Coordonnées dans un repère.

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1 Coordonnées dans un repère

2 x y A Quelques repères du plan : J O I Le repère « quelconque » :
Les axes ne sont pas perpendiculaires. Les axes n’ont pas la même graduation. Exemple : A ( 3 ; 2 ) J O x I

3 x y A J I O Le repère orthogonal : Exemple : A ( 3 ; 2 )
Les axes sont perpendiculaires. mais ils n’ont pas la même graduation. Exemple : A ( 3 ; 2 ) A J x I O

4 x y A J I O Le repère orthonormé ( ou orthonormal ):
Les axes sont perpendiculaires. ils ont la même graduation. A Exemple : A ( 3 ; 2 ) J I x O

5 Longueur d’un segment dans un repère orthonormal :
B yB yB - yA A yA H xB - xA D’après le théorème de Pythagore dans ABH rectangle en H : J AB² = AH² + HB² xA xB O I AB² = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² Donc : AB = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² D’où :

6 AB = ( xB – xA )² + ( yB – yA )²
Propriété : Dans le plan muni d’un repère orthonormal, si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Alors AB = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² L’unité de longueur dépend des graduations des axes du repère. ( si par exemple une graduation mesure 3 cm alors il faut multiplier AB par 3 pour avoir la longueur en cm)

7 AB² = ( xB – xA )² + ( yB – yA )²
Application : Soient A( 9 ; - 13 ) et B ( 5 ; 4 ). Calculer AB. Solution : AB² = ( xB – xA )² + ( yB – yA )² AB² = ( 5 – 9 )² + ( 4 – ( - 13 ) )² AB² = ( - 4 )² + ( )² AB² = 4² ² AB² = 305 Donc AB = ≈ 17,46 à 0,01 près

8 yB yA xB xA yA + yB xA + xB Coordonnées du milieu d’un segment : B A 2
J xB O xA I xA + xB 2

9 xA + xB yA + yB 2 2 Propriété : Dans le plan muni d’un repère, si deux
points A et B ont pour coordonnées respectives (xA ; yA) et (xB ; yB), Alors les coordonnées du milieu M du segment [ AB ] sont ; xA + xB yA + yB 2 2

10 ; ; ; M M M xA + xB yA + yB - 7 + 3 2 + 9 11 - 4 2 2 2 2 2 2
Application : Soient A( - 7 ; 2 ) et B ( 3 ; 9 ). Calculer les coordonnées du milieu M de [ AB ]. Solution : xA + xB yA + yB ; M 2 2 2 + 9 ; M 2 2 - 4 11 ; M 2 2 Donc M( -2 ; 5,5 )