L’écriture des grands nombres: les puissances de 10

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1 L’écriture des grands nombres: les puissances de 10
Les puissances de 10 sont très utiles en sciences physiques car elles permettent d’écrire simplement des valeurs numériques très grandes ou très petites. Intéressons-nous à l’écriture des grands nombres. 100 = 1 101 = 10 102 = 10×10 = 100 103 = 10×10×10 = 1000 (mille) 106 = 10×10×10×10×10×10 = (1 suivi de 6 zéros) = 1 million 109 = 1 milliard = (1 suivi de 9 zéros)

2 L’écriture des grands nombres: les puissances de 10
Dans cette écriture, la puissance de 10 correspond au nombre de zéros derrière le 1. 107 s’écrira donc 1 suivi de 7 zéros ce qui fait aussi 10 millions. 100 = 1 (1 suivi d’aucun zéro) Les puissances de 10 positives permettent d’écrire des grands nombres: 1000 milliards (1000 suivi de 9 zéros ou encore 1 suivi de 12 zéros) s’écrira simplement 1012. N’importe quel nombre peut s’écrire sous la forme d’un nombre compris entre 1 et 10 (sans être égal à 10) multiplié par une puissance de 10. Par exemple 234 peut s’écrire 2,34 × 100 ou encore 2,34×102 De même 1798 s’écrira 1,798 × 1000 ou encore 1,798×103

3 L’écriture des grands nombres: les puissances de 10

4 L’écriture des petits nombres: les puissances de 10
Les puissances négatives de 10: 10-n (où n est encore un entier positif) signifie 1 divisé par 10n. Attention : Bien qu’il y ait un signe – devant la puissance, 10-n est un nombre positif ! 10-1 = 1/101= 1/10 = 0,1 10-2 = 1/102 = 1/100 = 0,01 10-3= 1/103= 1/mille = 0,001 (1 millième) 10-6 = 1/106 = 1/1million = 0, (1 millionième)

5 L’écriture des petits nombres: les puissances de 10
La puissance de 10 correspond au nombre total de zéros qui apparaissent dans l’écriture du nombre. 10-5 s’écrira donc 0, suivi de 4 zéros (5 zéros au total) puis d’un 1. Les puissances de 10 négatives permettent d’écrire des petits nombres : 0, (0, huit zéros suivis d’un 1 ) 10-9 soit 1/109 ou 1 milliardième. N’importe quel petit nombre positif, c'est-à-dire n’importe quel nombre compris entre 0 et 1 peut s’écrire sous la forme d’un nombre compris entre 1 et 10 (sans être égal à 10) multiplié par une puissance négative de 10. Par exemple 0,051 (où 5 est le 2ème chiffre après la virgule) peut s’écrire 5,1×10-2 Ou encore : 0,00128 (où 1 est le 3ème chiffre après la virgule) peut s’écrire 1,28×10-3

6 L’écriture des petits nombres: les puissances de 10

7 L’écriture scientifique d'un nombre
Un même nombre peut s’écrire de différentes façons: par exemple 12 c’est aussi 1,2 × 101; 0,12 × 102 ou même 120 × 10-1. Toutes ces écritures représentent la même valeur: 12. L’écriture scientifique de 12, c’est l’écriture sous la forme 1,2 × 101 que l'on peut aussi écrire 1,2.101, le point représentant la multiplication. D’une façon générale, l’écriture scientifique, c’est l’écriture sous la forme d’un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9, multiplié par une puissance de 10.

8 L’écriture scientifique d'un nombre
Exemple : 1,6 × ou 6, sont des nombres écrits sous la forme scientifique. Par contre 0,75 × 10-1 n’est pas sous forme scientifique car la partie entière est zéro. De même 42,9.106 n’est pas sous forme scientifique car la partie entière est supérieure à 9. N’importe quel nombre, entier ou non, peut être écrit sous la forme scientifique: Par exemple 742 s’écrira 7,42.102 Ces deux écritures 742 et 7,42 × 102 représentent le même nombre, la même valeur. Remarque: on utilise souvent la notation ingénieur dans laquelle la puissance de 10 est un multiple de trois. Il y a donc un maximum de trois chiffres avant la virgule. Exemple: 57,2.103.

