Université Pierre et Marie Curie Laboratoire d’Informatique de Paris VI Département ASIM Analyse et résultats sur le dimensionnement des mémoires pour.

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1 Université Pierre et Marie Curie Laboratoire d’Informatique de Paris VI Département ASIM Analyse et résultats sur le dimensionnement des mémoires pour une application embarquée asynchrone Présentation GOTHA du 28 Janvier 2005 Olivier MARCHETTI Directrice de Thèse : Alix MUNIER-KORDON

2 PLAN n Présentation - Etat de l’art n Simplification du Problème n Normalisation n Dimensionnement optimal de buffers n Perpectives de travail

3 Présentation du problème - introduction n Tâches : programmes asynchrones n Communiquent avec buffers n Opérations séquentielles de lecture/écriture n Capacité d’un buffer : nombre de données pouvant y être stockées n Pour un buffer : données homogènes

4 Présentation du problème - introduction

5

6 Modèle SDF 45 32 2 5

7 Présentation du problème - introduction n La tâche peut écrire dans. n La tâche peut lire dans. n Les buffers sont gérés comme des FIFOs. 45

8 Présentation du problème - introduction n Une opération de lecture dans un buffer vide est impossible, n Opération en attente, n Tâche bloquée.

9 Présentation du problème - introduction n Une opération d’écriture dans un buffer plein est impossible, n Opération en attente, n Tâche bloquée.

10 Présentation du problème - introduction n Des blocages peuvent conduire à l’immobilisation complète du système.

11 Etat de l’art 1 n L’approche Dataflow (SDF) : A.Lee & D.Messerschmitt (Berkeley-Ptolemy-87) è C.N pour l’existence d ’un ordonnancement périodique : consistance du système, è Heuristiques d ’ordonnancement multiprocesseur.

12 Etat de l’art 2 n L’approche Dataflow (SDF) avec limitation de buffers : S.Bhattacharyya & P.Murthy (Maryland-Berkeley-95) è Notion de taille mémoire de l ’ordonnancement, è Recherche d ’un ordonnancement de taille minimale qui minimise la taille des buffers, è Pb NP-Complet Heuristiques.

13 Etat de l’art 3 n L’approche Dataflow (SDF) avec limitations de buffers : G.Gao & R.Govindarajan (Montréal-1993) è Limiter la taille des buffers en conservant un débit maximum, è Transformation en graphe homogène, è Transformation en P.L.N.E, è Résolution par le simplexe.

14 Etat de l’art 4 n L’approche Dataflow (SDF) avec limitation de buffers : M.Adé & R.Lauwereins (U.C.L-1996) è Formules sur la taille min d’un buffer, è Etude de cas particuliers (Cycles), è Heuristique de dimensionnement basée sur une décomposition du graphe dataflow.

15 Etat de l’art 5 n L’approche RDP : è Graphe d’événements (P.Chrétienne 1983) è GEG : Etude la vivacité (Teruel et al. 1992) è Expansion + Algorithmes pour fréquences optimales (A.Munier 1993) è Vivacité et marquage minimal (Chrzastowski-Wachtel 1993)

16 Simplification du problème

17 Choix de l’approche réseau de Pétri n Bien adapté au problème : è transition = tâche è jeton = donnée n Formalisme plus éprouvé et plus standard n Variété des outils mis au point è Pb de décision, è Pb d ’ordonnancement.

18 Graphe d’événements généralisé (G.E.G.) n w(p) = nb de jetons émis lorsque la transition est franchie. n v(p) = nb de jetons retirés pour franchir la transition. n M(p) = nb de jetons sur la place p. w(p) v(p)

19 Notions préliminaires : 1) Places équivalentes n Lemme : Deux places et telles que : sont dites équivalentes. sont dites équivalentes. 410 1230

20 Notions préliminaires : 2) Jetons utiles n Remarque : n Théorème (OM-AM) : Le marquage est équivalent à : est équivalent à :

21 Définition et résultats n Notion de poids d’un chemin dans un G.E.G : n Graphe Unitaire : Un graphe est dit unitaire si chaque circuit est de poids 1. n Une condition nécessaire de vivacité est que le graphe soit unitaire.

22 Normalisation

23 Normalisation d’un graphe n Définition : Une transition t est dite normalisée si toutes les fonctions de marquage des arcs incidents à cette transition sont égales : n Exemple : 5 5 5 5 5 5 8 6 5 11

24 Normalisation d’un graphe n Théorème (OM-AM) : Tout GEG unitaire fortement connexe est normalisable. n Exemple : 15 2 6 142 3 7

25 Normalisation d’un graphe n Théorème (OM-AM) : Tout GEG unitaire fortement connexe est normalisable. n Exemple : 15 2 6 142 3 7

26 Normalisation d’un graphe n Théorème (OM-AM) : Tout GEG unitaire fortement connexe est normalisable. n Exemple : 15 2 6 142 3 7

27 Normalisation d’un graphe n Théorème (OM-AM) : Tout GEG unitaire fortement connexe est normalisable. n Exemple : 15 2 6 142 3 7 15 6 6 14 21

28 Normalisation d’un graphe n Théorème (OM-AM) : Tout GEG unitaire fortement connexe est normalisable. n Exemple : 15 2 6 142 3 7 15 6 6 14 21

29 Normalisation d’un graphe n Algorithme polynomial de normalisation O(n.m) (Bellman-Ford). n Remarques : è L e nombre de jetons sur un circuit est constant, è Situation de deadlock facile à caractériser, è Normalisation  Semi-Flot P.

