ce problème fournit aussi un modèle d ’auto organisation. Comme on retrouve cette propriété partout (même chez les plantes et les mono cellulaires), l'hypothèse la plus plausible est que cette propriété est le reflet d’une loi abstraite simple. Les programmes actuels qui réalisent l’implémentation de systèmes adaptatifs sont fondés sur la comparaison entre un but et les résultats et sur des choix judicieux de paramètres par les programmeurs et ne constituent en aucun cas une solution.

2 Propriétés d’une machine qui s’auto programme. Une machine capable de fabriquer des systèmes adaptatifs et qui prétend avoir des propriétés équivalentes à celles réalisées par les êtres vivants doit avoir les propriétés suivantes: - Interdiction d’avoir recours à toute fonction comparant les résultats à un but (feed-back, gradient, adéquation à l’environnement). - L’état initial et les divers composants sont choisis au hasard au début et une fois pour toute. - La machine doit se stabiliser en un point fixe quand l’environnement est fixe. - Capacité de trouver une autre stabilisation si les conditions externes changent que ce soit du fait de petites perturbations ou de pannes massives provoquées intentionnellement (comme l’inversion d’action d’un effecteur par exemple) - Capacité à fonctionner en parallèle, chaque machine possédant son horloge interne dont la fréquence est sans commune mesure avec la fréquence des horloges des autres machines.

3 Notre premier travail (Moulin, 1992) fut une machine appelée automate modifiable dont le principal composant est une fonction qui change la fonction interne de l’automate chaque fois que sa sortie varie, Les autres composants de cette machine sont : avec premier, l’ensemble des polynômes qui appliquent sur lui même, Un indice et une fonction qui simule le monde externe fixe. Pour aller d ’un point à un autre de la trajectoire de cet automate, il faut 3 opérations : (1) cette fonction peut être considéré comme le résultat d’une lecture sur une bande : à l’adresse, on lit la fonction. (2) (3)

4 Automate modifiable (1) Bande qui ne peut qu'être lue Fonction externe (1) (2) (3) Lecture

5 Bande qui ne peut qu'être lue (1) (2) (3) Automate modifiable (2) Fonction externe

6 Bande qui ne peut qu'être lue (1) (2) (3) Automate modifiable (3) Fonction externe

7 L’automate modifiable est un automate déterministe fini sans état final et dont l'état initial et la fonction de transition sont choisis au hasard qui se stabilise de façon prépondérante en des points fixes (Moulin, 1992, paragraphe 6-2). Néanmoins, cette machine n’est pas un bon modèle de machine qui s’auto programme car la probabilité de se stabiliser en des points fixes décroît quand le nombre des états internes croît, la distribution des longueurs de n-cycles tendant vers une distribution uniforme (Moulin, 1992, page 13). Ceci confirme confirme les travaux d ’Ashby dans « Principles of self organisation » : l’auto organisation ne peut être le résultat d’une fonction (qui serait ici la fonction ). Nous avons donc remplacé dans les machines qui s’auto programment, la fonction par une récurrence, l ’organisation interne de la machine est modifiée par l ’organisation interne suivante : entraîne avec

8 Les autres composant de cette machines sont: Pour calculer à partir de et à partir de, la machine effectue 9 opérations.

9 Machines qui s’auto programment (1) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

10 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (2)

11 Bande qu’on lit et écrit. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (3) Lecture

12 Bande qu’on lit et écrit. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (4)

13 Bande qu’on lit et écrit. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (5)

14 Bande qu’on lit et écrit. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (6)

15 Bande qu’on lit et écrit. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (7)

16 Bande qu’on lit et écrit. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment (8) Lecture

17 Bande qu’on lit et écrit. Si la valeur d’entrée est de nouveau, la fonction ne sera plus mais. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Machines qui s’auto programment: (9) Ecriture

18 L’égalité (2) devient. (2 bis) La machine est connectée à un environnement fixe représenté par la fonction. (On peut aussi considérer comme une fonction externe) Fonction externe Connexion avec l ’environnement

