DU commerce éléctronique, mars 2001 1 Logique et fondements de l’informatique Université Paris II Michel de Rougemont

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1 DU commerce éléctronique, mars 2001 1 Logique et fondements de l’informatique Université Paris II Michel de Rougemont mdr@lri.fr http://www.lri.fr/~mdr Sens et dénotation Complexité Applications à la sécurité

2 DU commerce éléctronique, mars 2001 2 Qu’est ce que la logique? 1.Définir le sens d’expressions syntaxiques 2.Raisonnement, preuve, calcul Les applications de la logique: Mathématique, Linguistique, Philosophie Depuis 1950 : Informatique Depuis 2000 : Sécurité informatique

3 DU commerce éléctronique, mars 2001 3 1. Sens et dénotation Aristote (-300 BC) : Tous les hommes sont mortels. Socrate est un homme. Donc Socrate est mortel. Al-Khovarezmi (700) :qu’est ce qu’une fonction calculable? Frege (1870) : L’étoile du matin est l’étoile du soir. Tarski (1930) : Dénotation d’une expression mathématique

4 DU commerce éléctronique, mars 2001 4 Raisonnement et calcul Aristote (-300 BC) : Raisonnement? Al-Khovarezmi (700) : Calcul? Frege (1870) : Raisonnement? Tarski (1930) : Définition? Turing (1930) : Calcul? Gödel (1930) : Limites du raisonnement mathématique?

5 DU commerce éléctronique, mars 2001 5 Langage des mathématiques A la suite de Tarski, Turing, Gödel Thèse de Church (1936) : calculable = récursif = Turing-calculable Conclusion : certaines formules ne sont pas démontrables. D’autres le sont pour différentes notions de preuves.

6 DU commerce éléctronique, mars 2001 6 Calcul et machine de Turing Ordinateur = Machine de Turing Fonction primalité : Primalité(56787661515515167171)=0 mais la preuve est longue!! (Exponentielle dans la longueur de l’entrée :20) 1972 : Cook et Karp formulent la notion de NP-complétude

7 DU commerce éléctronique, mars 2001 7 Sens en informatique Un programme décrit un algorithme Quel est le sens d’un programme? Dim LaFeuille ; Set LaFeuille = Document.ValidForm Do While i <= n { If (T(i)=1) Then total =total +1 End if; i=i+1;Loop;} Dénotation classique Complexité de calcul, Robustesse aux erreurs

8 DU commerce éléctronique, mars 2001 8 Nouvelles interprétations Besoin de logiciels efficaces et surs –Complexité de calcul, –Robustesse aux erreurs Sécurité informatique –Qu’estce qu’un logiciel sur? Vérification de logiciels

9 DU commerce éléctronique, mars 2001 9 2. Calcul : complexité et hasard Calcul en temps polynomial (classe P, 1972) Calcul en temps polynomial avec le hasard (classe BPP, 1980) Primalité est BPP Factorisation n’est pas BPP

10 DU commerce éléctronique, mars 2001 10 Fondements de la sécurité Ce qui est interdit est difficile Fonctions difficiles à calculer –Factorisation –Isomorphisme de graphes O-connaissance Sécurité « prouvée » mathématiquement

11 DU commerce éléctronique, mars 2001 11 Hasard et algorithme 2 paquets1 paquet Mikado

12 DU commerce éléctronique, mars 2001 12 Marche aléatoire : espace log n sur un graphe symétrique à n sommets a b c d e e b c d a Au départ du sommet a, 2 tirages 00vers c 01vers d 10vers e 11vers b

13 DU commerce éléctronique, mars 2001 13 Modèles du hasard Calcul en temps polynomial avec le hasard (classe BPP, 1980) : Machine de Turing probabiliste Primalité est facile Factorisation est difficile Machine quantique Factorisation est facile (Shor, 1996) Modèles biologiques (Adleman 1995)

14 DU commerce éléctronique, mars 2001 14 Isomorphisme de graphes 1 2 3 4 5 12 3 4 5 Permutation : 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 Preuve de l’isomorphisme: 13245

15 DU commerce éléctronique, mars 2001 15 Non-Isomorphisme de graphes 1 2 3 4 5 12 3 4 5 Aucune Permutation ne maintient un isomorphisme: 1 2 3 4 5 1 3 2 4 5 ne maintient pas (1,4) Preuve du non-isomorphisme: Enumérer n! Permutations (120)

16 DU commerce éléctronique, mars 2001 16 Protocole : non-Isomorphisme de graphes A B Bob veut se convaincre qu’Alice sait si G1 et G2 ne sont pas isomorphes avec une preuve courte. G1 et G2 connus de A et B, n=1000

17 DU commerce éléctronique, mars 2001 17 Protocole : non-Isomorphisme de graphes A B B tire au sort i=1 ou 2 et choisit Gi (ex: G1) B tire au sort une permutation h : (ex: 24153) B calcule h(Gi)=H et l’envoie à A B demande i à Alice Alice envoie j à Bob : Si (i=j), G1 non iso à G2 Si i = j, G1 iso à G2 h(Gi)=H j=1 k

18 DU commerce éléctronique, mars 2001 18 Preuve Interactive A B Bob pose des questions à Alice (qui peut mentir) Bob utilise le hasard. Après un temps court (polynomial), Bob Accepte ou rejette.

19 DU commerce éléctronique, mars 2001 19 O-connaissance de l’isomorphisme A B Preuve classique : A transmet h (ex: 13245) Preuve interactive : Alice génère h’ aléatoire, Calcule h’(G1)=H, transmis à Bob: tire i au sort Alice envoie h’’, l’iso. entre H et Gi h’(G1)=H i=1 h’’ k

20 DU commerce éléctronique, mars 2001 20 O-connaissance A B Alice ne compromet pas son secret (h) Alice envoie h’’ mais on ne peut pas déduire facilement h à partir de h’’.

21 DU commerce éléctronique, mars 2001 21 O-connaissance d’un secret ? A B Secret Bob demande : 6542 B1+B3 > 7 B2-B4 <3 3B1-2B2>9 OUI NON Alice répond :

22 DU commerce éléctronique, mars 2001 22 Applications : sécurité de l’utilisateur A B Alice peut donner des informations qui ne peuvent pas être utilisées à son insu. Bob interagit avec une personne qui peut mentir.

23 DU commerce éléctronique, mars 2001 23 Utilisateur rationnel ? A B Bob peut-il conclure sur : l’honnêteté d’Alice la rationalité d’Alice ?

24 DU commerce éléctronique, mars 2001 24 Enchères combinatoires A1 B Ai sont en compétition pour des sous-ensembles de N objets. Ai a-t-il intérêt à bluffer ? A2 A3 A4

25 DU commerce éléctronique, mars 2001 25 Modèles statistiques Economie Macroéconomie vs. Microéconomie Physique statistique Chaleur, climat, …

26 DU commerce éléctronique, mars 2001 26 Conclusion 1.Sens et dénotation en Informatique 2.Calcul et hasard 3.Applications du hasard en logique : preuves interactives 4.Applications à la sécurité : O-connaissance 5.Protection de l’utilisateur