  Résumé du cours précédent (9 avril) :

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1   Résumé du cours précédent (9 avril) :
Principe du prolongement, de la dérivation et de la réduction des champs de potentiel Prolongement vers le haut Dérivation  z2=z0+h  z0 Masses à z=z0 Dipôles à z=z0 Relation entre les champs à différentes altitudes : Prolongement vers le haut Relation entre les anomalies gravimétriques et magnétiques : Dérivation oblique Relation entre une anomalies magnétique quelconque et celle qu’on aurait mesurée au pôle pour une même source : Intégration oblique puis dérivation verticale

2 Résumé du cours précédent (9 avril) :
Formules du prolongement et de la dérivation Expressions dans le domaine de Fourier : prolongement :    dérivations :     opérateur de prolongement :    opérateur de dérivation :     Expressions dans le domaine spatial :    opérateur de prolongement d’un profil (à 2D) : opérateur de prolongement d’une carte (à 3D) :        

3 Tous ses opérateurs peuvent se combiner : exemple des opérateurs de prolongement et dérivation, illustrés ici en domaine spatial Expression générale d’opérateurs combinés de dérivations obliques (d’ordre gi et de direction qi) et de prolongement vers le haut (altitude a=1) : Oblic derivations Upward continuation NB : l’ordre total de dérivation est g = Sgi .

4 z Exercice : Pz(u)=e2pz|u|
On s’intéresse à l’opérateur de prolongement de hauteur z dont le spectre de Fourier (à 1D) s’écrit Pz(u)=e2pz|u| où u est la fréquence et z est positif pour un prolongement vers le bas. Représenter le spectre Pz(u) de l’opérateur de prolongement vertical pour plusieurs valeurs de z (petites et grandes, négatives et positives) et discuter du rôle de z sur le filtrage. z

5 Limite du prolongement vers le bas :
a=-z z

6 Prolongement - Expressions à 2D et 3D
Potentiel Newtonien et anomalie gravimétrique dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre, de masse linéique l) : Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de masse m, en kg) :         TF où

7 Approche spectrale : Intérêt pour l’interprétation
   Amplitude de la TF Spectre en puissance de Fourier

8 Autre approche du prolongement vertical : par la relation entre potentiels à plusieurs altitudes (vérifiant l’équation de Laplace) Prolongement vers le haut et troisième identité de Green Prolongement vers le haut tel que nous l’avons exprimé, à partir de données sur un plan (pour un potentiel f) : avec Et pour des surfaces irrégulières : troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Superposition de 3 termes sources : - source volumique monopolaire, proportionnelle au laplacien de U - source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U - source surfacique dipolaire, proportionnelle à U Lien : opérateur de prolongement vertical correspond au terme dipolaire

9 Approche du prolongement vertical avec surfaces non planes, via les identités de Green : théorie en raccourci Théorème d’Helmholtz (pour un potentiel U et son gradient ) : Seconde Identité de Green (U et V de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) :

10 Approche du prolongement vertical avec surfaces non planes : à retenir
La troisième identité de Green permet un prolongement entre surfaces quelconques Troisième Identité de Green (U de classe C2 sur un domaine assez régulier R, dont S est la surface fermée avec sa normale n) : Superposition de 3 termes sources : - source volumique monopolaire, proportionnelle au laplacien de U - source surfacique monopolaire, proportionnelle au gradient de U - source surfacique dipolaire, proportionnelle à U Au lieu d’une source volumique On peut la remplacer par une source surfacique virtuelle (concentrée sur une couche fine sur une surface équipotentielle)

11 Approche du prolongement vertical avec surfaces non planes : illustration
Anomalie magnétique Altitude

12 Passage aux anomalies magnétiques : Dérivations issues du champs ou du potentiel causé par une « source ponctuelle » z2=z0+h  Prolongement Dérivation  z0 Masses à z=z0 ou à z=z2 Dipôles à z=z0

13 Rappel/Définition : Inclinaison I du champ magnétique terrestre
He Ze

14 Inclinaisons I et Inclinaisons Apparentes I’ pour des profils magnétiques
He’=Hecosa He Ze Ze’=Ze

15 Opérations de réduction (au pôle)
Potentiel magnétique et anomalie magnétique du champ total dans le domaine de Fourier et dans le domaine spatial :    Le long d’un profil (source à 2D = ligne ou cylindre de dipôles d’aimantation linéique ) Sur une carte (source à 3D = point ou sphère, de dipôles d’aimantation , en A/m ) :         TF où Réduction au pôle = Passage de quelconque à

16 TF Expression de l’opérateur de réduction au pôle, en domaine spectral
Réduction au pôle = Passage de quelconque à Expression de la réduction au pôle Dérivée seconde en z Intégrations en m0 et en f0

17 Réduction Anomalie au pôle (I=90°) Anomalie à l’équateur (I=0°) où -10
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° Anomalie au pôle (I=90°) Anomalie à l’équateur (I=0°) où