9 L’écriture scientifique d'un nombre
Comment passer d’une valeur quelconque à l’écriture scientifique? Prenons l’exemple de la vitesse de la lumière dans le vide. Elle vaut c = km.s-1. Passer à l’écriture scientifique, c’est écrire ce nombre sous la forme d’un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9 multipliée par une puissance de 10. Pour l’instant, on peut dire que ce nombre: c’est un décimal: multiplié par 100 (qui vaut 1) Donc: c = ×100 km.s-1

10 L’écriture scientifique d'un nombre
Pour passer de cette valeur à l’écriture scientifique, il faut diviser la partie décimale par cent mille (105 car cinq zéros) pour obtenir un nombre entre 1 et 9. On obtiendra donc 3,00000. Et en même temps multiplier la partie "puissance de 10" par 105 pour que le produit de la partie décimale par la puissance de 10 conduise à la même valeur finale. L’écriture scientifique de sera donc : c = 3, km.s-1.

11 L’écriture scientifique d'un nombre
c = 3, km.s-1. On a décalé la virgule (initialement après le cinquième zéro) de 5 rangs pour la mettre après le 3. Et on a multiplié par 105. On pourra retenir comme moyen mnémotechnique que décaler la virgule du nombre décimal vers la gauche revient à augmenter la puissance de 10 d’une unité par rang de décalage.

12 L’écriture scientifique d'un nombre
Autre exemple: Écrivons sous la forme scientifique d = 0,00432 m. Pour l’instant, on peut dire que ce nombre c’est un décimal 0,00432 multiplié par 100 (qui vaut 1) donc: 0, Pour passer cette valeur à l’écriture scientifique, il faut multiplier la partie décimale 0,00432 par mille (103) pour obtenir un nombre entre 1 et 9. On obtiendra donc 4,32. Et en même temps il faut diviser la partie "puissance de 10" par 103 pour que le produit de la partie décimale par la puissance de 10 conduise à la même valeur finale.

13 L’écriture scientifique d'un nombre
Or diviser par 103 c’est multiplier par 10-3. L’écriture scientifique de 0,00432 sera donc : 4,32×.10-3 Ici on a décalé la virgule de 3 rangs vers la droite pour la mettre après le 4. Et on a multiplié par 10-3. On pourra retenir comme moyen mnémotechnique que décaler la virgule du nombre décimal vers la droite revient à diminuer la puissance de 10 d’une unité par rang de décalage.

14 L’écriture scientifique d'un nombre

15 Test 1- Donner l'écriture scientifique du nombre 6378 6,378.103
2- Donner l'écriture scientifique du nombre 41,7 x 103 4,17 x 104 3- Donner l'écriture scientifique du nombre 524,1 x 10-7 5, 4- Donner l'écriture scientifique du nombre 0,7 7.10-1 5- Donner l'écriture scientifique du nombre 0,0042 x 101 4,2 x 10-2 5,9.10-8 6- Donner l'écriture scientifique du nombre 0,59 x 10-7

16 Calculs avec les puissances de 10
En sciences physiques, il est souvent utile d'évaluer de tête l'ordre de grandeur d'un calcul. Pour mener à bien cette estimation, il faut maîtriser les calculs entre des puissances de 10. On a souvent besoin d’effectuer des calculs avec des puissances de 10. Par exemple au cours des applications numériques, pour faire des calculs rapides (par écrit ou de tête) ou encore pour réaliser des conversions d’une unité composée à une autre (passer des g/L au g/m3...).

17 Calculs avec les puissances de 10
Premier cas : Multiplier deux puissances de dix La règle : Lorsqu’on multiplie entre elles deux puissances de dix, on obtient une nouvelle puissance de dix, dont l’exposant est la somme des deux exposants : 10a×10b= 10a+b Exemple: 103×102= 103+2= 105 Si l’on décompose cet exemple simple: on multiplie 103 (un 1 suivi de 3 zéros) par 10 puis à nouveau par 10. On ajoute donc deux zéros à 1000, d’où l’addition entre les deux exposants. Le un sera donc suivi de 3+2 = 5 zéros. 103×10-5= 103-5= 10-2 10-6×10-3= = 10-9

18 Calculs avec les puissances de 10
Deuxième cas : Trouver l’inverse d’une puissance de dix La règle: L’inverse d’une puissance de dix est une nouvelle puissance de dix dont l’exposant est l’opposé de celui de la première : 1 ÷10a= 10-a Autrement dit: on peut passer une puissance de dix du dénominateur d’une fraction (en bas) au numérateur (en haut) en changeant le signe de son exposant, et inversement (c’est une astuce qui simplifie parfois les calculs) Exemples: 1 ÷ 102 = 1 ÷ 10-5 = 10-6= 10-2 10-(-5) = 105 1/106

19 Calculs avec les puissances de 10
Troisième cas : Diviser deux puissances de dix La règle: Lorsqu'on divise entre elles deux puissances de dix, on obtient une nouvelle puissance de dix dont l’exposant est la différence entre les deux exposants (celui du numérateur moins celui du dénominateur): 10a ÷ 10b = 10a-b Exemples : 103 ÷ 102 = 10-6 ÷ 10-3 = 103 ÷ 10-5 = 103-2 = 101 10-6-(-3) = = 10-3 103-(-5) = 103+5 = 108 Dans ce dernier exemple on peut aussi remplacer la division par la puissance de dix négative, en remarquant que diviser par 10-5 revient à multiplier par 105.