19 Pour familiariser le lecteur avec le fonctionnement de cette machine, voici un exemple de calculs lors d’une stabilisation en un 4-cycle. Ces machines convergent presque exclusivement en des 1-cycles mais un exemple de 1-cycle n’aurait pas été démonstratif des calculs effectués. On opère sur,i.e. les entiers modulo 3. La récurrence est : Une séquence du 4-cycle est :,,,, soit: Exemple Comme et, donc. Enfin est la fonction identité et donc. a 3 4 1 2

20 Finalement, on obtient: et : On part de : et de : (lecture de la bande) (3) (4) (6) et (7) (lecture de la bande) (8) écriture de la bande (9) Détail du premier calcul

21 En répétant les calculs, on obtient: Calcul de la récurrence (réécriture de la bande) :

22 Citons quelques caractéristiques particulièrement intéressantes de ces machines: - Plus le nombre d’états internes croît, plus la probabilité de stabilisation en un point fixe est grande, pour un nombre d’états internes égal à 121, par exemple, il y a moins de 5 cycles de longueur différente de un pour 10.000. - Ces machines mises en réseau sont équivalentes à une machine ayant plus d’états internes qu’une machine unique. Le réseau a donc plus de chances de converger en un point fixe qu’une machine constituant ce réseau (le nombre de points transitoires du réseau est beaucoup plus grand). - Les résultats sont comparables quelque soit l’opération définissant la récurrence (linéaire et non linéaire). Les démonstrations n’ont pu être faites que dans le cas où l’opération est linéaire.

23 Nous avons ainsi montré pour qu’une machine établisse des relations adéquates avec le monde extérieur, il suffit qu’une récurrence permette aux données externes de réécrire sa propre organisation interne. La machine étant stabilisée en un point fixe, si l’on change la fonction externe ou ou les deux), la machine se stabilise en un autre point fixe, trouvant ainsi une nouvelle relation adéquate avec le milieu extérieur. En fait ces machines constituent un exemple d’un principe très général de modèle de modèle. On peut utiliser la récurrence précédemment écrite pour qu ’ une fonction de transfert soit modifiée par le signal, une machine de Turing réécrive sa fonction de transition, dont les composants sont tirées au sort au début et une fois pour toute et sans état final, un réseau modifie ses connexions, etc... Ces systèmes se stabilisent presque exclusivement en des points fixes et dans le cas de la machine de Turing, par exemple, les données engendrent le programme (réduit à une instruction en cas de 1-cycle) qui engendre les données.

24 On peut faire l’hypothèse que les êtres vivants trouvent des solutions adéquates à des situations nouvelles uniquement du fait suivant :Toute voie est utilisée par un objet, est modifiée par l’objet qui l’a emprunté, autrement dit, on peut expliquer facilement les propriétés d’auto programmation par le fait qu’il n’y a rien dans le règne vivant qui ressemble a des fonctions mathématiques qui sont des relations fixes. Les structures fixes chez les êtres vivants sont très probablement l’expression de 1-cycles se perpétuant jusqu'à ce que les conditions changent. Conclusion

25 Outre le but de familiariser avec les fonctionnement de ces machines, l ’autre but de ce diaporama est de chercher une collaboration dans deux axes différents: Mathématique: Trouver les théorèmes généraux de ce type de systèmes. N’existe-t-il pas déjà des démonstrations en géométrie non commutative ? Etude de ce type de système opérant sur le continu. Etude de systèmes aléatoires où le résultat du tirage modifie l’ensemble référentiel (développement des travaux sur les urnes de Blackwell) ou modifie une fonction de la variable aléatoire. Technique: A court terme, faire des machines autonomes appelées à un grand avenir (une machine ”animaloïde” serait très utile pour explorer les planètes et satellites lointains entre autre). A long terme, concevoir des systèmes qui aient une représentation d’eux mêmes et de leur environnement et de leur interrelation. Nous aurions ainsi des systèmes doués d’une propriété de la conscience et capable de résoudre un problème nouveau du premier coup, i.e. sans essai (critère de cette propriété de la conscience).