Les expressions algébriques

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1 Les expressions algébriques
Les termes semblables

2 4 x Un nombre, accompagné d’une lettre, le multiplie. Il faut lire 4 X x Cette expression algébrique est appelée un terme. Ce terme est composé de 2 facteurs : 4 . x le facteur 4 le facteur x Le nombre est appelé coefficient. La lettre est appelée la partie littérale; elle peut porter le nom de variable ou d’inconnue. Une expression algébrique qui ne contient aucune indication d’addition ou de soustraction est appelé un monôme.

3 x2 L’exposant de ce terme signifie que la lettre s’est multipliée par elle-même, 2 fois. x2 = x x 1 Le coefficient de ce terme est 1. 1 Ce terme est aussi un monôme. Quelle distinction y a-t-il entre 3a et a3 ? 3a est le produit de 3 par a : 3 X a a3 est la troisième puissance de a : a X a X a Calcule mentalement les expressions 4b2 et 2b4, si b = 5. 4b2 = 4 X (5 X 5) = 100 2b3 = 2 X (5 X 5 X 5) = 250 Remarque : On doit toujours calculer l’exposant avant le coefficient.

4 Polynômes Un polynôme est une expression algébrique composée de plusieurs monômes réunis par les signes d’addition ou de soustraction. 7a4 + 6a2b – 4a5b3 + 10b4 est un polynôme. Deux polynômes portent des noms particuliers : Le binôme composé de 2 termes : 2x2 + 2y est un binôme. Le trinôme composé de 3 termes : 2x2 + 2y + 5 est un trinôme. 5 est aussi un terme algébrique. Remarque : Il est égal à 5x0. Une loi sur les exposants dit que tout nombre ou lettre affecté(e) de l’exposant 0 est égal(e) à 1. 5x0 = 5 X 1 = 5

5 Dans cette présentation, nous avons vu ce qu’étaient des expressions algébriques.
On peut effectuer des manipulations algébriques avec ces expressions, mais les quantités restent inconnues. Lorsqu’on introduit le signe l’expression algébrique devient une équation algébrique. = , x x + 6 est une expression algébrique. x x = 20 est une équation algébrique. Sachant à quoi l’équation est égale, on peut déterminer la ou les valeur(s) des inconnues.

6 Les expressions algébriques
Manipulations de base

7 Voyons maintenant les règles officielles.
Addition et soustraction de termes : - additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables; - ne pas modifier la partie littérale. Exemples : 3x2 + x2 = 4x2 Vérifions pour x = 2 : 3(2) = 4(2)2 = 16 Égalité vraie. Remarque : Se vérifier en donnant aux expressions des valeurs numériques est un bon moyen de savoir si l’opération a été effectuée correctement. 3x2 + x = 3x2 + x On ne peut pas additionner ces deux quantités, car elles représentent des quantités différentes.

8 3a2 + 5b - (- a2 + 2b) = 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b Un - en avant d’une parenthèse modifie les signes des termes si on enlève les parenthèses. C’est additionner par l’opposé des termes. 3a2 + 5b - (- a2 + 2b) = 3a2 + 5b + + a2 - 2b = Ou plus simplement 3a2 + 5b + a2 - 2b = 4a2 + 3b

9 Multiplication de termes
- Multiplier les coefficients entre eux; - multiplier les lettres semblables en additionnant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. 4x2 X 2x1 = 8x3 Exemples : Cette expression est un monôme, car il n’y a pas de signe d’addition ou de soustraction. On pourrait lire : x . x x , donc 8x3.

10 4x2 X 2xy = 8x3y 7x X xy X 2y = 14x2y2 2x2 X y X 3x X 2y X 3z = 36x3y2z Inclure les lettres différentes dans le terme final, car 36x3y2z signifie 36 X x3 X y2 X z.

11 Monôme par polynôme −4𝑏𝑑 6 𝑏 8 𝑛+𝑏 𝑤 3 =−24 𝑏 9 𝑑𝑛 −4 𝑏 2 𝑑 𝑤 3

12 Binôme par binôme 6 𝑧 3 +4 𝑧 3 −5 6 𝑧 4 3 −30 𝑧 3 +4𝑧 3 −20 Ou 8𝑡 −9 8𝑡+9 = 64 𝑡 2 +72𝑡 −72𝑡 −81= 64 𝑡 2 −81

13 x3 ÷ x2 = x3-2 = x Division de termes
- Diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final. Exemples : 8x3 ÷ 2x2 En posant la division sous la forme d’une fraction, on pourrait simplifier les facteurs communs au numérateur et au dénominateur. 8x3 2x2 = x . x . x x . x 1 . 1 . 1 . = 4x On peut aussi effectuer la division des coefficients : 8 ÷ 2 = 4 Soustraire les exposants de la variable : x3 ÷ x2 = x3-2 = x Réponse : 4x

14 Division par binôme 𝑚 2 +9𝑚+20 ÷ 𝑚+4

15 Division par binôme avec reste
3 𝑥 2 +4𝑥 +8 ÷ 3𝑥+1

16 Factorisation La factorisation permet de simplifier les expressions algébriques, les fractions et les opérations. Il existe 5 étapes pour factoriser une expression algébrique: Mise en évidence simple Double mise en évidence Différences de carrés Trinôme carré parfait Trinôme produit\somme

17 Mise en évidence simple
Conditions sont d’avoir un facteur en commun EXEMPLE : 1) 20𝑥+12=4 5𝑥+3 2) 2 𝑥 2 +14𝑥 −8=2 𝑥 2 +7𝑥 −4 3) 14𝑎𝑏+7𝑏 −4𝑎 −2 On est bloqué