30 Normalisation d’un graphe n CS de vivacité pour un circuit C : è Algorithmes pseudo-polynomiaux pour la vivacité. n Théorème (OM-AM) : Si le circuit C est de taille 2 alors la CS est aussi nécessaire.

31 Limitation de la capacité d’une place Limiter la taille d’une place p 3 2

32 Limitation de la capacité d’une place Limiter la taille d’une place p 3 2

33 Limitation de la capacité d’une place Limiter la taille d’une place p Mettre une place retour p ’ avec un certain nombre de jetons 3 2 3 2

34 Résultats sur la limitation de place n Limitation d’une place :

35 Résultats sur la limitation de place n Limitation d’une place : n La taille minimale d’une place vaut :

36 Dimensionnement optimal des buffers

37 Conventions n Graphe Borné = Graphe à capacité min n Graphe retour = Places initiales + Places retours.

38 Exemple : 10 15 8 6 8 25 10 30 27 8 3 2 16 27 1815 9 4 40 25 6 10

39 Exemple : 10 15 8 6 8 25 10 30 27 8 3 2 16 27 1815 9 4 40 25 6 10

40 Problématique n Etant donné un RDP dont chacune des places est bornée à sa valeur minimale, existe-t-il un marquage initial tel que G soit vivant ?

41 Problème de la vivacité - CS étendue n CS initiale : n Nouveau circuit avec les places retours : è Nouvelle CS

42 Restriction des marquages n La place p est marquée soit par jetons soit par. n Si p est marquée par jetons (resp. ) alors la place retour est marquée par (resp. ).

43 Restriction et Simplification n Une place p et ses arcs incidents sont remplacés par un arc.

44 Restriction et Simplification n Une place p et ses arcs incidents sont remplacés par un arc.

45 Restriction et Simplification n Si alors est valué à 1. n Si alors est valué à 0.

46 Restriction et Simplification n Si alors est valué à 1. n Si alors est valué à 0. 1

47 Restriction et Simplification n Si alors est valué à 1. n Si alors est valué à 0. 1 0

48 Restriction et Simplification n Si alors est valué à 1. n Si alors est valué à 0. 1 0 0 1

49 Restriction et Simplification n Remarque : La somme des valuations d’un circuit de taille 2 vaut 1. n La valeur d’un chemin du graphe valué est définie par la somme des valuations des arcs de ce chemin.

50 Reformulation du Problème n Théorème : Si le sous-graphe de valeur nulle est acyclique alors il existe un marquage vivant. n Existe-t-il une valuation du graphe G tel que le graphe ne comporte pas de circuit de valeur nulle ?

51 Exemple : 10 15 8 6 8 25 10 30 27 8 3 2 16 27 1815 9 4 40 25 6 10

52 Exemple :

53

54

55

56 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0

57 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

58 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

60 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000011111111 0 1111 000000000 1111

61 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

62 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

63 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1

64 2 35 25 4 10 6 26 8 12 27 10 15 8 6 8 25 10 30 27 8 3 2 16 27 1815 9 4 40 25 6 10 15 18 25 15 8 20 7 10 4 2 6

65 Exemple : 10 15 8 6 8 25 10 30 27 8 3 2 16 27 1815 9 4 40 25 6 10 15 4 18 25 2 15 6 8 20 7 10

66 Justification du procédé de retournement n Tout circuit de valeur nulle de G est monochrome blanc ou bichrome.

67 Justification du procédé de retournement n Tout circuit de valeur nulle de G est monochrome blanc ou bichrome.

68 Justification du procédé de retournement n Tout circuit de valeur nulle de G est monochrome blanc ou bichrome.

69 Justification du procédé de retournement n Tout circuit comporte au moins un arc blanc que l ’on peut retourner.

70 Dimensionnement optimal des places n Etant donné un graphe G dont chacune des places est bornée à sa valeur minimale, existe-t-il un marquage initial tel que G soit vivant ? è Oui è Algorithme Polynomial O(m²)

71 Conclusion n Analyse et Simplification du problème. n Normalisation du GEG è Permet d ’exprimer une CS de vivacité simple. n Algorithme de marquage è Permet de construire un marquage minimal.

72 Perspectives de travail n Etudier le rapport entre le débit du système et la limitation des places. n Réflexion sur le problème de décision de la vivacité. n Applications industrielles.

73 Questions