20 Calculs avec les puissances de 10
Quatrième cas : Additionner ou soustraire deux puissances de dix Attention piège! Si on ajoute ou si on soustrait des puissances de dix, on n’obtient en général pas une puissance de dix ! Il n’y a donc pas de règle qui permette une écriture du résultat sous la forme d’une puissance de dix. Exemples: = 103 – 10-1 = = 1100 1000-0,1 = 999,9 Remarque: dans une somme ou une soustraction, on pourra parfois négliger l’une des puissances de dix devant l’autre. Ainsi: = ,1 si l’on considère que l’on peut négliger 0,1 devant 1000, le résultat vaut alors à peu près 1000 Astuce: Lorsqu'on doit additionner des puissances de dix, il peut être pratique de tout ramener à la même puissance de dix que l’on met alors en facteur.

21 Calculs avec les puissances de 10
Cinquième cas : Élever une puissance de dix à une puissance La règle: Lorsqu’on élève une puissance de dix 10a à la puissance b, on obtient une nouvelle puissance de dix dont l’exposant est le produit de a par b: (10a)b = 10a × b Exemples: (103)2= (103)-7 = 103×2 = 106 103 ×(-7) = 10-21

22 Calculs avec les puissances de 10

23 Calculs avec les puissances de 10
Donner l'expression sous forme d'une puissance unique de: 10m / 10k = 10p x 10q = 1 / 10-t = 1012 x 10-7 = 103 / 104 = 1 / 1012 = 103 / (104 x 105) = 103 x 100 /10-12 = (104)5 = (10-4)-2 = 10m-k 10p+q 10t 105 10-1 10-12 10-6 1017 1020 108

24 Calculs avec les puissances de 10
Sans calculatrice, effectuer les calculs suivants: 3.104 – = (3,00.108)2 = 7.108 x = 6.104 / = = ( )2 = (2.104 x ) / = (2.104 x ) / = 2,8.104 9, = 2,8.107 2.102 5.108 = 4,9.107 0,25 = 2,5.10-1 2,5.103

25 Conversions d'unités On utilise des préfixes devant le nom des unités pour éviter d'écrire les puissances de 10 Sous multiples Multiples Puissance de 10 Préfixe Symbole 10-1 déci d 101 déca da 10-2 centi c 102 hecto h 10-3 milli m 103 kilo k 10-6 micro 106 mega M 10-9 nano n 109 giga G 10-12 pico p 1012 tera T

26 Conversions d'unités Pour convertir une valeur donnée dans une unité en une autre unité, on doit multiplier ou diviser par les puissances de 10 correspondantes. Exemple 1: convertir d = 5,2 m en cm 1 cm = 10-2 m  1 m = 102 cm Donc d = 5,2 m = 5,2.102 cm = 520 cm Exemple 2: convertir  = 2,0 g.mL-1 en g L-1 1 mL = 10-3 L  1 L = 103 mL Donc dans 1 L, il y a 103 fois plus de matière que dans 1 mL et donc une masse 103 fois plus grande. Alors  = 2,0 x 103 = 2,0.103 g.L-1

27 Conversions d'unités h = 25 cm en km h = 25.10-5 km = 2,5.10-4 km
z = 2,01 km en nm m = 150 mg en µg P = 1,2 GW en kW F = 4,7 daN en N v = 2,5 cm.s-1 en m.s-1  = 5,2. g.mL-1 en g.L-1  = 850 g.L-1 en kg.m-3 v = 32 µm.ms-1 en m.s-1 S = 50 cm2 en m2 h = km = 2, km z = 2,01 km = 2, nm m = g = µg = 1, µg P = 1,2.109 W = 1,2.106 kW F = 4,7.102 N v = 2, m.s-1  = 5,2.103 g.L-1  = kg.L-1 = 850 kg.m-3 v = µm.s-1 = m.s-1 S = ( )2 m2 = m2 = 2, m2